Mathematische Algorithmen mit Python

Materialien zum Buch ... 15

1. Einführung ... 17
1.1 ... Entwicklungsumgebungen ... 22
1.2 ... Die Installation der Module ... 25
1.3 ... Schlüsselwörter von Python ... 28
1.4 ... Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung ... 30
1.5 ... Algorithmenbegriffe ... 34
1.6 ... Übungen ... 37

2. Datentypen und Datenstrukturen ... 41
2.1 ... Tupel ... 42
2.2 ... Set ... 49
2.3 ... Liste ... 54
2.4 ... Dictionary ... 60
2.5 ... Zusammenfassung ... 65
2.6 ... Aufgaben ... 66

3. Programmstrukturen ... 67
3.1 ... Mathematische Operatoren ... 68
3.2 ... Die lineare Programmstruktur ... 69
3.3 ... Verzweigungsstrukturen ... 72
3.4 ... Wiederholstrukturen ... 76
3.5 ... Operation auf Vektoren und Matrizen ... 89
3.6 ... Unterprogrammtechnik mit Funktionen ... 95
3.7 ... Einen Algorithmus optimieren ... 107
3.8 ... Objektorientierte Programmierung ... 113
3.9 ... Laufzeitanalyse ... 120
3.10 ... Aufgaben ... 127

4. Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy ... 131
4.1 ... NumPy ... 132
4.2 ... Matplotlib ... 139
4.3 ... SymPy ... 151
4.4 ... SciPy ... 155
4.5 ... Aufgaben ... 158

5. Zahlen ... 161
5.1 ... Natürliche und ganze Zahlen ... 165
5.2 ... Rationale Zahlen ... 198
5.3 ... Irrationale Zahlen ... 202
5.4 ... Transzendente Zahlen ... 206
5.5 ... Aufgaben ... 218

6. Gleichungssysteme ... 219
6.1 ... Lineare Gleichungssysteme ... 219
6.2 ... Iterative Verfahren ... 250
6.3 ... Nichtlineare Gleichungssysteme ... 263
6.4 ... Aufgaben ... 266

7. Folgen ... 269
7.1 ... Divergente Folgen ... 269
7.2 ... Differenzfolgen ... 273
7.3 ... Konvergente Folgen ... 275
7.4 ... Rekursive Folgen ... 278
7.5 ... Geometrische Folgen ... 280
7.6 ... Der Grenzwert von Folgen ... 284
7.7 ... Aufgaben ... 288

8. Nullstellen berechnen ... 289
8.1 ... Bisektionsverfahren ... 290
8.2 ... Fixpunktverfahren ... 295
8.3 ... Newton-Verfahren ... 301
8.4 ... Vergleich der Verfahren ... 304
8.5 ... Numerische Berechnung mehrerer Nullstellen ... 306
8.6 ... Aufgaben ... 308

9. Numerische Differenziation ... 309
9.1 ... Simulation des Grenzwertprozesses ... 310
9.2 ... Tangentengleichung ... 313
9.3 ... Vorwärts-, Rückwärts- und zentraler Differenzenquotient ... 316
9.4 ... Optimale Schrittweite ... 323
9.5 ... Höhere Ableitungen ... 326
9.6 ... Kurvendiskussion ... 333
9.7 ... Aufgaben ... 348

10. Reihen ... 351
10.1 ... Divergierende Reihen ... 352
10.2 ... Konvergente Reihen ... 358
10.3 ... Geometrische Reihen ... 366
10.4 ... Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung ... 371
10.5 ... Aufgaben ... 381

11. Numerische Integration ... 383
11.1 ... Das Problem der Flächenberechnung ... 383
11.2 ... Verfahren der Flächenberechnung ... 391
11.3 ... Bogenlängen ... 406
11.4 ... Rotationskörper ... 409
11.5 ... Zweifachintegrale ... 413
11.6 ... Aufgaben ... 421

12. Differenzialgleichungen ... 423
12.1 ... Das eulersche Polygonzugverfahren ... 424
12.2 ... Richtungsfelder ... 429
12.3 ... Differenzialgleichungen 1. Ordnung ... 431
12.4 ... Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung ... 438
12.5 ... DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel ... 443
12.6 ... DGL-System mit zwei Unbekannten ... 446
12.7 ... DGL-System mit drei Unbekannten ... 449
12.8 ... Optimierungen des Euler-Verfahrens ... 452
12.9 ... Lösung von Differenzialgleichungen mit SciPy ... 455
12.10 ... Lösen von Differenzialgleichungen mit Sympy ... 459
12.11 ... Aufgaben ... 462

13. Ausgleichsrechnungen ... 463
13.1 ... Lineare Ausgleichsprobleme ... 464
13.2 ... Nichtlineare Ausgleichsprobleme ... 483
13.3 ... Aufgaben ... 487

14. Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen ... 489
14.1 ... Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen ... 490
14.2 ... Lageparameter ... 494
14.3 ... Streuparameter ... 504
14.4 ... Strukturparameter ... 508
14.5 ... Aufgaben ... 514

15. Fraktale ... 517
15.1 ... Turtle-Grafik ... 518
15.2 ... Die kochsche Schneeflocke ... 521
15.3 ... Das Sierpinski-Dreieck ... 527
15.4 ... Der Pythagoras-Baum ... 531
15.5 ... Mandelbrot- und Julia-Mengen ... 534
15.6 ... Aufgaben ... 546

Anhang ... 549
A.1 ... Wichtige mathematische Begriffe und Sätze ... 549
A.2 ... Matplotlib-Eigenschaften ... 552

Literaturverzeichnis ... 555

Index ... 559