Der große mathematische Zauberstab

1.2 Weitere Varianten

Das Zauberkunststück: Der Zauberer präsentiert ein ziemlich großes aus Zahlen bestehendes Quadrat. Es könnte etwa so wie in Bild 1.2.1 aussehen:

Bild 1.2.1: Das am Anfang präsentierte Quadrat.

Nun ist ein Zuschauer gefragt: Er soll vier Zeilen und vier Spalten ganz beliebig markieren. Es wird bemerkt, dass die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten gigantisch ist: 4 aus 10 zum Quadrat, also 210 · 210 = 44100. Jetzt wird ein 4 × 4-Quadrat aus den Zahlen in den markierten Zeilen und Spalten gebildet: Das sind in Bild 1.2.2 die grün markierten Zahlen, die Zeilen und Spaltenauswahl des Zuschauers sieht man rechts.

Eine Prognose des Zauberers wird abgegeben und verdeckt auf den Tisch gelegt. Und nun geht es wirklich los.

Der Zuschauer unterstreicht eine der grünen Zahlen, die restlichen Zahlen in dieser Zeile und dieser Spalte werden gestrichen. Noch einmal: Eine noch freie grüne Zahl wählen, die anderen dieser Zeile und Spalte streichen. Dann noch einmal, danach ist noch eine einzige grüne Zahl übrig, die ebenfalls unterstrichen wird. So hätten zum Beispiel die Zahlen 9, 8, 2, 11 ausgewählt werden können. Die Summe dieser in unserem Beispiel ausgewählten vier Zahlen ist 30.

Bild 1.2.2: Die ausgewählten Zeilen und Spalten erzeugen ein 4 × 4-Quadrat.

Sie stimmt mit der Prognose überein: Woher wusste der Zauberer, dass trotz der vielen Wahlmöglichkeiten des Zuschauers am Ende 30 herauskommen würde?

Der mathematische Hintergrund: Die Idee ist eine Verallgemeinerung des beim vorigen Kunststück geschilderten Verfahrens. Es empfiehlt sich, das bei Interesse noch einmal nachzulesen. Das Zahlenquadrat wurde - im Fall eines n × n-Quadrats - also dadurch erzeugt, dass man zunächst ein leeres n × n-Raster herstellt, dann n Zahlen für die Zeilen und n Zahlen für die Spalten wählt und dann das Raster füllt: Die Zahl in der i-ten Zeile und j-ten Spalte des Rasters ist die Summe aus der i-ten Zeilenzahl und der j-ten Spaltenzahl. Es ist also genau so wie im vorigen Abschnitt.

Im Beispiel hatten wir die Zahlen 8, 7, 2, 6, 1, 6, 4, 6, 2, 9 für die Zeilen (von oben nach unten) und 2, 3, 1, 2, 7, 8, 5, 7, 1, 6 für die Spalten (von links nach rechts) gewählt, Deswegen steht zum Beispiel als zweite Zahl in der dritten Zeile die 5 = 2 + 3.

Die entscheidende Beobachtung ist nun, dass man sich die oben grün hervorgehobenen Zahlen als so entstanden denken kann, dass ein Zahlenquadrat wie im vorigen Abschnitt erzeugt worden wäre, bei dem die Randzahlen der ausgewählten Zeilen und Spalten verwendet worden wären. (Im Beispiel wären das die Zahlen 7, 6, 1, 6 für die Zeilen und 2, 1, 2, 5 für die Spalten.) Deswegen ist klar, dass die Zuschauerwahlen (welche grüne Zahl zuerst, dann als zweite usw.) keinen Einfluss auf die Summe der ausgewählten Zahlen haben werden.

Leider sind aber die Randzahlen nicht zu sehen: Wenn es doch ginge, wäre klar, dass bestimmt 7 + 6 + 1 + 6 + 2 + 1 + 2 + 5 = 30 herauskommt. Man muss sich anders behelfen. Man weiß doch, dass bei allen Auswahlen das Gleiche herauskommt. Deswegen kann man sich eine besonders einfach zu identifizierende Summe aussuchen. Ich empfehle die Diagonale: Erste grüne Zahl der ersten grünen Zeile; plus zweite grüne Zahl der zweiten grünen Zeile; plus dritte grüne Zahl der dritten grünen Zeile; plus vierte grüne Zahl der vierten grünen Zeile. In unserem Fall ist das 9 + 7 + 3 + 11 = 30. Wenn man das unauffällig gemacht hat, kann man die Prognose aufschreiben und es kann weitergehen.

Wie ist der Trick vorzubereiten? Ein ziemlich großes Zahlenquadrat ist so wie im vorigen Abschnitt vorzubereiten. Ich beschreibe alles für ein 8 × 8-Quadrat:

• 8 Zahlen neben die Zeilen und 8 Zahlen über die Spalten schreiben.

• Quadrat füllen: Randzahl i plus Spaltenzahl j ergibt den Eintrag in Zeile i und Spalte j.

• Zahlen am Rand entfernen (noch einmal abschreiben oder einfach abschneiden).

Das ist schon alles.

Was ist bei der Durchführung zu beachten? Mal angenommen, wir wollen mit 4 × 4-Auswahlen arbeiten. Ein Zuschauer markiert 4 Zeilen und 4 Spalten, die 16 Zahlen in diesen Zeilen und Spalten werden hervorgehoben, zum Beispiel durch Umkreisen oder durch Unterstreichen mit einem farbigen Filzstift.

Nun kommt eine kleine Kopfrechenaufgabe: Der Zauberer muss schnell und unauffällig die Summe über die Diagonale ausrechnen: Erste markierte Zahl der ersten markierten Zeile; plus zweite markierte Zahl der zweiten markierten Zeile; plus dritte markierte Zahl der dritten markierten Zeile; plus vierte markierte Zahl der vierten markierten Zeile. (Die Rechnung kann er schon während des Unterstreichens mit dem Filzstift durchführen.) Das Ergebnis schreibt er auf einen Prognosezettel, den er verdeckt auf den Tisch legt.

Nun beginnt die Zuschauerauswahl: Irgendeine markierte Zahl wählen; unterstreichen; alle anderen in dieser Zeile durchstreichen; weitere markierte Zahl wählen; unterstreichen; alle anderen in dieser Zeile durchstreichen; usw., so lange, bis es nicht mehr geht. (Die zuletzt übrig gebliebene Zahl wird nur noch unterstrichen, es gibt nichts mehr zum Durchstreichen.)

Und dann wird die Summe der unterstrichenen Zahlen mit der Prognose übereinstimmen!

Die Präsentation: Ich selbst mache es - wie im vorigen Kapitel - so, dass ich das Kunststück unter das Motto «Gedankenkraft erzwingt eine ganz bestimmt Auswahl» stelle.

Varianten: Es gibt eine attraktive Variante, bei der man fast nichts rechnen und fast nichts vorbereiten muss. Sie geht wie folgt.

Man hält einen handelsüblichen Kalender bereit, der nach Wochen sortiert ist: Die Zahlen der folgenden Zeile sind jeweils um 7 größer. Etwa so wie in Bild 1.2.3:

Bild 1.2.3: Ein Kalender.

Vorbereitet sind eine oder zwei Schablonen: Ein rechteckiges Loch in einem Stück Papier, das so ausgeschnitten ist, dass beim Darüberlegen genau ein 3 × 3-Quadrat (oder ein 4 × 4-Quadrat) von Kalenderzahlen zu sehen ist.

Diese Schablonen kann ein Zuschauer irgendwo auf den Kalender legen. Das soll so geschehen, dass bei der 3 × 3-Schablone 9 Zahlen bzw. bei der 4 × 4-Schablone 16 Zahlen zu sehen sind. Als Beispiele betrachte man die beiden Auswahlen in Bild 1.2.4, da sind die sichtbaren Zahlen grün gezeichnet.

Bild 1.2.4: Eine 3 × 3- und eine 4 × 4-Auswahl.

Nun folgt eine ganz wichtige

Beobachtung: Das so entstehende grüne Zahlenquadrat ist genau so entstanden wie die bisherigen: Ein Eintrag wurde also dadurch gebildet, dass eine Spaltenzahl und eine Randzahl addiert wurden.

Begründung: (Zum Beispiel für das 3 × 3-Quadrat.) Man schreibe an die Zeilen die Zahlen 0, 7, 14 und über die Spalten die Zahlen der oberen Reihe des Quadrats.

Die für uns wichtige Konsequenz: Wir können die ausgewählten Zahlen für ein Zauberkunststück benutzen!

Es geht dann so weiter. Nach dem Auswahlprozess gibt der Zauberer eine Prognose ab (mehr dazu gleich), und dann ist der Ablauf wie üblich: Grüne Zahl unterstreichen, die anderen grünen Zahlen in dieser Zeile und Spalte streichen; noch freie grüne Zahl suchen usw. Am Ende sind drei Zahlen in der 3 × 3-Variante und vier Zahlen in der 4 × 4-Variante ausgesucht. Die Summe der Zahlen stimmt mit der Prognose überein.

Es handelt sich ja um einen Spezialfall des vorstehend beschriebenen Kunststücks, und deswegen kann man als Prognose die Zahl «Summe der Werte auf der Diagonale des Quadrats» stellen.

Es geht aber viel einfacher! Für das 3 × 3-Quadrat: Wenn man die Zahl oben links mit a bezeichnet, so ist die Diagonalsumme gleich...