Mathematische Methoden der Elektrotechnik

1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1
1.1 Matrizen 1
1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen 2
1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen 2
1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 2
1.1.4 Quadratische Matrix 3
1.1.5 Einheitsmatrix 3
1.1.6 Determinante 3
1.1.7 Unterdeterminante oder Minor 5
1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement 5
1.1.9 Inverse Matrix 6
1.1.10 Transponierte einer Matrix 7
1.1.11 Komplex konjugierte Matrix 7
1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix 8
1.1.13 Hermitesche Matrix - selbstadjungierte Matrix 9
1.1.14 Orthogonalmatrix 9
1.1.15 Unit¨ are Matrix 10
1.1.16 Normalmatrix - Normale Matrix 11
1.1.17 Norm einer Matrix 11
1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl 12
1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor 13
1.1.20 Quadratische Matrizen - eine Zusammenfassung 15
1.2 Integral-, Di erenzialgleichungen 17
1.2.1 Definitionen 17
1.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen 18
1.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung 18
1.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen 20
1.2.5 Partielle Integration 22
1.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen 22
1.2.7 Anfangswertaufgabe 23
1.2.8 Randwertaufgabe 24
1.2.9 Lineare Operatoren 25
1.2.10 Inneres Produkt 27
1.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30
1.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30
1.3 Vektor-Klassifikation 31
1.4 Di erenziationsregeln für Vektoren 31
1.5 Vektoroperatoren 32
1.5.1 Nabla-und Laplace-Operator 32
1.5.2 Vektoroperator Gradient 33
1.5.3 Vektoroperator Divergenz 34
1.5.4 Vektoroperator Rotation 35
1.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren 35
1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator 36
1.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt 37
1.6 Maxwell'sche Gleichungen 38
1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral 38
1.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral 39
1.6.3 Maxwell'sche Gleichungen - Di erenzialform 40
1.6.4 Maxwell'sche Gleichungen - Integralform 40
1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder 40
1.7 Dirac'sche Deltafunktion 41
2 Koordinatensysteme 43
2.1 Kartesisches Koordinatensystem 43
2.2 Zylinderkoordinatensystem 45
2.3 Kugelkoordinatensystem 47
3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51
3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen 51
3.2 Eigenfrequenz - Fehlerrechnung 55
3.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 56
3.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität 57
3.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand 59
3.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand 61
3.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität 62
3.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis 64
3.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67
3.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 69
3.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 70
3.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis 76
3.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 79
4 Stromverdrängung im Leiter 81
4.1 Stromverdrängung im Leiter - Modellbildung 82
4.2 Stromverdrängung im Leiter - Berechnungsergebnis 86
4.3 Stromverdrängung im Leiter - Simulationsergebnis 87
4.4 Stromverdrängung im Leiter - Zusammenfassung 89
5 Besselgleichung und Besselfunktion 91
5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel 92
5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises 93
5.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung 94
5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97
5.4.1 Modellanordnung 97
5.4.2 Herleitung der Besselfunktion 98
5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101
5.5.1 Modellanordnung 101
5.5.2 Herleitung der Besselfunktion 101
5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung 104
6 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green'scher Funktionen 109
6.1 Zur Person George Green 109
6.2 Green'sche Integralsätze 112
6.3 PDE - Auf-, Integrationspunktanordnungen 114
6.4 PDE - Vorbereitung zur Lösung nach Green - Di erenzialform 116
6.5 PDE - Vorbereitung zur Lösung nach Green - Integralform 118
6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable 118
6.5.2 Homogene Randbedingungen 120
6.5.3 Inhomogene Randbedingungen 121
6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen 121
6.5.5 Neumann-Randbedingungen 121
6.6 PDE - Lösung der Poisson'schen DGL 122
6.6.1 Aufgabenbeschreibung 122
6.6.2 Lösungsweg 123
6.7 PDE - Lösung der Laplace'schen DGL 125
6.7.1 Aufgabenbeschreibung 125
6.7.2 Lösungsweg 126
6.8 ODE - Vorbereitung zur Lösung mit der Green'schen Funktion 128
6.8.1 Homogene Randbedingungen 130
6.8.2 Inhomogene Randbedingungen 130
6.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen 131
6.9 ODE - Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 133
6.9.1 Aufgabenbeschreibung 133
6.9.2 Lösungsweg I 134
6.9.3 Lösungsweg II 137
6.10 ODE - Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x 140
6.10.1 Aufgabenbeschreibung 140
6.10.2 Lösungsweg 140
6.11 ODE - Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x) 142
6.11.1 Aufgabenbeschreibung 142
6.11.2 Lösungsweg 142
6.12 ODE - Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 144
6.12.1 Aufgabenbeschreibung 144
6.12.2 Lösungsweg 145
6.13 ODE - Lösung von d2 u/dx2 = x 148
6.13.1 Aufgabenbeschreibung 148
6.13.2 Lösungsweg 148
7 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 153
7.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1'ter Ordnung 153
7.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2'ter Ordnung 154
7.3 Finite Elemente 158
8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161
8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM) 161
8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode 163
8.2.1 Matrix (ljk) 163
8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk 164
8.3 Zur Person Boris Galerkin 164
8.4 Galerkins Idee 165
9 Traditionelle Galerkin-Methode 167
10 Galerkin-Methode - Lösung von du/dx = u 169
10.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 169
10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 170
10.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 171
10.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 171
11 Galerkin-Methode - Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 175
11.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 175
11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 176
11.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 176
11.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 178
12 Galerkin-Methode - Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 181
12.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 182
12.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 182
12.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 183
12.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 183
13 Galerkin-Methode - Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 185
13.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 185
13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 186
13.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 187
13.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 188
14 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz 191
14.1 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters 193
14.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 193
14.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 194
14.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems 195
14.2 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters 196
14.2.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 196
14.2.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 197
14.2.3 Lösung des linearen Gleichungssystems 198
14.3 Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis 199
15 Galerkin-FEM 201
15.1 Galerkin-FEM - Was wird gelöst? 201
15.2 Galerkin-FEM - Vorgehen zur Lösung 202
16 Galerkin-FEM - Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 205
16.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 206
16.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 207
16.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 207
16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 209
16.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 210
16.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 214
17 Galerkin-FEM - Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 217
17.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 218
17.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 219
17.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 219
17.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 219
17.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 219
17.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 220
18 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung 223
18.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 223
18.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 224
18.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 224
18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 224
18.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 226
18.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 228
19 Galerkin-FEM - Ortsabhängige Temperaturberechnung 231
19.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 231
19.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 233
19.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 233
19.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 233
19.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 234
19.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 235
19.7 Di usionsvorgang vollendet 238
20 Galerkin-FEM - Ortsabhängige Magnetfeldberechnung 241
20.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 241
20.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 243
20.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 243
20.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 243
20.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 244
20.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 245
21 Einführung in die Finite-Di erenzen-Methode 251
21.1 Numerische Notation der linearen Felddi usionsgleichung 251
21.2 Zu den Personen Crank und Nicolson 252
21.3 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson 252
21.3.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung 253
21.3.2 Lösung der Matrizengleichung 254
21.3.3 Anwendungsbeispiel 257
21.4 Lösung mit expliziter Methode 260
21.4.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung . 260
21.4.2 Lösung der Matrizengleichung 261
21.4.3 Anwendungsbeispiel 262
22 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 269
22.1 Analyse eines Proportionalmagnets 269
22.1.1 Preprocessing 270
22.1.2 Processing 271
22.1.3 Postprocessing 272
22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors 273
22.2.1 Preprocessing 273
22.2.2 Processing 273
22.2.3 Postprocessing 274
22.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors 274
23 Virtuelle Produktentwicklung 277
23.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool 277
23.2 Mehrzieloptimierung - Pareto-Optimierung 278
23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet 279
23.3.1 Monte Carlo-Methode 280
23.3.2 Partikelschwarm-Methode 282
23.3.3 Evolutionäre Methode . 282
23.3.4 Diskussion der Ergebnisse 283
24 Eigenwertprobleme 285
24.1 Eigenwertproblem - Einführung 285
24.2 Eigenwertproblem - Momentenmethode 286
24.3 Eigenwertproblem - kanonische Form 287
25 Eigenwertproblem-MOM - Lösung von d2 u/dx2 = u 289
25.1 Aufgabenbeschreibung 289
25.2 Lösungsweg und Lösung 290
25.3 Lösung für 1'ter Ordnung 290
25.4 Lösung für 2'ter Ordnung 294
26 Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs 297
26.1 Momentenmethode (MOM) 297
26.2 Integraltransformation 299
26.3 Green'sche Methode 300
27 Wissenswertes zur Modellbildung 303
27.1 Kategorien der Modellbildung 303
27.2 Analytik contra Numerik . 304
28 Nützliche Normen 307
Literaturverzeichnis 311
A Anhang 317
A.1 MATLAB-Code - Wärmedi usionsskript 317
A.2 MATLAB-Code - Magnetfelddi usionsskript 321
A.3 Toolvergleich - MATLAB vs. COMSOL 327
B Campus Künzelsau - Inside 329
Index 331