Logik: Grundlagen, das P-vs-NP-Problem und informationstheoretische Perspektiven

Kapitel 3

Aussagenlogik

Einführung in die Aussagenlogik In der Logik ist eine Proposition ein Aussa¬ gesatz, der entweder wahr oder falsch ist. aber nicht beides. Die Aussagenlo¬ gik konzentriert sich auf die Analyse und Manipulation solcher Propositionen auf der Grundlage ihrer logischen Struktur und nicht ihres Inhalts. In diesem System werden Propositionen als grundlegende Einheiten behandelt, und wir arbeiten mit ihnen unter Verwendung logischer Konnektoren wie UND ( ^ ), ODER ( ? ) NICHT ( /). IMPLIZIERT ( ) und WENN UND NUR WENN ( ).

Was ist Aussagenlogik? Die Aussagenlogik, auch Satzlogik oder Aussa¬ gelogik genannt, untersucht die Beziehungen zwischen Aussagen. Sie kon¬ zentriert sich darauf, wie Aussagen mithilfe der oben genannten logischen Verknüpfungen kombiniert und manipuliert werden können. Der Wahrheits¬ wert einer komplexen Aussage hängt ausschließlich von den Wahrheitswerten der darin enthaltenen einfacheren Aussagen und deren Verbindung ab. Aus diesem Grund befasst sich die Aussagenlogik hauptsächlich mit der Form oder Struktur von Aussagen und abstrahiert von deren Inhalt.

In der Aussagenlogik stellen wir jede einzelne Aussage mit einem Gro߬ buchstaben dar, wie zum Beispiel

P, Q oder R. Diese Buchstaben stehen für bestimmte Aussagesätze, wie zum Beispiel:

P: "Es regnet."

F: "Der Boden ist nass." Wir kombinieren diese Aussagen dann mithilfe logischer Konnektoren zu komplexeren Ausdrücken, die anhand ihrer Wahr¬ heitswerte analysiert werden.

Unterschied zwischen Aussagenlogik und Prädikatenlogik Während die Aussagenlogik einfache Aussagen als atomare Einheiten behandelt, bietet die Prädikatenlogik (oder Prädikatenlogik erster Stufe) einen leistungsfähigeren Rahmen für die Analyse von Aussagen, die eine interne Struktur aufweisen, wie etwa Subjekte und Prädikate. Die Prädikatenlogik ermöglicht es uns, mit Aussagen wie ,,Alle Mensehen sind sterblich" oder ,,Manche Vögel können fliegen" zu arbeiten, indem wir sic in Prädikate und Quantifikatoren wie ,,alle" oder ,,manche" zerlegen.

In der Prädikatenlogik gehen wir über die Vorstellung hinaus, dass Aus¬ sagen einfach wahr oder falsch sind. Stattdessen analysieren wir die internen Komponenten von Aussagen, indem wir Objekte, ihre Eigenschaften und die Beziehungen zwischen ihnen darstellen. In der Prädikatenlogik könnten wir beispielsweise die Aussage ,,Sokrates ist ein Mensch" wie folgt ausdrucken:

Mensch (Sokrates), wobei ,,Mensch" das Prädikat und "Sokrates" das Sub¬ jekt ist.

Fokus auf Aussagenlogik In diesem Kapitel konzentrieren wir uns aus¬ schließlich auf die Aussagenlogik, die die Grundlage für das Verständnis kom¬ plexerer logischer Systeme wie der Prädikatenlogik bildet. Wir werden unter¬ suchen, wie Aussagen mithilfe von Wahrheitstabellen, logischen Konnektoren und Inferenzregeln manipuliert werden können. Diese grundlegenden Kon¬ zepte sind für die Arbeit mit komplexeren Denksystemen unerlässlich, auf die wir in späteren Kapiteln eingehen werden, wenn wir die Prädikatenlogik einführen.

Durch die Beherrschung der Aussagenlogik erwerben Sic die notwendigen Werkzeuge, um Argumente zu analysieren, Beweise zu konstruieren und zu verstehen, wie logische Systeme auf einer grundlegenden Ebene fimktionieren.

3.1 Argumente

Bevor wir uns mit dem Begriff der Gültigkeit befassen, müssen wir zunächst klären, was wir im Kontext der Logik unter einem Argument verstehen. In der Logik ist ein Argument eine strukturierte Reihe von Aussagen, die aus einer oder mehreren Prämissen und einer Schlussfolgerung besteht. Die Schlussfol¬ gerung ist die Aussage, die wir begründen oder beweisen möchten, während die Prämissen die Annahmen oder Fakten sind, aus denen die Schlussfolge¬ rung abgeleitet wird.

Die Struktur eines Arguments Prämissen: Dies sind die Annahmen oder Aussagen, die als Grundlage für das Argument dienen. Sic werden im Inter¬ esse des Arguments als wahr betrachtet und dienen als Grundlage, aus der die Schlussfolgerung gezogen wird.

Schlussfolgerung: Dies ist die Aussage oder der Vorschlag, den das Ar¬ gument begründen soll. Die Schlussfolgerung sollte sich logisch aus den Prä¬ missen ergeben, d. h. wenn die Prämissen wahr sind, muss in einem gültigen Argument auch die Schlussfolgerung wahr sein.

3.1.1 Beispiel

Prämisse: Alle Säugetiere sind warmblütig. Prämisse: Alle Hunde sind Säu¬ getiere. Schussfolgerung: Datier sind alle Hunde warmblütig. In diesem Fall ist die Schussfolgerung die Aussage ,,Alle Hunde sind warmblütig", die durch die beiden Prämissen unterstützt wird. Das Ziel der Logik besteht darin, zu analysieren, ob die Prämissen die Sehlussfolgerung logisch unterstützen und ob die Struktur des Arguments seine Gültigkeit gewährleistet.

Prämissen und Schussfolgerung: Die Rollen Prämissen sind die Aus¬ gangspunkte eines Arguments. Sie liefern die Beweise oder Gründe, die zur Schussfolgerung führen sollen. Die Schussfolgerung ist das Endergebnis, die Behauptung, die auf der Grundlage der Prämissen gerechtfertigt wird. Bei der Bewertung eines Arguments konzentriert sieh die Logik darauf, ob die Prämissen ausreichen, um die Schussfolgerung zu garantieren, unabhängig davon, ob die Prämissen selbst sachlich wahr sind.

Datier beschäftigt sich das Studium der Logik nicht nur mit der Wahr¬ heit oder Falschheit einzelner Aussagen, sondern auch mit den Beziehungen zwischen Prämissen und Schlussfolgerungen. Ein Argument ist gültig, wenn, vorausgesetzt, dass die Prämissen wahr sind, auch die Schussfolgerung wahr sein muss. Die Gültigkeit eines Arguments hängt von seiner Form ab, die wir mit logischen Werkzeugen analysieren.

3.2 Gültigkeit

Einer der grundlegendsten Begriffe in der Logik ist die Gültigkeit. Ein Ar¬ gument güt als gültig, wenn seine Form garantiert, dass die Schlussfolgerung zwangsläufig aus den Prämissen folgt. Mit anderen Worten: Wenn die Prä¬ missen wahr sind, darf die Schussfolgerung nicht falsch sein. Der Schlüssel zum Verständnis liegt in der Struktur oder Form des Arguments und nicht in den spezifischen Details der Aussagen selbst.

Gültigkeit und Form Um dies zu veranschaulichen, betrachten Sie das folgende Argument:

Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Datier ist Sokrates sterblich. Dieses Argument ist gültig, da die Schlussfolgerung logisch aus den Prämissen folgt. Wenn beide Prämissen wahr sind, kann die Schlussfolgerung nicht falsch sein. Beachten Sic, dass nicht der Inhalt der Aussagen (Menschen, Sterblichkeit, Sokrates) die Gültigkeit des Arguments bestimmt. Stattdessen ist es die Form:

Alle A sind B. C ist ein A. Datier ist C B. Jedes Argument, das dieser Form folgt, ist gültig, unabhängig davon, was A, B und C darstellen. Dies ist das Wesen der logischen Gültigkeit: Sie basiert ausschließlich auf der Form des Arguments, nicht auf dem eigentlichen Gegenstand.

3.2.1 Gültigkeit vs. Wahrheit

Es ist wichtig, zwischen Gültigkeit und Wahrheit zu unterscheiden. Ein Ar¬ gument kann gültig sein, ohne wahre Prämissen zu haben. Zum Beispiel:

Alle Katzen sind Reptilien. Felix ist eine Katze. Also ist Felix ein Reptil. Dieses Argument ist gültig, denn wenn die Prämissen wahr wären, wäre die Schlussfolgerung angesichts der Form des Arguments auch wahr. Die erste Prämisse ist jedoch eindeutig falsch, was bedeutet, dass die Schlussfolgerung in Wirklichkeit nicht wahr ist. Die Gültigkeit betrifft die logische Struktur des Arguments, während die Wahrheit den Inhalt der Prämissen und der Schlussfolgerung betrifft.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ein Argument gültig ist, wenn cs unmöglich ist, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch ist. Im Kern geht es bei der Logik darum, diese Beziehungen zu analysieren und zu verstehen, damit wir zwischen gültigen und ungültigen Argumentations¬ formen unterscheiden können. Im weiteren Verlauf werden wir verschiedene Arten von Logik und Methoden zur Bestimmung der Gültigkeit verschiedener Arten von Argumenten untersuchen.

3.3 Die logische Form

Unter welchen Umständen sind Argumente allein aufgrund ihrer logischen Form gültig? Die Gültigkeit eines Arguments kann ausschließlich durch seine logische Form bestimmt werden, wenn die Beziehung zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung so ist, dass es unmöglich ist, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch ist. In fliesen Fällen wird der spezifische Inhalt der Aussagen irrelevant. Entscheidend ist die Struktur oder Form des Arguments.

Was ist die logische Form eines Arguments? Die logische Form eines Argu¬ ments bezieht sich auf seine abstrakte Struktur, die von jeglichem spezifischen Inhalt befreit ist und nur flic logischen Beziehungen zwischen den Teilen des Arguments übrig lässt. Um die logische Form zu analysieren, ersetzen wir die Wörter und Aussagen durch Symbole oder Platzhalter,...