Schweitzer Fachinformationen
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Über den Autor 7
Einführung 21
Über dieses Buch 21
Konventionen in diesem Buch 22
Was Sie nicht lesen müssen 22
Törichte Annahmen über den Leser 23
Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
Teil I: Grundlagen der grundlegenden Mathematik 23
Teil II: Ganze Zahlen 24
Teil III: Teile des Ganzen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozente 24
Teil IV: Visualisieren und Messen - Graphen, Maße, Statistik und Mengen 25
Teil V: Akte X: Einführung in die Algebra 25
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 26
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 26
Wie es weitergeht 26
Teil I: Grundlagen der grundlegenden Mathematik 29
Kapitel 1 Das Spiel mit den Zahlen 31
Die Erfindung der Zahlen 32
Zahlenfolgen verstehen 32
Ungerade gerade machen 33
Um 3, 4, 5 und so weiter weiterzählen 33
Quadratzahlen verstehen 34
Zusammengesetzte Zahlen - ganz einfach 34
Die Primzahlen verweigern sich dem Rechteck! 36
Mit Exponenten schnell multiplizieren 36
Der Zahlenstrahl 38
Auf dem Zahlenstrahl addieren und subtrahieren 38
Das Nichts verstehen lernen: 0 39
Und nun in die andere Richtung: Negative Zahlen 40
Die Möglichkeiten vervielfachen sich - Multiplikation 41
Auseinanderdividiert 42
Die Zwischenstellen: Brüche 43
Vier wichtige Zahlenmengen 44
Zählen mit den natürlichen Zahlen 44
Einführung der ganzen Zahlen 45
Wir bleiben rational 45
Werden wir reell 45
Aufgaben 46
Kapitel 2 Zahlen und Ziffern - an den Fingern abgezählt 49
Den Stellenwert kennen 50
Bis zehn zählen - und darüber hinaus 50
Platzhalter von führenden Nullen unterscheiden 51
Lange Zahlen lesen 52
Runden und Schätzen 52
Zahlen runden 52
Werte schätzen, um Aufgaben einfacher zu lösen 54
Aufgaben 55
Kapitel 3 Die großen Vier: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division 57
Zusammenzählen: Addition 57
Reihenweise: Größere Zahlen in Spalten addieren 58
Übertrag: Zweistellige Lösungen 58
Abziehen: Subtraktion 59
Spaltenweise: Große Zahlen subtrahieren 60
Zehnerübertrag: Mit »Borgen« subtrahieren 61
Multiplikation 63
Multiplikationssymbole 64
Die Multiplikationstabelle auswendig lernen 64
Zwei Stellen: Größere Zahlen multiplizieren 68
Division im Handumdrehen 69
Schriftliche Division im Nu erledigt 70
Was übrig bleibt: Division mit Rest 72
Aufgaben 72
Teil II: Ganze Zahlen 75
Kapitel 4 Die vier großen Operationen in der Praxis 77
Eigenschaften der vier großen Operationen 77
Inverse Operationen 78
Kommutative Operationen 79
Assoziative Operationen 80
Distribution - zur Lastverringerung 81
Die vier großen Operationen für negative Zahlen 81
Addition und Subtraktion mit negativen Zahlen 82
Multiplikation und Division mit negativen Zahlen 83
Einheiten und Größen verstehen 84
Größen addieren und subtrahieren 84
Größen multiplizieren und dividieren 85
Ungleichheiten verstehen 86
Ungleich (¿) 86
Kleiner (<) und größer (>) 86
Ungefähr gleich (~) 87
Über die großen Vier hinaus: Exponenten, Quadratwurzeln und Beträge 87
Exponenten verstehen 87
Zurück zu den Wurzeln 88
Den Betrag einer Zahl bestimmen 89
Aufgaben 89
Kapitel 5 Eine Frage der Werte: Berechnung arithmetischer Ausdrücke 93
Drei wichtige Konzepte der Mathematik: Gleichungen, Terme und deren Berechnung 93
Gleichheit für alle: Gleichungen 94
He, es ist nur ein Term! 95
Die Situation vereinfachen 95
Die Vereinigung der drei Konzepte 96
Die Operatorenreihenfolge 96
Anwendung der Operatorenreihenfolge auf Terme mit den vier großen Operationen 97
Anwendung der Operatorenreihenfolge in Termen mit Exponenten 100
Anwendung der Operatorenreihenfolge in Termen mit Klammern 101
Aufgaben 104
Kapitel 6 Zugetextet? Text in Zahlen umwandeln 107
Zwei Gerüchte über Textaufgaben zerstreuen 108
Textaufgaben sind nicht immer schwierig 108
Textaufgaben sind nützlich 108
Grundlegende Textaufgaben lösen 109
Textaufgaben in Wortgleichungen umwandeln 109
Zahlen für Wörter einsetzen 111
Komplexere Textaufgaben lösen 113
Wenn es ernst wird mit den Zahlen 114
Zu viel Information 115
Alles zusammen 116
Aufgaben 118
Kapitel 7 Teilbarkeit 119
Die Tricks der Teilbarkeit 119
Zahlen, durch die geteilt werden kann 119
Das dicke Ende: Die hinteren Ziffern ansehen 120
Jeder macht mit: Teilbarkeit durch Addition der Ziffern prüfen 121
Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen erkennen 124
Aufgaben 126
Kapitel 8 Fabelhafte Faktoren und viel zitierte Vielfache 127
Sechs Methoden, dasselbe zu sagen 127
Faktoren und Vielfache in Beziehung setzen 128
Fabelhafte Faktoren 129
Erkennen, ob eine Zahl ein Faktor einer anderen Zahl ist 129
Die Faktoren einer Zahl ermitteln 130
Primfaktoren 131
Den größten gemeinsamen Teiler finden 136
Viel zitierte Vielfache 137
Vielfache erzeugen 138
Das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen 138
Aufgaben 140
Teil III: Teile des Ganzen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozente 143
Kapitel 9 Das Spiel mit den Brüchen 145
Eine Torte in Bruchteile schneiden 146
Entscheidende Informationen über Brüche 147
Den Zähler vom Nenner unterscheiden 147
Reziproke - der Umkehr halber 148
Die Verwendung von Nullen und Einsen 148
Gut gemischt 149
Echtes und Unechtes unterscheiden 149
Brüche erweitern und kürzen 149
Brüche erweitern 150
Brüche kürzen 151
Unechte Brüche und gemischte Schreibweise ineinander umwandeln 153
Die Bestandteile der gemischten Schreibweise 153
Die gemischte Schreibweise in einen unechten Bruch umwandeln 153
Einen unechten Bruch in die gemischte Schreibweise umwandeln 154
Die Kreuzmultiplikation verstehen 155
Aufgaben 156
Kapitel 10 Es geht weiter: Brüche und die vier großen Operationen 159
Brüche multiplizieren und dividieren 159
Zähler und Nenner einfach multiplizieren 160
Mit einer Drehung Brüche dividieren 162
Zusammengezählt: Brüche addieren 162
Die Summe von Brüchen mit gleichen Nennern ermitteln 163
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren 164
Weg damit: Brüche subtrahieren 170
Brüche mit gleichen Nennern subtrahieren 170
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren 171
Mit der gemischten Schreibweise arbeiten 174
Zahlen in gemischter Schreibweise multiplizieren und dividieren 174
Zahlen in gemischter Schreibweise addieren und subtrahieren 175
Aufgaben 181
Kapitel 11 Dezimalzahlen 183
Grundlegende Informationen über Dezimalzahlen 184
Euros und Dezimalzahlen zählen 184
Der Stellenwert von Dezimalzahlen 186
Die dezimalen Tatsachen des Lebens 187
Die großen vier Operationen für Dezimalzahlen 191
Dezimalzahlen addieren 191
Dezimalzahlen subtrahieren 193
Dezimalzahlen multiplizieren 194
Dezimalzahlen dividieren 195
Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln 198
Einfache Umwandlungen 198
Dezimalzahlen in Brüche umwandeln 198
Brüche in Dezimalzahlen umwandeln 201
Aufgaben 204
Kapitel 12 Prozentsätze 207
Prozentsätze verstehen 207
Der Umgang mit Prozentsätzen größer 100 Prozent 208
Prozentsätze, Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln 209
Von Prozentsätzen zu Dezimalzahlen 209
Von Dezimalzahlen zu Prozentsätzen 209
Von Prozentsätzen zu Brüchen 209
Von Brüchen zu Prozentsätzen 210
Prozentaufgaben lösen 211
Ein paar einfache Prozentaufgaben lösen 211
Aufgabenstellungen umkehren 213
Schwierigere Prozentaufgaben lösen 213
Alle Prozentaufgaben kombinieren 214
Die drei Arten von Prozentaufgaben identifizieren 215
Der Prozentkreis 216
Aufgaben 219
Kapitel 13 Textaufgaben mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentsätzen 221
Teile des Ganzen in Textaufgaben addieren und subtrahieren 222
Eine Pizza teilen: Brüche 222
Kiloweise kaufen: Dezimalzahlen 223
Geteilte Stimmen: Prozentsätze 223
Aufgaben zum Multiplizieren von Brüchen 224
Durchblick in der Metzgerei 224
Kuchenreste 225
Dezimalzahlen und Prozentsätze in Textaufgaben multiplizieren 226
Wie viel Geld ist übrig? 226
Den Grundwert bestimmen 227
Prozentuale Steigerungen und Abnahmen in Textaufgaben 229
Gehaltserhöhungen berechnen 229
Zinsen und Zinseszinsen 231
Schnäppchenjagd: Rabatte berechnen 232
Aufgaben 232
Teil IV: Visualisieren und Messen - Graphen, Maße, Statistik und Mengen 235
Kapitel 14 Die perfekte Zehn: Zahlen in wissenschaftlicher Notation 237
Das Wichtigste zuerst: Zehnerpotenzen als Exponenten 238
Nullen zählen und Exponenten schreiben 238
Zum Multiplizieren Exponenten addieren 240
Mit der wissenschaftlichen Notation arbeiten 240
In wissenschaftlicher Notation schreiben 241
Warum die wissenschaftliche Notation funktioniert 242
Die Größenordnung verstehen 243
Multiplizieren mit der wissenschaftlichen Notation 243
Aufgaben 245
Kapitel 15 Maße und Gewichte 247
Unterschiede zwischen dem englischen und dem metrischen System untersuchen 247
Das englische System 248
Das metrische System 250
Das englische und das metrische System - schätzen und umrechnen 252
Schätzen zwischen den Systemen 252
Maßeinheiten umrechnen 254
Aufgaben 257
Kapitel 16 Ein Bild sagt mehr als tausend Worte: Grundlegende Geometrie 259
Alles in der Ebene: Punkte, Linien, Winkel und Figuren 260
Punkte machen 260
Auf der Linie 260
Winkel 261
Figuren 262
Geschlossener Umriss: Weiter zu den 2D-Figuren 262
Kreise 263
Polygone 263
Die nächste Dimension: Körpergeometrie 266
Die vielen Gesichter der Polyeder 266
3D-Körper mit Kurven 268
Figuren messen: Umfang, Fläche, Oberfläche und Volumen 268
2D: In der Ebene messen 268
Weiter in den Raum: In drei Dimensionen messen 275
Aufgaben 279
Kapitel 17 Sehen ist glauben: Graphen als visuelles Werkzeug 283
Die drei wichtigsten Graphenstile 283
Balkendiagramm 284
Tortendiagramm 285
Liniendiagramm 286
Kartesische Koordinaten 287
Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem eintragen 287
Geraden in einem kartesischen Koordinatensystem zeichnen 288
Aufgaben mithilfe von kartesischen Koordinaten lösen 290
Aufgaben 292
Kapitel 18 Textaufgaben mit Geometrie und Maßen lösen 295
Der Kettentrick: Maßaufgaben mithilfe von Umrechnungsketten lösen 295
Eine kurze Kette einrichten 296
Mit mehr Verknüpfungen arbeiten 297
Abrunden: Die Suche nach der kürzesten Antwort 298
Textaufgaben aus der Geometrie lösen 300
Mit Wörtern und Bildern arbeiten 300
Ein wenig Zeichentalent ist gefragt 301
Und jetzt alles zusammen: Geometrie und Maße in einer Aufgabenstellung 304
Aufgaben 306
Kapitel 19 Chancen ausrechnen: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 307
Mathematisch Daten sammeln: Grundlegende Statistik 308
Der Unterschied zwischen qualitativen und quantitativen Daten 308
Die Arbeit mit qualitativen Daten 309
Die Arbeit mit quantitativen Daten 311
Wahrscheinlichkeiten: Grundlegende Wahrscheinlichkeitsrechnung 314
Wahrscheinlichkeit berechnen 315
Wahrscheinlichkeiten! Ergebnisse bei mehreren Münzen und
Würfeln zählen 316
Aufgaben 318
Kapitel 20 Jede Menge Mengenlehre 321
Mengen 321
Elementar: Das Innenleben der Mengen 322
Zahlenmengen 325
Operationen für Mengen 325
Vereinigung: Kombinierte Elemente 326
Schnitt: Gemeinsame Elemente 326
Relatives Komplement: Subtraktion (so gut wie) 327
Absolutes Komplement: Das glatte Gegenteil 327
Aufgaben 328
Teil V: Akte X: Einführung in die Algebra 329
Kapitel 21 Mr X kennenlernen: Algebra und algebraische Ausdrücke 331
x als Platzhalter 332
Algebraische Ausdrücke 332
Algebraische Ausdrücke berechnen 333
Algebraische Terme 335
Kommutativ: Terme neu anordnen 336
Den Koeffizienten und die Variable identifizieren 337
Ähnliche Terme identifizieren 338
Algebraische Terme und die vier großen Operationen 338
Algebraische Ausdrücke vereinfachen 342
Ähnliche Terme kombinieren 342
Klammern aus einem algebraischen Ausdruck entfernen 343
Aufgaben 347
Kapitel 22 Mr X enttarnen: Algebraische Gleichungen 349
Algebraische Gleichungen verstehen 350
x in Gleichungen verwenden 350
Vier Methoden, um algebraische Gleichungen zu lösen 351
Die Suche nach dem Gleichgewicht: Nach x auflösen 353
Das Gleichgewicht halten 353
Mithilfe der Waagschale x isolieren 354
Gleichungen neu anordnen und x isolieren 355
Terme auf einer Seite einer Gleichung neu anordnen 355
Terme auf die andere Seite des Gleichheitszeichens verschieben 356
Klammern aus Gleichungen entfernen 357
Kreuzmultiplikation 359
Aufgaben 361
Kapitel 23 Mr X im Einsatz: Textaufgaben in der Algebra 363
Algebra-Textaufgaben in fünf Schritten lösen 363
Eine Variable deklarieren 364
Die Gleichung aufstellen 365
Die Gleichung lösen 366
Die Frage beantworten 366
Die Lösung überprüfen 366
Die Variablen sorgfältig auswählen 367
Kompliziertere Algebra-Aufgaben lösen 368
Tabellen für vier Personen 368
Mit fünf Personen über die Ziellinie 369
Aufgaben 372
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 373
Kapitel 24 Die zehn wichtigsten Konzepte der Mathematik, die Sie keinesfalls ignorieren sollten 375
Jede Menge Mengen 375
Das Spiel mit den Primzahlen 376
Null: Viel Lärm um Nichts 376
Es wird griechisch: Pi (p) 377
Auf gleichem Niveau: Gleichheitszeichen und Gleichungen 377
Das Raster: Das kartesische Koordinatensystem 378
Ein und aus: Funktionen 378
Auf in die Unendlichkeit 379
Der reelle Zahlenstrahl 379
Die imaginäre Zahl i 380
Kapitel 25 Zehn wichtige Zahlenmengen, die Sie kennen sollten 381
Reine Natur: Die natürlichen Zahlen 382
Ganze Zahlen identifizieren 382
Rational über rationale Zahlen sprechen 383
Irrationale Zahlen verstehen 383
Algebraische Zahlen 384
Durchblick bei den transzendenten Zahlen 384
Auf dem Boden der reellen Zahlen 385
Imaginäre Zahlen veranschaulichen 385
Die Komplexität komplexer Zahlen verstehen 387
Mit den transfiniten Zahlen über »unendlich« hinaus 387
Vor langer Zeit haben Sie Zahlen geliebt. Das ist nicht etwa der Beginn eines Märchens. Vor langer Zeit haben Sie Zahlen geliebt. Erinnern Sie sich?
Wahrscheinlich waren Sie drei, und Ihre Großeltern waren zu Besuch. Sie haben neben ihnen auf dem Sofa gesessen und die Zahlen von 1 bis 10 aufgesagt. Oma und Opa waren stolz auf Sie und - seien Sie ehrlich - Sie waren auch ein bisschen stolz auf sich selbst. Vielleicht waren Sie auch gerade fünf und haben gelernt, Zahlen zu schreiben - und waren immer bemüht, die 2 und die 5 nicht verkehrt herum zu schreiben.
Lernen hat Spaß gemacht. Zahlen haben Spaß gemacht. Aber was ist passiert? Vielleicht begann der Ärger mit der schriftlichen Division. Oder Sie haben nicht verstanden, wie Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Oder vielleicht ging es darum, dass Sie nicht mit der Prozentrechnung zurechtgekommen sind? Die Umwandlung von Meilen in Kilometer? Der Versuch, den Wert des gefürchteten x zu bestimmen? Egal, wann es angefangen hat, Sie waren irgendwann der Meinung, dass die Mathematik Sie nicht mag - und Sie haben die Mathematik auch nicht sehr viel mehr gemocht.
Warum sind Menschen im Kindergarten oft so glücklich, zählen zu lernen, und verlassen dann die Schule in der festen Überzeugung, dass Mathematik einfach nichts für sie ist? Die Antwort auf diese Frage würde 20 Bücher dieses Umfangs füllen, aber wir können hier zumindest anfangen, das Problem zu lösen.
Ich bitte Sie ganz bescheiden, alle Vorurteile abzulegen. Denken Sie einen kurzen Moment lang an diese unschuldige Zeit - die Zeit, bevor das Wort »Mathematik« Panikattacken bei Ihnen ausgelöst hat (oder im besten Fall unbezwingbare Schläfrigkeit). In diesem Buch begleite ich Sie vom Verständnis der Grundlagen bis zu dem Punkt, an dem Sie bereit für die Algebra und damit erfolgreich sein werden.
Irgendwo auf dem Weg vom Zählenlernen bis zur Algebra erleiden viele einen großen mathematischen Zusammenbruch. Das ist etwa so, als würde Ihr Auto irgendwo im Niemandsland, fernab jeder Zivilisation plötzlich stottern und vor sich hin qualmen.
Betrachten Sie dieses Buch als Ihren persönlichen Pannenhelfer und mich als Ihren freundlichen Mechaniker (der aber sehr viel billiger als der für das Auto ist!). Nach der Strandung in diesem Zwischenzustand sind Sie vielleicht frustriert über die Umstände und fühlen sich von Ihrem Auto verraten, aber für den Herrn mit dem Werkzeugkasten ist es ganz alltägliche Arbeit. Die Werkzeuge für die Lösung des Problems mit der Mathematik finden Sie in diesem Buch.
Dieses Buch hilft Ihnen nicht nur bei den Grundlagen der Mathematik, sondern auch, Ihre Aversion zu überwinden, die Sie möglicherweise gegenüber der Mathematik ganz allgemein haben. Ich habe die Konzepte in leicht verständliche Abschnitte zerlegt. Und weil Grundlagen der Mathematik für Dummies eine Art Nachschlagewerk ist, müssen Sie die einzelnen Kapitel oder Abschnitte nicht in der vorgegebenen Reihenfolge lesen - Sie brauchen nur das zu lesen, was Sie gerade benötigen. Blättern Sie also beliebig herum. Immer wenn ich ein Thema beschreibe, für das Sie Informationen aus anderen Abschnitten im Buch benötigen, weise ich auf die betreffenden Abschnitte oder Kapitel hin, falls Sie Ihre Grundlagen noch einmal auffrischen möchten.
Hier zwei Ratschläge, die ich immer gebe - denken Sie daran, wenn Sie sich durch dieses Buch arbeiten:
Um Ihnen dabei zu helfen, sich in diesem Buch zurechtzufinden, verwende ich die folgenden Konventionen:
Nicht proportional
Obwohl jeder Autor insgeheim (oder auch ganz offen) davon ausgeht, dass jedes Wort aus seiner Feder pures Gold ist, müssen Sie nicht jedes Wort in diesem Buch lesen, es sei denn, Sie wollen das wirklich. Sie können Einschübe jederzeit überblättern (das sind die grau unterlegten Kästen), in denen ich ab und zu kleine Exkurse mache - es sei denn, Sie finden die hier präsentierten Informationen interessant. Mit dem Symbol »Vorsicht Technik« gekennzeichnete Abschnitte sind ebenfalls für das Verständnis nicht zwingend erforderlich.
Wenn Sie vorhaben, dieses Buch zu lesen, sind Sie wahrscheinlich
Ich gehe davon aus, dass Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können. Um herauszufinden, ob dieses Buch für Sie geeignet ist, führen Sie also den folgenden einfachen Test durch:
Wenn Sie diese vier Fragen beantworten können, können Sie sofort anfangen.
Dieses Buch besteht aus sechs Teilen. Sie beginnen mit der einfachsten Mathematik - mit Themen wie etwa dem Zählen und dem Zahlenstrahl - und arbeiten sich langsam vor bis zur Algebra. Nach jedem Kapitel finden Sie Übungsaufgaben, um das Gelernte zu festigen. Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie kostenfrei zum Download unter https://www.wiley-vch.de/de/dummies/downloads und dem Buchtitel.
https://www.wiley-vch.de/de/dummies/downloads
In Teil I gehe ich von dem aus, was Sie bereits über Mathematik wissen, und bewege mich von dort aus langsam weiter.
In Kapitel 1 finden Sie einen kurzen Überblick darüber, was Zahlen sind und wo sie herkommen. Ich beschreibe, wie Zahlenfolgen entstehen. Ich zeige Ihnen, wie wichtig Zahlenmengen sind - beispielsweise die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen -, die Sie alle auf dem Zahlenstrahl finden. Außerdem zeige ich Ihnen, wie Sie den Zahlenstrahl für die grundlegende Arithmetik nutzen können.
In Kapitel 2 geht es um die Ziffern, die die Bausteine der Zahlen bilden, vergleichbar damit, wie Buchstaben die Bausteine der Wörter sind. Ich zeige Ihnen, wie das Zahlensystem, das Sie täglich verwenden - das hindu-arabische Zahlensystem (auch als Dezimalzahlen bezeichnet) -, die Basis 10 als Grundlage für den Aufbau von Zahlen aus Ziffern nutzt.
Kapitel 3 schließlich konzentriert sich auf die sogenannten großen vier Operationen - Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ich werde Ihre Kenntnisse auffrischen, wie spaltenweise mit Übertrag addiert wird, wie die Subtraktion mit Zehnerübergang funktioniert, wie große Zahlen multipliziert werden und wie die gefürchtete schriftliche Division passiert.
In Teil II gehen wir einen großen Schritt weiter, und Sie werden besser verstehen, wie die großen Vier (Operationen) funktionieren. In Kapitel 4 geht es um inverse Operationen, kommutative, assoziative und distributive Eigenschaften sowie um die Arbeit mit negativen Zahlen. Sie erfahren, wie man mit Ungleichungen arbeitet, also mit Gleichungen, die statt des Gleichheitszeichens (=) das Größer-als-Zeichen (>) oder das Kleiner-als-Zeichen (<) verwenden. Außerdem stelle ich Ihnen fortgeschrittenere Operationen vor, wie beispielsweise Potenzen (Exponenten), Quadratwurzeln und Absolutwerte.
In Kapitel 5 geht es um drei wichtige Konzepte der...
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