Einführung

Es ist kein Geheimnis, dass Studierende der Wirtschaftswissenschaften zumindest manchmal über Mathematik fluchen. Gerade Erstsemester brauchen üblicherweise einige Vorlesungsstunden, bis sie eingesehen haben, dass Volks- und Betriebswirtschaftslehre nicht gerade wenig mit Zahlen zu tun haben.

Denken Sie an den Gewinn, den Umsatz oder die Kosten als Geldgrößen für ein Unternehmen oder an die produzierten Gütermengen. Das sind jeweils ganz konkrete Zahlenwerte: ein Gewinn von 1 Million Euro, ein Umsatz von 2,5 Millionen Euro, Kosten in Höhe von 1,5 Millionen Euro oder 100.000 produzierte Quietscheentchen.

Das vorliegende Buch möchte Ihnen deshalb anschaulich, das heißt möglichst einfach, wichtige mathematische Grundlagen für wirtschaftlich relevante Sachverhalte näherbringen. Dies soll Ihnen mögliche Vorurteile und Ängste gegenüber der Mathematik nehmen. Sie werden bestimmt bald feststellen: Mathematik ist nicht nur extrem nützlich, sondern kann tatsächlich sogar Spaß machen - zumindest dann, wenn Sie einen guten Lehrer haben und ein bisschen Beharrlichkeit und Neugierde mitbringen.

Über dieses Buch

Wir werden Ihnen in diesem Buch einen breiten Überblick über mathematische Fragestellungen (und die zugehörigen Lösungsansätze) geben. Es sind die »klassischen« Mathethemen, die für ein Studium der Wirtschaftswissenschaften eine große Rolle spielen.

Konkret möchten wir Ihnen folgende mathematische Bereiche näherbringen:

• mathematisches Schulwissen gewissermaßen zur Wiederholung, das heißt Zahlenbegriffe und algebraische Grundregeln, (Un-)Gleichungen sowie Folgen und Reihen
• Analysis - Funktionen mit einer und mit mehreren Unbekannten, Differenzialrechnung ebenfalls mit einer und mit mehreren Unbekannten, Integralrechnung zur Berechnung von Flächen und dergleichen sowie Differenzen- und Differenzialgleichungen (die unter anderem in Konjunkturmodellen oder bei dynamischen Marktanalysen eine Rolle spielen)
• lineare Algebra - Gleichungssysteme, Vektoren, Matrizen und Determinanten ebenso wie Ausführungen zur linearen Programmierung
• Grundlagen der Statistik - beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
• finanzmathematische Themen wie Zins-, Renten- und Tilgungsrechnung sowie Grundlagen der Investitions- und Finanzierungsrechnung

Natürlich geht es nicht darum, alle Inhalte der Algebra (vereinfacht ausgedrückt sind hiermit Rechenoperationen gemeint) oder der Analysis (im Wesentlichen Differenzial- und Integralrechnung) darzustellen, sondern - worauf wir ja bereits hingewiesen haben - lediglich die, die für die Wirtschaftswissenschaften relevant sind.

Wir haben entsprechend bei allen Themen versucht, durch konkrete Beispiele jeweils einen ökonomischen Anwendungsbezug herzustellen. Schließlich dürften die wenigsten von Ihnen dieses Buch gekauft haben, um die reine Schönheit der Mathematik zu bewundern! Vielmehr steht vermutlich bei den meisten von Ihnen eine wirtschaftliche Fragestellung im Vordergrund, die es mit mathematischen Instrumenten zu »knacken« gilt.

Sie müssen im Übrigen die Kapitel in dem Buch grundsätzlich nicht in einer bestimmten Reihenfolge lesen. Wenn Sie an einem Sachverhalt besonders interessiert sind, können Sie an der entsprechenden Textstelle unmittelbar nachschlagen. In diesem Sinne ist das Buch auch eher als Nachschlagewerk und weniger als Lehrbuch konzipiert. Eine größere Ausnahme hiervon stellt eventuell der Fall dar, dass Sie das Gefühl haben, dass Ihre mathematischen Grundkenntnisse generell etwas am Boden sind. Dann sollten Sie am besten mit Kapitel 1 beginnen, um Ihre schulischen Grundkenntnisse aufzufrischen.

Törichte Annahmen über den Leser

Dieses Buch bietet sich vor allem für Studierende an sowie für wissenschaftliche Mitarbeiter und dergleichen an Hochschulen (Universitäten, Fachhochschulen, Berufsakademien), aber auch in (Politik-)Beratungs- und Forschungsinstitutionen. Darüber hinaus ist es aber durchaus auch für Praktiker geeignet, die mit nicht immer ganz einfachen mathematischen Fragestellungen konfrontiert sind. Hierbei denken wir an Menschen aus Industrie, Handel, Verwaltungen und Behörden, aus dem Gesundheitswesen oder aus dem Medienbereich. Auch diese Personenkreise, so ist unsere sicherlich nicht unbegründete Hoffnung, sollten durch dieses Buch die für ihre Tätigkeiten wichtigen mathematischen Zusatzkenntnisse erhalten oder wiederholen können.

Sie, liebe Leserinnen und Leser, müssen dabei gar nicht so viel Vorwissen mitbringen. Es ist im Grunde genommen lediglich ein gewisses mathematisches Grundverständnis vonnöten. Wir sind davon überzeugt, dass Sie auch ohne nennenswerte bisherige Mathekenntnisse nachfolgend gut zurechtkommen werden, zumindest dann, wenn Sie den einführenden Teil I, »Mathematisches Schulwissen reloaded«, mal kurz durcharbeiten und auf diese Weise - wie oben bereits kurz erwähnt - Ihr schulisches Wissen auf den aktuellen Stand bringen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Das vorliegende Buch setzt sich aus sechs Teilen zusammen:

Teil I: Mathematisches Schulwissen reloaded

Hier werden Ihnen aus der Schule bekannte Basics vermittelt. Das beginnt mit der Erörterung algebraischer Grundregeln wie zum Beispiel Potenz-, Wurzel- oder Logarithmenrechenregeln und mit Ausführungen zu den binomischen Formeln oder zum Binomialkoeffizienten. Es schließen sich Darlegungen zu (Un-)Gleichungen an, die gerade in der Mikroökonomie bei der Berechnung von Marktgleichgewichten und Ähnlichem bedeutsam sind. Folgen und Reihen runden Teil I ab. Letztere sind zum Beispiel wichtig, um später (in Teil V) Rentenbarwertfaktoren und Ähnliches behandeln zu können.

Teil II: Analysis

In Teil II geht es zunächst um Funktionen, konkret um deren Eigenschaften und um ihre typischen Anwendungsfelder in der Ökonomie. Dabei werden in diesem Buch Funktionen mit einer einzigen unabhängigen Variablen x, aber auch solche mit mehreren unabhängigen Variablen x1, x2, x3 . dargestellt. Diese Erörterungen bilden die Basis für die sich anschließenden Betrachtungen zur Differenzialrechnung. Die Differenzialrechnung ist in der Ökonomie besonders wichtig, weil es bei ökonomischen Fragestellungen vielfach um die Optimierung von (Verhaltens-)Funktionen geht - wie zum Beispiel um die Maximierung einer Gewinnfunktion. Das Gegenstück zum Differenzieren bildet das Integrieren, das konsequenterweise als Nächstes angesprochen wird und das vor allem für Flächenberechnungen - etwa in der Mikroökonomie bei der Berechnung der sozialen Wohlfahrt als Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente - relevant ist. Außerdem beinhaltet Teil II Ausführungen zu Differenzen- und Differenzialgleichungen. Diese spielen in der Ökonomie bei bestimmten Marktmodellen, zum Beispiel beim dynamischen Cobweb-Modell, oder in Konjunkturmodellen eine große Rolle.

Teil III: Lineare Algebra

Ausgangspunkt dieses Teils sind Gleichungssysteme, die sich - nomen est omen - aus mehreren Gleichungen und mehreren Variablen zusammensetzen. Gleichungssysteme sind in der Ökonomie etwa bei der gleichzeitigen Betrachtung mehrerer Märkte (zum Beispiel Markt für Damenschuhe, Markt für Herrenarmbanduhren und so weiter) oder verschiedener Ausgabenarten (Nahrungsmittel-, Miet-, Bekleidungsausgaben und so weiter) beziehungsweise auch bei der Analyse der gleichzeitigen Produktion verschiedener Güter bedeutsam. Derartige Gleichungssysteme können recht anschaulich in Matrixform dargestellt werden, weshalb es naheliegend ist, sich anschließend mit Vektoren und Matrizen ausführlich zu beschäftigen. Bei den quadratischen Matrizen geht das bis zur Berechnung von Determinanten. Teil III endet mit der linearen Programmierung im Sinne einer zu optimierenden Zielfunktion (etwa: Gewinnmaximierung) unter Nebenbedingungen (etwa eingeschränkte Kapazitäten von Produktionsfaktoren). Dabei sind sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen linear in Koeffizienten und Variablen. Was das genau heißt, erfahren Sie an der entsprechenden Stelle in Teil III.

Teil IV: Ein Ausflug in die Welt der Statistik

Aus Platzgründen kann Ihnen Teil IV nur einen kleinen Ausflug in die Welt der Statistik ermöglichen. Dieser besteht zum einen aus der Betrachtung grundlegender statistischer Kennziffern wie Mittelwerten oder Streuungsmaßen im Bereich der deskriptiven Statistik. Zum anderen werden Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung besprochen wie der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit oder der Satz von Bayes. Weiter gehende statistische Ausführungen etwa zu Schätz- und Testverfahren müssen leider aus Platzgründen unterbleiben. Wenn Sie möchten, können Sie sich gerne in dem Buch Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler (Wiley-VCH, Weinheim 2015) hierüber weiter informieren.

Teil V: Finanzmathematik

Ausgehend von der...