Fit fürs Studium - Mathematik

Einleitung ... 21

TEIL I. Grundlagen ... 23

1. Mengenweise Mengen ... 24
1.1 ... Testen Sie sich selbst ... 25
1.2 ... Mengen und Elemente ... 25
1.3 ... Entspannungsübungen ... 30
1.4 ... Lösungen ... 30

2. Gesetze der Algebra ... 32
2.1 ... Testen Sie sich selbst ... 33
2.2 ... Gesetze, die jeder kennt ... 34
2.3 ... Brüche, gemischt und dezimal ... 40
2.4 ... Potenzen und Wurzeln ... 47
2.5 ... Entspannungsübungen ... 51
2.6 ... Lösungen ... 52

3. (Un-)gleichungen ... 56
3.1 ... Testen Sie sich selbst ... 57
3.2 ... Einfache Gleichungen und Ungleichungen ... 58
3.3 ... Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen ... 61
3.4 ... Gleichungssysteme ... 65
3.5 ... Sachaufgaben ... 68
3.6 ... Gleichungen lösen mit dem PC ... 71
3.7 ... Entspannungsübungen ... 76
3.8 ... Lösungen ... 77

4. Funktionen im kartesischen Koordinatensystem ... 86
4.1 ... Testen Sie sich selbst ... 87
4.2 ... Das Achsenkreuz ... 87
4.3 ... Lineare Funktionen ... 89
4.4 ... Parabeln ... 92
4.5 ... Wurzel- und andere Funktionen ... 98
4.6 ... Entspannungsübungen ... 101
4.7 ... Lösungen ... 102

5. e und log ... 110
5.1 ... Testen Sie sich selbst! ... 111
5.2 ... Mehr, mehr, mehr! ... 111
5.3 ... Logarithmen und ihre Regeln ... 117
5.4 ... Entspannungsübungen ... 121
5.5 ... Lösungen ... 122

6. Sinus und Cosinus ... 128
6.1 ... Testen Sie sich selbst ... 129
6.2 ... Rechtwinklige Dreiecke ... 130
6.3 ... Der Einheitskreis ... 134
6.4 ... Entspannungsübungen ... 143
6.5 ... Lösungen ... 144

7. Wo ist meine Einheit? ... 148
7.1 ... Testen Sie sich selbst ... 149
7.2 ... Hoch, weit, schwer ... 149
7.3 ... Von piko bis Tera ... 153
7.4 ... Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen ... 155
7.5 ... Runden, aber sinnvoll ... 156
7.6 ... Entspannungsübungen ... 159
7.7 ... Lösungen ... 160

8. Flächen und Räume ... 164
8.1 ... Testen Sie sich selbst ... 165
8.2 ... Flächeninhalt und Umfang ... 165
8.3 ... Volumen und Oberfläche ... 169
8.4 ... Entspannungsübungen ... 173
8.5 ... Lösungen ... 174

9. Vielleicht sechs Richtige ... 178
9.1 ... Testen Sie sich selbst ... 179
9.2 ... Statistik ... 179
9.3 ... Wahrscheinlichkeit ... 188
9.4 ... Entspannungsübungen ... 195
9.5 ... Lösungen ... 195

10. Herrn Booles Algebra ... 198
10.1 ... Testen Sie sich selbst ... 199
10.2 ... Aussagenlogik ... 199
10.3 ... Wie Computer rechnen ... 202
10.4 ... Entspannungsübungen ... 206
10.5 ... Lösungen ... 206

11. Was zu beweisen ist ... 208
11.1 ... Mathematische Beweise ... 209
11.2 ... Vollständige Induktion ... 209
11.3 ... Indirekter Beweis ... 211
11.4 ... Entspannungsübung ... 215
11.5 ... Lösungen ... 215

TEIL II. Analysis ... 219

12. Folgen und Grenzwerte ... 220
12.1 ... Zahlenfolgen ... 221
12.2 ... Grenzwerte und Konvergenz ... 224
12.3 ... Entspannungsübungen ... 227
12.4 ... Lösungen ... 227

13. Reihen ... 230
13.1 ... Unendliche Summen ... 231
13.2 ... Besondere Reihen ... 233
13.3 ... Entspannungsübungen ... 237
13.4 ... Lösungen ... 237

14. Stetigkeit und Monotonie ... 238
14.1 ... Grenzwerte von Funktionen ... 239
14.2 ... Stetige Funktionen ... 246
14.3 ... Entspannungsübungen ... 250
14.4 ... Lösungen ... 250

15. Funktionen ableiten ... 254
15.1 ... Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit! ... 255
15.2 ... Die Steigung der Tangenten ... 258
15.3 ... Ableitungsregeln ... 262
15.4 ... Entspannungsübungen ... 269
15.5 ... Lösungen ... 270

16. Noch mehr Funktionen ableiten ... 274
16.1 ... Exponentialfunktion ableiten ... 275
16.2 ... Trigonometrische Funktionen ... 279
16.3 ... Entspannungsübungen ... 283
16.4 ... Lösungen ... 283

17. Eigenschaften von Funktionen ... 286
17.1 ... Funktionengeometrie ... 287
17.2 ... Königsdisziplin Kurvendiskussion ... 298
17.3 ... Funktionen à la carte ... 302
17.4 ... Entspannungsübungen ... 309
17.5 ... Lösungen ... 309

18. Integralrechnung ... 316
18.1 ... Das riemannsche Integral ... 317
18.2 ... Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ... 320
18.3 ... Anwendungen der Integration ... 334
18.4 ... Entspannungsübungen ... 339
18.5 ... Lösungen ... 340

19. Die Bewegungsgleichung ... 344
19.1 ... Kraft und Beschleunigung ... 345
19.2 ... Die zweite Dimension ... 349
19.3 ... Entspannungsübungen ... 355
19.4 ... Lösungen ... 355

20. Die Differentialgleichung erster Ordnung ... 358
20.1 ... Wo Differentialgleichungen vorkommen ... 359
20.2 ... Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen ... 362
20.3 ... Entspannungsübungen ... 370
20.4 ... Lösungen ... 370

21. Das Pünktchen auf dem i ... 372
21.1 ... Die komplexen Zahlen ... 373
21.2 ... Die komplexe Zahlenebene ... 377
21.3 ... Die eulersche Formel ... 382
21.4 ... Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen ... 384
21.5 ... Entspannungsübungen ... 386
21.6 ... Lösungen ... 387

22. Hin und wieder zurück ... 388
22.1 ... Der harmonische Oszillator ... 389
22.2 ... Differentialgleichung zweiter Ordnung ... 392
22.3 ... Entspannungsübungen ... 400
22.4 ... Lösungen ... 400

23. Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren ... 404
23.1 ... Kurvenlängen integrieren ... 405
23.2 ... Mantelflächenintegrale ... 408
23.3 ... Entspannungsübungen ... 411
23.4 ... Lösungen ... 411

24. Nicht-kartesische Koordinatensysteme ... 414
24.1 ... Polarkoordinaten ... 415
24.2 ... Dreidimensionale Koordinatensysteme ... 420
24.3 ... Entspannungsübungen ... 424
24.4 ... Lösungen ... 424

TEIL III. Lineare Algebra ... 427

25. Vektorrechnung ... 428
25.1 ... Vektoren in der euklidischen Ebene ... 429
25.2 ... Die Basis ... 434
25.3 ... Entspannungsübungen ... 439
25.4 ... Lösungen ... 440

26. Lineare Gleichungssysteme ... 444
26.1 ... Das Gauß-Verfahren ... 445
26.2 ... Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ... 448
26.3 ... Entspannungsübungen ... 455
26.4 ... Lösungen ... 455

27. Willkommen in der Matrix ... 458
27.1 ... Lineare Abbildungen ... 459
27.2 ... Verknüpfung linearer Abbildungen ... 462
27.3 ... Entspannungsübungen ... 470
27.4 ... Lösungen ... 470

28. Eigenwerte, Determinanten und Co. ... 472
28.1 ... Matrizen unter der Lupe ... 473
28.2 ... Eigenwerte ... 476
28.3 ... Produkte ... 482
28.4 ... Entspannungsübungen ... 487
28.5 ... Lösungen ... 488

29. Besondere Matrizen anwenden ... 492
29.1 ... Geometrische Transformationen ... 493
29.2 ... Bildbearbeitung ... 498
29.3 ... Entspannungsübungen ... 501
29.4 ... Lösungen ... 501

30. Mehrdimensionale Analysis ... 504
30.1 ... Abbildungen in mehr als einer Dimension ... 505
30.2 ... Differentialrechnung in R^n ... 508
30.3 ... Entspannungsübungen ... 515
30.4 ... Lösungen ... 515

31. Numerische Verfahren ... 518
31.1 ... Intervallschachtelung ... 519
31.2 ... Interpolation ... 522
31.3 ... Ausgleichsrechnung ... 526
31.4 ... Numerische Integration ... 528
31.5 ... Entspannungsübungen ... 532
31.6 ... Lösungen ... 533

32. Analytische Geometrie ... 536
32.1 ... Ein Universum voller Vektoren ... 537
32.2 ... Begegnungen im Nichts ... 550
32.3 ... Entspannungsübungen ... 560
32.4 ... Lösungen ... 561

Anhang ... 566

Index ... 571