Kapitel 1 : Modallogik
Aussagen über Notwendigkeit und Möglichkeit werden mit einer Art von Argumentation dargestellt, die als Modallogik bekannt ist.
Es ist ein entscheidender Bestandteil der Philosophie und verwandter Bereiche als Werkzeug zum Verständnis von Ideen wie Wissen, Verpflichtung und Kausalität.
In der modalen epistemischen Logik kann die Formel beispielsweise verwendet werden, um die bekannte Aussage darzustellen .
Deontologische Modallogik, dieselbe Formel kann darstellen, dass es sich um eine moralische Verpflichtung handelt.
Die Schlussfolgerungen, zu denen modale Aussagen führen, werden von der Modallogik berücksichtigt.
Zum Beispiel behandeln die meisten epistemischen Logiken die Formel als Tautologie, die die Idee repräsentiert, dass Wissen nur aus wahren Aussagen abgeleitet werden kann.
Modallogiken sind formale Systeme, die unäre Operatoren wie und enthalten, die sowohl eine Möglichkeit als auch eine Anforderung angeben.
Zum Beispiel kann die Modalformel als "möglicherweise" gelesen werden, während sie als "notwendigerweise" gelesen werden kann.
Relationale Semantik für die Modallogik, die Norm, Formeln erhalten Wahrheitswerte, die auf einer hypothetischen Welt basieren.
Die Wahrheitswerte anderer Formeln in anderen zugänglichen möglichen Welten können den Wahrheitswert einer Formel in einer möglichen Welt beeinflussen.
Insbesondere ist wahr auf einer Welt, wenn auf einer zugänglichen möglichen Welt wahr ist , während auf einer Welt, wenn wahr ist, auf jeder zugänglichen möglichen Welt wahr ist.
Es gibt zahlreiche Beweissysteme, die hinsichtlich der Semantik, die durch die Einschränkung der Zugänglichkeitsrelation gewonnen wird, valide und umfassend sind.
Zum Beispiel, Modallogik deontisch Wenn man die Zugänglichkeitsbeziehung seriell haben möchte, ist D solide und vollständig.
Obwohl die Idee der Modallogik schon seit der Antike existiert, schuf C. I. Lewis 1912 die ersten modalen axiomatischen Systeme. Die Arbeiten von Arthur Prior, Jaakko Hintikka und Saul Kripke in der Mitte des 20. Jahrhunderts führten zur Entstehung der heute üblichen relationalen Semantik. Alternative topologische Semantik, wie die Nachbarschaftssemantik und relationale Semantikanwendungen, die über ihre philosophischen Wurzeln hinausgehen, sind neue Fortschritte.
Die Modallogik unterscheidet sich von anderen Arten von Logik dadurch, dass sie modale Operatoren wie und verwendet .
Die erste wird typischerweise als "notwendigerweise" ausgesprochen und kann verwendet werden, um Ideen wie moralische oder rechtliche Verpflichtung, Wissen, historische Unvermeidlichkeit und andere zu symbolisieren.
Letzteres kann verwendet werden, um Ideen wie Erlaubnis zu bezeichnen und wird oft als "vielleicht" gelesen, Fähigkeit, Übereinstimmung mit den Beweisen.
Während wohlgeformte Formeln der Modallogik nicht-modale Formeln wie enthalten, enthält sie auch modale Formeln wie , , und so weiter.
Somit kann die Sprache der grundlegenden Aussagenlogik rekursiv wie folgt definiert werden.
Wenn eine atomare Formel ist, dann ist eine Formel von .
Wenn eine Formel von ist, dann ist es auch.
Wenn und Formeln von sind, dann ist es auch.
Wenn eine Formel von ist, dann ist es auch.
Wenn eine Formel von ist, dann ist es auch.
Durch die Implementierung von Regeln, die den obigen Regeln #4 und #5 ähneln, können modale Operatoren auf verschiedene Arten von Logik erweitert werden.
Die Modalprädikatenlogik ist eine weit verbreitete Variante, die Formeln wie .
In Systemen der Modallogik, in denen und Duale sind, kann als Abkürzung für genommen werden , wodurch die Notwendigkeit einer zusätzlichen syntaktischen Regel zur Einführung entfällt.
In Systemen, in denen die beiden Operatoren nicht interdefinierbar sind, sind jedoch unterschiedliche syntaktische Regeln erforderlich.
Zu den gängigen Notationsvarianten gehören Symbole wie und in Systemen der Modallogik, die zur Darstellung von Wissen verwendet werden, und und in solchen, die zur Darstellung von Glauben verwendet werden.
Diese Notationen sind besonders häufig in Systemen zu finden, die mehrere modale Operatoren gleichzeitig verwenden.
Zum Beispiel könnte eine kombinierte epistemisch-deontische Logik die Formel verwenden, die als "Ich weiß, dass P erlaubt ist" gelesen wird.
Es gibt eine unendliche Anzahl von modalen Operatoren, die durch Indizes in modallogischen Systemen unterschieden werden können, d.h.
, , und so weiter.
Die relationale Semantik ist die anerkannte Semantik für die Modallogik. Bei dieser Methode wird der Wahrheitsgehalt einer Formel in Bezug auf einen Punkt beurteilt, der häufig als mögliche Welt bezeichnet wird. Der Wahrheitswert eines modalen Operators kann sich ändern, je nachdem, was in anderen zugänglichen Welten wahr ist. Infolgedessen verwendet die relationale Semantik die unten beschriebenen Modelle, um Modallogikformulierungen zu interpretieren.
Ein relationales Modell ist ein Tupel , wobei:
ist eine Menge möglicher Welten
ist eine binäre Relation auf
ist eine Bewertungsfunktion, die jedem Paar einer atomaren Formel und einer Welt einen Wahrheitswert zuweist, (d.h.
wobei die Menge der Atomformeln ist)
Die Menge wird oft als Universum bezeichnet.
Die binäre Beziehung wird als Zugänglichkeitsbeziehung bezeichnet und regelt, welche Welten sich gegenseitig "sehen" können, um festzustellen, was real ist.
Bedeutet beispielsweise, dass die Welt von der Welt aus zugänglich ist .
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass der Sachverhalt, der als bekannt ist, eine lebendige Möglichkeit für ist.
Schließlich wird die Funktion als Bewertungsfunktion bezeichnet.
Es legt fest, welche Welten gültige atomare Formeln haben.
Dann definieren wir rekursiv die Wahrheit einer Formel an einer Welt in einem Modell :
Iff
Iff
iff und
iff für jedes Element von , wenn dann
iff für ein Element von gilt, hält es fest, dass und
Im Lichte dieser Semantik ist eine Formel in Bezug auf eine Welt notwendig, wenn sie für jede Welt gilt, die von zugänglich ist.
Es ist möglich , wenn es an einer Welt hält, die von zugänglich ist .
Die Möglichkeit hängt dabei von der Zugänglichkeitsbeziehung ab , Sie ermöglicht es uns auszudrücken, wie relativ die Möglichkeit ist.
Zum Beispiel könnten wir behaupten, dass der Mensch aufgrund unserer physikalischen Regeln nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit fahren kann, dass er aber unter anderen Bedingungen in der Lage gewesen wäre, dies zu erreichen.
Um diese Situation zu übersetzen, können wir die Zugänglichkeitsbeziehung wie folgt verwenden: Alle zugänglichen Welten, einschließlich der, in der wir leben, Entgegen der landläufigen Meinung können sich die Menschen nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, jedoch gibt es auf einem dieser erreichbaren Planeten eine Welt, die von diesen Welten aus erreichbar ist, aber nicht von unserer eigenen, und wo sich Menschen mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen können.
Manchmal reicht die Wahl der Zugänglichkeitsrelation allein aus, um zu bestimmen, ob eine Formel wahr oder falsch ist.
Betrachten Sie zum Beispiel ein Modell , dessen Zugänglichkeitsbeziehung reflexiv ist.
Aufgrund der Reflexivität der Beziehung haben wir dies für jeden, unabhängig davon, welche Bewertungsfunktion verwendet wird.
Aus diesem Grund diskutieren Modallogiker manchmal Frames, d. h. den Teil eines relationalen Modells, der die Bewertungsfunktion nicht enthält.
Ein relationaler Rahmen ist ein Paar , wobei eine Menge möglicher Welten ist, ist eine binäre Beziehung auf .
Unter Verwendung von Rahmenbedingungen werden die verschiedenen Systeme der Modallogik definiert. Ein Rahmen ist bekannt als:
Wenn w R w, dann ist jedes w in G reflexiv.
symmetrisch, wenn für ein beliebiges w und u in G, w r u impliziert u R w
Wenn alle w, u und q in G transitiv sind, dann sind w u und you R q zusammen ergibt w R q.
Für jedes w in G muss es ein u in G geben, so dass w du bist.
Euklidisch if impliziert, dass für jedes u, t und w w u und w R t sind (durch Symmetrie impliziert es auch, dass t du bist, sowie t R t und du bist du)
Diesen Rahmenbedingungen liegen folgende Logiken zugrunde:
K:= keine Anforderungen
D := seriell
T := reflexiv
B: = symmetrisch und reflexiv
S4:= Transitiv und reflexiv
S5: = Euklidisch und reflexiv
Symmetrie und Transitivität werden durch die euklidische Eigenschaft und die Reflexivität erzeugt. (Symmetrie und Transitivität können auch verwendet werden, um die euklidische Eigenschaft abzuleiten.) Die Zugänglichkeitsrelation R ist also beweisbar symmetrisch und transitiv, wenn sie reflexiv und euklidisch ist. R ist daher eine Äquivalenzbeziehung für Modelle von S5, da sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Wir können zeigen, dass diese Frames die gleiche Sammlung von wahren Sätzen liefern wie diejenigen, die es allen Welten ermöglichen, alle anderen Welten von W zu sehen (d.h. wobei R eine "totale" Beziehung ist). Als Ergebnis ist der relevante Modalgraph vollständig fertig (d. h. es können keine zusätzlichen Kanten oder Beziehungen hinzugefügt werden). In jeder Modallogik, die von den Rahmenbedingungen abhängt, zum Beispiel:
wenn und nur wenn es...
