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Differentialrechnung mehrerer Variabler

In diesem Abschnitt behandeln wir die Differentialrechnung von Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen. Die Funktionswerte mögen dabei Skalare oder allgemeiner Vektoren in einem endlichdimensionalen, normierten Vektorraum sein.

Wie auch bei Funktionen f: D R in einer Variablen, d. h. D ? R, geht der Differenzierbarkeit von Funktionen in mehreren Veränderlichen die Stetigkeit voraus, die wir im ersten Band in Abschn. 9.1 allgemein definiert hatten. Wie in Definition 9.6 kann die Stetigkeit als Folgenstetigkeit definiert werden. Ist D ? Rn und f : D Rm, dann heißt f stetig an einem inneren Punkt x0 ? D, wenn

für alle gegen x0 konvergenten Vektorfolgen aus D gilt. Das e-d-Kriterium (Satz 9.7) der Stetigkeit lautet

wobei wir an den Normen die jeweiligen Räume notiert haben. Verwenden wir in Rn und Rm jeweils die euklidische Norm (in endlichdimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent), dann lautet das e-d-Kriterium

Mehr noch als im Fall von reellen Funktionen einer Veränderlichen ist der Nachweis der Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variablen mit Hilfe des e-d-Kriterium eine Kunst, die in der Regel nur für sehr einfache Funktionen gelingt.

Als einfaches Beispiel soll uns die Funktion f : R2 R aus Beispiel 17.7,

dienen, wobei wir x = (x, y)T geschrieben haben. Diese Funktion ist im Punkt x0 = (x0, y0)T = 0 nicht stetig, was wir mit dem Folgenkriterium zeigen wollen. Der Funktionswert bei x0 ist nach Definition f(x0) = f(0) = 0, aber für die Folge

die offenbar gegen x0 = 0 konvergiert, folgt

In Abschn. 9.2 des ersten Bandes haben wir den Ableitungsbegriff sowohl für skalare, wie auch für vektorwertige Funktionen einer reellen Variablen kennengelernt.

Ist f: R ? D R eine skalare Funktion, so ist die Ableitung an einem inneren Punkt x0 des Definitionsbereichs D, vgl. Definition 9.1, definiert durch den Grenzwert

Dieser Wert gibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen

im Punkt (x0, f(x0))T an.

Ist f : R ? D Rm nun eine vektorwertige Funktion einer skalaren, unabhängigen Variablen x, also f = (f1, . , fm)T, so lässt sich die Ableitung (bei gleicher Definition wie oben) einfach komponentenweise berechnen:

Geometrisch beschreibt die Ableitung f´(x0) in diesem Fall den Geschwindigkeitsvektor der Kurve x ? f(x) im Punkt x0. Die unabhängige Variable wird hierbei als Zeit interpretiert.

Für die Übertragung des Ableitungsbegriffs auf Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ist diese Interpretation jedoch nicht sinnvoll. Die unabhängige Variable x spielt dann eher die Rolle eines Ortsvektors. Dagegen ist die folgende Interpretation der Ableitung f´(x0) in diesem Fall nützlich:

Ist f: R ? D R eine skalare, differenzierbare Funktion und ist x0 ? D0 ein innerer Punkt des Definitionsbereichs D, so ist f´(x0) die eindeutig bestimmte Zahl a ? R, für die die affin-lineare Funktion (Tangente) l(x) := a(x - x0)+ f(x0) die Funktion f in der Nähe von x0 "am besten" approximiert, d. h., genau für a = f´(x0) gilt

Mit Hilfe des Landau-Symbols, vgl. Definition 9.20, lässt sich diese Beziehung auch folgendermaßen schreiben:

Diese Charakterisierung der Ableitung f´(x0) lässt sich nun ohne großen Mühe auch auf Funktionen mit Vektorargumenten übertragen.

Bevor wir diesen Weg in Abschn. 17.2 weiter verfolgen werden, sehen wir uns zunächst eine andere, naheliegende Vorgehensweise an. Hierbei friert man zur Differentiation nach dem Vektor x ? Rn alle Komponenten von x bis auf eine Komponente ein und differenziert nun nach dieser verbliebenen skalaren Variablen xi. Auf diese Weise erhält man nun n verschiedene Ableitungen, nämlich für jede der Variablen xi, i = 1, . , n, nach denen differenziert wird. Welche Bedeutung haben diese partiellen Ableitungen und in welchen Zusammenhang stehen sie zu der oben beschriebenen Approximationseigenschaft an die Funktion f?

17.1 Partielle Ableitungen

Gegeben sei eine Funktion f : Rn ? D R in n Variablen (x1, . , xn).

Halten wir alle Variablen x1, . , xi-1 und xi + 1, . , xn fest und differenzieren nun nach der verbleibenden Variablen xi, so ergeben sich die partiellen Ableitungen von f.

Definition (17.1)

Sei D ? Rn offen, f : D R und x0 ? D.

1. a) f heißt in x0 nach der i-ten Koordinate xi partiell differenzierbar, falls der Grenzwert

   existiert. ei bezeichnet hierbei den i-ten Einheitsvektor, i = 1, . , n.

   Der Grenzwert heißt die partielle Ableitung von f nach der Variablen xi im Punkt x0 ? D, vgl. Abb. 17.1.

2. b) Ist f in allen Punkten x0 ? D partiell differenzierbar nach xi, so heißt f partiell differenzierbar nach der Koordinate xi und bezeichnet die Abbildung .

   Trifft dies ferner für alle Koordinaten xi, i = 1, . , n, zu, so heißt die Funktion f partiell differenzierbar.

   Sind darüber hinaus sämtliche partiellen Ableitungen , i = 1, . , n, auf dem Definitionsbereich D stetig, so heißt f stetig partiell differenzierbar, oder eine C1-Funktion auf D.

Abb. 17.1 Partielle Ableitungen einer Funktion z = f(x, y).

Bemerkungen (17.2)

1. a) ist gerade die übliche eindimensionale Ableitung der "partiellen" Funktion

   an der Stelle .

2. b) Sind die Funktionen f und g auf der offenen Menge D ? Rn partiell differenzierbar, so gelten die üblichen Differentiationsregeln:
3. c) Für die partielle Ableitung sind auch die Bezeichnungen Dif(x0) und fxi(x0) gebräuchlich.

Beispiele (17.3)

1. a) Die Funktion f : R3 R mit f(x, y, z) := 3xz + y sin(x) + zey ist auf R3 stetig partiell differenzierbar mit
2. b) Der Schalldruck einer räumlich eindimensionalen Schallwelle ist gegeben durch die Funktion

   Die partielle Ableitung beschreibt dann zu einem festen Zeitpunkt t die örtliche Änderung des Schalldrucks. Analog beschreibt an einem festen Ort x die zeitliche Änderung des Schalldrucks.

3. c) Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet pV = RT. Dabei ist p der Druck, V das Volumen und T die (absolute) Temperatur des Gases. Ferner bezeichnet R die universelle Gaskonstante.

   Jede der drei Größen p, V und T lässt sich vermöge der obigen Zustandsgleichung als Funktion der beiden anderen Variablen auffassen:

Durch Berechnung der zugehörigen partiellen Ableitungen und unter Verwendung der Zustandsgleichung lässt sich folgern:

Definition (17.4)

Sei D ? Rn offen, f : D R sei im Punkt x0 ? D (nach allen Koordinaten) partiell differenzierbar. Der Vektor

heißt der Gradient der Funktion f im Punkt x0.

Dabei wird der symbolische Vektor Nabla-Operator genannt. Er ist nach der Form eines hebräischen Musikinstrumentes benannt.

Für den Gradienten ist mitunter auch die Schreibweise grad f(x0) := ?f(x0)T als Zeilenvektor gebräuchlich. Wir werden im Folgenden beide Schreibweisen verwenden.

Bemerkung (17.5)

Sind die Funktionen f, g : Rn ? D R auf der offenen Menge D partiell differenzierbar, so gelten die folgenden Differentiationsregeln:

Beispiele (17.6)

1. a) Für die Funktion f(x, y) := ex · sin y...