A 17
Differentialrechnung mehrerer Variabler

A17.1 Partielle Ableitungen

Aufgabe A17.1.1

Für die folgenden Funktionen berechne man die Gradienten und erstelle ein Bild, auf dem verschiedene Höhenlinien der Funktion angegeben sind. Dies sind Linien, für die f(x, y) = c mit gilt.

1. a) f(x, y) = 2x + 3y,
2. b) ,
3. c) f(x, y) = ln(1 + x2y4),
4. d) f(x, y) = 8 - 3x sin y.

Aufgabe A17.1.2

1. a) Für die durch folgende Funktionswertzuweisung definierten Funktionen

   gebe man den maximalen Definitionsbereich D an und berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

2. b) Die Tangentialebene an den Graphen einer differenzierbaren Funktion f im Punkt lautet

   Man bestimme jeweils die Tangentialebene für f und g aus a) im Punkt (x0, y0) = (-1, 2).

Aufgabe A17.1.3

Gegeben sei die Funktion mit f(x, y) = 2x + ex+2y.

1. a) Man berechne von f alle partiellen Ableitungen bis zur 3. Ordnung.
2. b) Man bestimme die Tangentialebene für das gegebene f im Punkt (x0, y0) = (1, -1/2).
3. c) Man gebe eine Parameterdarstellung der Höhenlinie von f an, die durch den Punkt (0, 0) läuft.
4. d) Man berechne den Winkel a zwischen grad f(0, 0) und der Tangentialrichtung der Höhenlinie von f im Punkt (0, 0).

Aufgabe A17.1.4

Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x2 + y2.

1. a) Man bestimme die Höhenlinie durch den Punkt (1, 1).
2. b) Man berechne grad f im Punkt (1, 1).
3. c) Man zeige, dass grad f(1, 1) senkrecht auf dem Tangentialvektor der Höhenlinie im Punkt (1, 1) steht.
4. d) Man zeichne a)-c).

Aufgabe A17.1.5

Gegeben sei die Funktion mit .

1. a) Man berechne die ersten partiellen Ableitungen von f.
2. b) Man überprüfe, ob f eine C1-Funktion ist.
3. c) Man berechne fxy und fyx und bestimme den Definitionsbereich dieser Ableitungen.

Aufgabe A17.1.6

Gegeben sei die Funktion mit

1. a) Man überprüfe, ob f im Nullpunkt stetig bzw. stetig ergänzbar ist.
2. b) Man zeichne die Funktion im Bereich [-0,5, 0,5] × [-1,1].
3. c) Man berechne alle Richtungsableitungen von f
4. d) und überprüfe, ob diese im Nullpunkt stetig sind.

Aufgabe A17.1.7

1. a) Gegeben sei die Funktion mit .
   1. i) Man zeichne die Funktion.
   2. ii) Man weise die Stetigkeit von f in ganz nach.
   3. iii) Man berechne die partiellen Ableitungen von f in ganz , sofern dies möglich ist.
2. b) Man berechne die Gradienten der folgenden Abbildungen
   1. i) mit g(x, y) = sin(x2 - y3),
   2. ii) mit .

Klausuraufgabe A17.1.8

1. a) Man berechne die Tangentialebene der durch gegebenen Funktion im Punkt (x0, y0) = (1, 0).
2. b) Für die durch f(x, y) = sin(px2 + py) gegebene Funktion berechne man im Punkt (x0, y0) = (-1, 1) den Anstieg in x- und y-Richtung und die Tangentialebene.

Aufgabe A17.1.9

Eine Funktion heißt positiv homogen vom Grad k, falls für alle t > 0 und gilt f(tx) = tk f(x). Man gebe ein Beispiel für eine positiv homogene Funktion vom Grad 3 an.

A17.2 Differentialoperatoren

Aufgabe A17.2.1

Für die folgenden Vektorfelder U(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))T berechne man jeweils Quelldichte div U und Wirbelstärke rot U:

1. a) u(x, y, z) = sin(x + y + z), v(x, y, z) = cos(x + y + z), w(x, y, z) = 0,
2. b) u(x, y, z) = y2 + z2, v(x, y, z) = x2 + z2, w(x, y, z) = x2 + y2,
3. c) , , ,
4. d) u(x, y, z) = 1, v(x, y, z) = 1, w(x, y, z) = 1.

Aufgabe A17.2.2

1. a) Man berechne div f und rot f für das Vektorfeld
2. b) Gegeben sei das Vektorfeld g(x, y) = (u(x, y), v(x, y))T = (1, 2x)T.
   1. i) Man berechne div g und rot g und
   2. ii) skizziere das Vektorfeld und einige Stromlinien.

Aufgabe A17.2.3

1. a) Gegeben sei das Vektorfeld

   Für welche Parameter ist f wirbelfrei und für welche quellenfrei?

2. b) Gegeben sei mit . Man berechne div(grad f) und gebe ein Beispiel an, mit div(grad f) ? 0.

Aufgabe A17.2.4

1. a) Man zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung mit k > 0 für eine Ortsvariable gelöst wird von der Funktion .
2. b) Man zeige, dass mit und (x, y, z) ? 0 die Funktion die Wellengleichung löst.

Aufgabe A17.2.5

1. a) Man zeige, dass die Wellengleichung utt = c2?u für eine Ortsvariable mit einer Konstanten gelöst wird von der Funktion u(x, t) = 3 ln(x + ct) - 5 tan(x - ct).
2. b) Man zeige, dass die Funktion u(x, y) = ey cos x + a + bx + cy + dxy mit den Konstanten a, b, c, die Laplace-Gleichung ?u = 0 löst.

A17.3 Das vollständige Differential

Aufgabe A17.3.1

Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = xz - y2 mit x, y, und (x0, y0, z0) = (3, -1, 2). Man bestimme für (x0, y0, z0) den Funktionswert von f, berechne eine Funktionswertnäherung für f(3,1, -1,2, 1,9) unter Verwendung des vollständigen Differentials in (x0, y0, z0) und vergleiche diese mit f(3,1, -1,2, 1,9).

Aufgabe A17.3.2

In einer Tischlerwerkstatt soll ein Holzkegelstumpf nach den vom Auftraggeber vorgegebenen Maßen r, R und h hergestellt werden. Dabei soll das Volumen

höchstens um 1% abweichen dürfen. Mit den vorhandenen Werkzeugen können die Längenmaße bis auf einen Fehler von 0,5 % umgesetzt werden. Kann die Werkstatt die Kundenanforderung bzgl. des Volumens garantieren?

Hinweis: Man linearisiere die Funktion.

Aufgabe A17.3.3

Für die Hintereinanderausführung folgender Funktionen berechne man mit Hilfe der Kettenregel die Jacobi-Matrizen und überprüfe das Ergebnis, indem man direkt ableite:

1. a) f(x, y) = f2(f1(x, y)) mit f1(x, y) = xy und f2(t) = et
2. b) ,
3. c) h(t) = h2(h1(t)) mit und h2 (x, y) = x2 + y2.

Aufgabe A17.3.4

Man berechne die Jacobi-Matrizen der durch folgende Zuordnungsvorschriften gegebenen Funktionen direkt und unter Verwendung der Kettenregel:

1. a) ,
2. b) ,
3. c) ,
4. d) .

Aufgabe A17.3.5

Gegeben sei eine quadratische Funktion mit einer symmetrischen und positiv definiten Koeffizientenmatrix .

1. a) Man zeige: ?f(x) = Ax - b.
2. b) Man sagt, dass s eine Abstiegsrichtung von f im Punkt x ist, falls für s, die Ungleichung ? f(x)T s < 0 erfüllt ist.

   Für die Funktion F(a) ? f(x + as) berechne man F´(a) und zeige, dass F(a) ein eindeutig bestimmtes Minimum besitzt in

3. c) Man zeige, dass das Verfahren des steilsten Abstiegs auf folgende Rekursion führt:

Aufgabe A17.3.6

Gegeben sei die quadratische Funktion f(x, y) = x2 + 2y2.

1. a) Man stelle f in der Form mit...