A 1
Aussagen, Mengen und Funktionen

A1.1 Aussagen

Aufgabe A1.1.1

Für folgende Aussagenverbindungen gebe man die Wahrheitstafeln an:

1. a) (A => B) => C,
2. b) (A ? B) ? C,
3. c) (A ? B) ? ¬ (B ? C),
4. d) (A => B) ? B.

Können c) und d) vereinfacht dargestellt werden?

Aufgabe A1.1.2

1. a) Man gebe für folgende Aussagen die Wahrheitstafeln an:
   1. i) ((A ? B) ?) ? ((A ? B) ? ¬ B),
   2. ii) (A => B) ? (B ? C),
   3. iii) A ? ¬ B.
2. b) Man zeige, dass folgende Aussagen Tautologien sind:
   1. i) (A ? B) ? ((A ? B) ? (B => A)),
   2. ii) ¬(A ? ¬A),
   3. iii) A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C),
   4. iv) ¬(A ? B) ? (¬A) ? (¬B),
   5. v) (A => B) ? (¬B => A),
   6. vi) (A => B) ? ¬(A ? ¬B).

Aufgabe A1.1.3

Man zeige mittels eines indirekten Beweises:

1. a) Für alle reellen Zahlen a und b gilt

1. b) log10 2 ist keine rationale Zahl.
2. c) Für reelle Zahlen a, b mit 0 < a < b gilt die Ungleichung

Aufgabe A1.1.4

1. a) Man beweise indirekt, dass für ungerade Zahlen a, b und c
2. keine rationale Lösung x besitzt.
3. b) Mit Hilfe der Dreiecksungleichung beweise man für reelle Zahlen a und b direkt

Aufgabe A1.1.5

Man beweise direkt:

1. a) für q ? 1,
2. b) .

Aufgabe A1.1.6

1. a) Man bestimme die natürliche Zahl N, so dass für n = N gilt (direkter Beweis):
   1. i) 3n > n4,
   2. ii) n! = 4n.
2. b) Gegeben seien die folgenden natürlichen Zahlen
   1. Man zeige, dass auch die Summe n2 + m2 der Quadratzahlen wieder das Quadrat einer natürlichen Zahl ist.

Aufgabe A1.1.7

1. a) Für a, b ? R mit 0 < a = b beweise man die Behauptung

1. b) Man beweise indirekt die Behauptung

1. c) Man entscheide und begründe ohne Verwendung eines Taschenrechners, welche der beiden Zahlen größer ist:

A1.2 Mengen

Aufgabe A1.2.1

Gegeben seien die folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

Man bestimme

1. a) A n C,
2. b) A n B,
3. c) A ? B ? C,
4. d) A n (B ? C),
5. e) R\B,
6. f) A\C,
7. g) (R\C) ? B,
8. h) C ? (R\B),
9. i) (R n B) ? A,
10. j) (R ? A)\B,
11. k) ((A\B) n C) ? A,
12. l) ((A ? B) n C) \ A,

Aufgabe A1.2.2

Man berechne die Lösungsmengen von

1. a) A = {x ? R │ x2 - 4 = 0},
2. b) B = {x ? Z │ x2 - 4 = 0},
3. c) C = {x ? N │ x2 - 4 = 0},
4. d) D = {x ? Z │ 1 = ex = 27} und bestimme A ? D, D/C sowie B n D.

Aufgabe A1.2.3

1. a) Man gebe die reellen Zahlen x an, für die folgende Ungleichungen erfüllt sind:
   1. i)
   2. ii) .
2. b) Man betrachte die Wheatstonesche Brückenschaltung (siehe Abb. 1.1). Durch Verschieben des Schleifkontaktes B wird die Spannung zwischen den Punkten A und B auf 0 gebracht. Der zu messende Widerstand x berechnet sich in Abhängigkeit von R und folgendermaßen:
   1. In welchem Bereich variiert x, wenn bekannt ist, dass 28 O = R = 29 O und 1,9 cm = = 2,1 cm gilt?

Abb. 1.1 Wheatstonesche Brückenschaltung.

Aufgabe A1.2.4

Man bestimme alle reellen Werte x, für die gilt:

1. a) ,
2. b) ,
3. c) ,
4. d) ,
5. e) ,
6. f) ,
7. g) |2 - | 1 - |x||| = 3,
8. h) |x + 2 | - |x - 3| = 3.

Aufgabe A1.2.5

1. a) Ab welchem n ? N gilt

1. b) Man bestimme alle x? R mit
   1. i) |4 - |x|| = x,
   2. ii) (x - 1)2 - 1 = 2 - =x - 2=,
   3. iii)
2. c) Man bestimme die Teilmenge des R2 für die gilt:

Aufgabe A1.2.6

In der x-y-Ebene skizziere man den Lösungsbereich von

1. a) |x-2| + 2 = |y|,
2. b) max {|x|, |y|} = 1, sowie die Mengen
3. c) .

Aufgabe A1.2.7

Man skizziere in der x- y-Ebene die folgenden Mengen:

1. a) M1 = {(x, y) ? R2 │ │y - 2│ = x ? │y - 2│ < 1 } ,
2. b) M2 = {(x, y) ? R2 │ │x│ + │y│ = 1},
3. c)

Klausuraufgabe A1.2.8

Man skizziere die Mengen

A1.3 Funktionen

Aufgabe A1.3.1

Man bestimme alle x ? R für die gilt:

1. a)
2. b)

Aufgabe A1.3.2

Man zeige mittels der Additionstheoreme von sin bzw. cos, dass folgende Beziehung gilt:

1. a)

Von folgenden Funktionsvorschriften y = f (x) mit reellem x und y sind der größtmögliche Definitionsbereich D und der zugehörige Bildbereich f(D) anzugeben:

1. b) ,
2. c) ,
3. d) y = ln(x2 + 3x + 2).

Aufgabe A1.3.3

Für reelles x seien die folgenden Funktionsvorschriften y = f (x) gegeben:

1. a) ,
2. b) ,
3. c) ,
4. c) ,
5. e) y = n für n < x = n + 1, n ? Z,
6. f) .

Man gebe jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich D und den zugehörigen Bildbereich f(D) an.

Aufgabe A1.3.4

1. a) Man untersuche die Abbildung ,
   1. in Abhängigkeit von a, b und c auf Injektivität und Surjektivität.
2. b) Für die folgende Funktion f (x) ist eine Darstellung als Komposition aus "elementaren" Funktionen anzugeben (Tastenfolge bei der Auswertung auf einem Taschenrechner):
   1. Wie lauten die Definitionsbereiche?

Aufgabe A1.3.5

1. a) Man zeige ohne Benutzung eines Taschenrechners, dass sinh 1 > 1 ist. Man verwende die Definitionen
   1. und rechne mit Ungleichungen! Die Umformungen sind genau zu begründen! Hinweis: Man zeige und verwende, dass (e - 1)2 > 2 gilt.
2. b) Eine Funktion heißt gerade Funktion, wenn f (x) = f (-x) gilt, sie heißt ungerade Funktion, wenn f (-x) = -f (x) gilt. Welche der folgenden Funktionen sind gerade bzw. ungerade:

Aufgabe A1.3.6

1. a) Man entscheide, welche der folgenden Funktionen injektiv, surjektiv und bijektiv sind und zeichne die zugehörigen Funktionsgraphen:
   1. i) f1: [-5, 5] [-2,2], f1(x) = 1-|2-|x||,
   2. ii) f2: [0,1] [0,2], f2(x)= x4,
   3. iii) f3: [0, p /2] [0,1/2], f3(x) = sin x cos x,
   4. iv)f4:R ]0,8[, f4(x) = ex.
2. b) Welche der folgenden Funktionen sind gerade bzw. ungerade (man zeichne die Funktionsgraphen):
   1. a) f5(x) = cosx + 2x + 2-x ,
   2. b) f6(x) = x3 + sin(2x).

Aufgabe A1.3.7

Für die Funktion

bestimme man die kleinste Zahl a, so dass f eine Umkehrfunktion f-1 besitzt. Man berechne die Umkehrfunktion, gebe deren Definitions- und...