Kapitel 2 : Lineare Abbildung

In der Mathematik und insbesondere in der linearen Algebra ist eine lineare Abbildung (oder lineare Abbildung) eine Art von Abbildung, die eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen ist, die die Operationen der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation beibehält.

Der allgemeinere Fall von Modulen über einem Ring verwendet die gleichen Namen und Definitionen. Homomorphismus von Modulen nachschlagen.

Ein linearer Isomorphismus ist eine Bijektion zwischen zwei Vektorräumen.

In dem Fall, in dem , Linearer Endomorphismus ist ein anderer Name für eine Karte.

Diese Situation wird manchmal als linearer Operator bezeichnet, es gibt jedoch einige unterschiedliche Traditionen, die definieren, was mit dem Ausdruck "linearer Operator" gemeint ist. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um zu betonen, dass und echte Vektorräume sind (nicht unbedingt mit ), oder es kann verwendet werden, um zu betonen, dass es sich um einen Funktionsraum handelt. Dies ist eine gängige Praxis in der Funktionalanalysis.

Lineare Funktion kann in manchen Kontexten dasselbe bedeuten wie lineare Abbildung, die Analyse zeigt, dass dies nicht der Fall ist.

Bei der linearen Abbildung von V auf W wird der Startpunkt von V immer auf den Startpunkt von W abgebildet. Darüber hinaus werden lineare Unterräume von V nach W (möglicherweise mit niedrigerer Dimension) übertragen, z. B. die Abbildung einer Ebene durch den Ursprung in V auf eine Ebene durch den Ursprung in W, eine Linie durch den Ursprung in W oder nur den Ursprung in W. Rotation und Reflexion sind zwei Beispiele für lineare Transformationen, die mit Hilfe von Matrizen dargestellt werden können.

Lineare Abbildungen sind im Jargon der Kategorientheorie Morphismen von Vektorräumen.

Seien und Vektorräume über dem gleichen Körper .

Eine Funktion wird als lineare Abbildung bezeichnet, wenn für zwei beliebige Vektoren und einen beliebigen Skalar die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Hinzufügen oder die Möglichkeit zum Hinzufügen

Homogenität Grad 1 / skalare Produktoperation

Infolgedessen sagen wir, dass eine lineare Abbildung die Operationen beibehält. Anders ausgedrückt: Es macht keinen Unterschied, ob die lineare Abbildung vor (rechte Seite der Instanzen) oder nach (linke Seite der Beispiele) der Arithmetik- und Multiplikationsoperationen angewendet wird.

Aufgrund der kommutativen Eigenschaft des Pluszeichens (+) gilt für alle Vektoren und Skalare die folgende Gleichheit:

Lineare Kombinationen werden von einer solchen Karte beibehalten, daher ihr Name.

Bezeichnet man die Nullelemente der Vektorräume bzw. durch bzw ., so folgt daraus, dass Sei und in der Gleichung für die Homogenität des Grades 1:

Eine lineare Abbildung , die als eindimensionaler Vektorraum über sich selbst betrachtet wird, wird als lineares Funktional bezeichnet.

Diese Anweisungen lassen sich ohne Modifikation auf jedes linke Modul über einem Ring verallgemeinern und durch Invertieren der skalaren Multiplikation auf jedes rechte Modul.

Ein prototypisches Beispiel, das linearen Abbildungen ihren Namen gibt, ist eine Funktion , Sie hat die Form einer Linie, die in einem Graphen durch Null verläuft.

Allgemeiner gesagt, ist jede Homothetie, die im Ursprung eines Vektorraums zentriert ist, eine lineare Abbildung (hier ist c ein Skalar).

Die Nullkarte zwischen zwei Vektorräumen (über demselben Feld) ist linear.

Die "Identitätskarte" eines jeden Moduls ist ein linearer Operator.

In Wirklichkeit ist die Karte nicht linear.

Bei reellen Zahlen ist die Abbildung nicht linear (sondern eine affine Transformation).

Wenn eine reale Matrix ist, definiert dann eine lineare Abbildung von bis , indem ein Spaltenvektor an den Spaltenvektor gesendet wird.

Umgekehrt kann diese Notation verwendet werden, um jede lineare Abbildung zwischen Vektorräumen endlicher Dimension darzustellen; siehe die § Matrizen unten.

Wenn ist eine Isometrie zwischen realen normierten Räumen, so dass dann eine lineare Abbildung ist.

Bei kompliziertem normiertem Raum ist dieses Ergebnis möglicherweise nicht haltbar.

Die Menge der differenzierbaren Funktionen linear auf die Menge aller Funktionen abzubilden, ist das, was die Differenzierung tut. Er charakterisiert auch die Menge aller glatten Funktionen als linearen Operator (ein linearer Operator ist ein linearer Endomorphismus, d.h. eine lineare Abbildung mit demselben Bereich und derselben Kodomäne). Tatsächlich

Ein bestimmtes Integral über ein bestimmtes Intervall I ist eine lineare Abbildung aus dem Raum aller reellwertigen integrierbaren Funktionen auf I nach .

Tatsächlich

Ein unbestimmtes Integral (oder Antiderivativ) mit einem festen Integrationsstartpunkt definiert eine lineare Abbildung vom Raum aller reellwertigen integrierbaren Funktionen auf auf den Raum aller reellwertigen, differenzierbaren Funktionen auf .

Da es keinen klaren Startpunkt gibt, ist der Raum der Antiderivate der lineare Raum konstanter Funktionen, der der Quotient des Raums differenzierbarer Funktionen ist.

Wenn und endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper F sind, die m und n Größen entsprechen, dann ist die Funktion, die lineare Abbildungen auf n × m-Matrizen abbildet, wie in § Matrizen (unten) beschrieben, eine lineare Abbildung, ein Isomorphismus entlang einer linearen Achse.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion oder der Erwartungswert einer Zufallsvariablen, also eines linearen Teils eines Vektorraums), wie bei Zufallsvariablen und wir haben und , Zufallsvariablen haben jedoch keine lineare Varianz.

Die Funktion mit ist eine lineare Abbildung.

Diese Funktion skaliert die Komponente eines Vektors um den Faktor .

Die Funktion ist additiv: Es spielt keine Rolle, ob Vektoren erst addiert und dann gemappt werden oder ob sie gemappt und schließlich addiert werden:

Die Funktion ist homogen: Es spielt keine Rolle, ob ein Vektor erst skaliert und dann gemappt wird oder ob er erst abgebildet und dann skaliert wird:

Um eine lineare Abbildung zu erstellen, definiert man sie oft zuerst auf einem zusammenhängenden Bereich eines Vektorraums und verwendet dann die Linearität, um sie auf den gesamten linearen Bereich auszudehnen.

Angenommen, und sind Vektorräume und ist eine Funktion, die auf einer Teilmenge definiert ist. Dann ist eine lineare Erweiterung von bis , wenn sie existiert, eine lineare Abbildung, die sich ausdehnt (d.h. für alle ) und ihre Werte aus der Kodomäne von Wenn die Teilmenge ein Vektorunterraum von ist, dann ist eine ( -wertige) lineare Erweiterung von bis zu allen von ist garantiert, wenn (und nur wenn) es sich um eine lineare Abbildung handelt.

Insbesondere, wenn es eine lineare Erweiterung zu hat , dann hat es eine lineare Erweiterung auf alle von

Die Abbildung kann nur dann zu einer linearen Abbildung erweitert werden , wenn whenever eine ganze Zahl ist, Skalare sind und Vektoren sind, so dass dann notwendigerweise, wenn eine lineare Erweiterung von existiert, die lineare Erweiterung eindeutig ist und

gilt für alle und wie oben.

Wenn linear unabhängig ist, dann hat jede Funktion in einem beliebigen Vektorraum eine lineare Erweiterung zu einer (linearen) Abbildung (das Gegenteil ist auch wahr).

Zum Beispiel, wenn und dann die Zuweisung und linear von der linear unabhängigen Menge von Vektoren zu einer linearen Abbildung auf Die einzigartige lineare Erweiterung ist die Abbildung, die an

Jedes (skalarwertige) lineare Funktional, das auf einem Vektorunterraum eines reellen oder komplexen Vektorraums definiert ist , hat eine lineare Erweiterung auf alle von Tatsächlich garantiert der Hahn-Banach-dominierte Erweiterungssatz sogar, dass, wenn dieses lineare Funktional von einer gegebenen Seminorm dominiert wird (d.h. das gilt für alle im Bereich von ), dann existiert eine lineare Erweiterung , die ebenfalls von

Wenn und endlichdimensionale Vektorräume sind und für jeden Vektorraum eine Basis definiert ist, dann kann jede lineare Abbildung von bis durch eine Matrix dargestellt werden.

Dies ist hilfreich, da es den Weg für präzise Messungen ebnet.

Matrizen liefern Beispiele für lineare Abbildungen: if ist eine reelle Matrix, dann beschreibt eine lineare Abbildung (siehe Euklidischer Raum).

Sei eine Basis für .

Dann wird jeder Vektor eindeutig durch die Koeffizienten im Feld bestimmt :

Wenn eine lineare Abbildung ist,

was impliziert, dass die Funktion f vollständig durch die Vektoren bestimmt ist .

Sei nun eine Basis für .

Dann können wir jeden Vektor darstellen als

Somit wird die Funktion vollständig durch die Werte von bestimmt .

Wenn wir diese Werte in eine Matrix einfügen, können wir sie bequem verwenden, um die Vektorausgabe von für einen beliebigen Vektor in zu berechnen.

Um zu erhalten , ist jede Spalte von ein Vektor

entsprechen, wie oben definiert.

Zur Verdeutlichung wird für eine Spalte, die der Zuordnung entspricht ,

wobei die Matrix von ist.

Das heißt, jede Spalte hat einen entsprechenden Vektor , dessen Koordinaten die Elemente der Spalte sind.

Es ist möglich, dass mehrere Matrizen für eine einzelne lineare Abbildung stehen.

Dies liegt daran, dass die Elemente einer Matrix Werte haben, die sich je nach verwendeter Basis...