Chapitre 1 : Logique modale
Les énoncés concernant le besoin et la possibilité sont représentés à l'aide d'un type de raisonnement connu sous le nom de logique modale.
C'est un élément crucial de la philosophie et des domaines connexes en tant qu'outil pour comprendre des idées telles que la connaissance, l'obligation et la causalité.
Par exemple, en logique épistémique modale, la formule peut être utilisée pour représenter l'énoncé qui est connu.
La logique modale déontologique, cette même formule peut représenter que c'est une obligation morale.
Les inférences auxquelles conduisent les énoncés modaux sont prises en compte par la logique modale.
Par exemple, la plupart des logiques épistémiques traitent la formule comme une tautologie, représentant l'idée que la connaissance ne peut être dérivée que d'énoncés vrais.
Les logiques modales sont des systèmes formels qui incluent des opérateurs unaires tels que et , indiquant à la fois une possibilité et une exigence.
Par exemple, la formule modale peut être lue comme « possiblement » tandis que peut être lue comme « nécessairement ».
Sémantique relationnelle pour la logique modale, la norme, Les formules se voient attribuer des valeurs de vérité basées sur un monde hypothétique.
Les valeurs de vérité d'autres formules dans d'autres mondes possibles accessibles peuvent influencer la valeur de vérité d'une formule dans un monde possible.
En particulier, est vrai dans un monde si est vrai dans un monde possible accessible, tandis qu 'il est vrai dans un monde si est vrai dans tous les mondes possibles accessibles.
Il existe de nombreux systèmes de preuve valides et complets en ce qui concerne la sémantique obtenue en limitant la relation d'accessibilité.
Par exemple, la logique modale déontique Si l'on a besoin que la relation d'accessibilité soit sérielle, D est solide et complet.
Bien que l'idée de logique modale existe depuis l'Antiquité, C. I. Lewis a créé les premiers systèmes axiomatiques modaux en 1912. Les travaux d'Arthur Prior, de Jaakko Hintikka et de Saul Kripke au milieu du XXe siècle ont donné naissance à la sémantique relationnelle désormais standard. La sémantique topologique alternative, comme la sémantique de voisinage, et les applications de sémantique relationnelle qui vont au-delà de leurs racines philosophiques sont des avancées récentes.
La logique modale diffère des autres types de logique en ce qu'elle utilise des opérateurs modaux tels que et .
Le premier est généralement prononcé à haute voix comme « nécessairement », et peut être utilisé pour symboliser des idées telles que l'obligation morale ou légale, la connaissance, l'inévitabilité historique, entre autres.
Ce dernier peut être utilisé pour désigner des idées telles que la permission et est souvent lu comme « peut-être », capacité, cohérence avec les preuves.
Bien que les formules bien formées de la logique modale incluent des formules non modales telles que , elles contiennent également des formules modales telles que , , , etc.
Ainsi, le langage de la logique propositionnelle de base peut être défini récursivement comme suit.
Si est une formule atomique, alors est une formule de .
Si est une formule de , alors est aussi.
Si et sont des formules de , alors est aussi.
Si est une formule de , alors est aussi.
Si est une formule de , alors est aussi.
En implémentant des règles similaires aux points #4 et #5 ci-dessus, les opérateurs modaux peuvent être étendus à différents types de logique.
La logique des prédicats modaux est une variante largement utilisée qui inclut des formules telles que .
Dans les systèmes de logique modale où et sont des duals, peut être considéré comme une abréviation de , évitant ainsi la nécessité d'une règle syntaxique supplémentaire pour l'introduire.
Cependant, dans les systèmes où les deux opérateurs ne sont pas interdéfinissables, des règles syntaxiques distinctes sont nécessaires.
Les variantes de notation courantes incluent des symboles tels que et dans les systèmes de logique modale utilisés pour représenter la connaissance et et dans ceux utilisés pour représenter la croyance.
Ces notations sont particulièrement répandues dans les systèmes qui emploient plusieurs opérateurs modaux à la fois.
Par exemple, une logique épistémique-déontique combinée pourrait utiliser la formule comme suit : « Je sais que P est autorisé ».
Il existe un nombre infini d'opérateurs modaux que l'on peut distinguer par des indices dans les systèmes logiques modaux, c'est-à-dire
, , , et ainsi de suite.
La sémantique relationnelle est la sémantique reconnue pour la logique modale. Avec cette méthode, la véracité d'une formule est évaluée par rapport à un point qui est fréquemment désigné comme un monde possible. La valeur de vérité d'un opérateur modal peut changer en fonction de ce qui est vrai dans d'autres mondes accessibles. Par conséquent, la sémantique relationnelle utilise les modèles décrits ci-dessous pour interpréter les formulations de la logique modale.
Un modèle relationnel est un tuple où :
est un ensemble de mondes possibles
est une relation binaire sur
est une fonction d'évaluation qui attribue une valeur de vérité à chaque paire d'une formule atomique et d'un monde, (i.e.
où est l'ensemble des formules atomiques)
L'ensemble est souvent appelé l' univers.
La relation binaire est appelée relation d'accessibilité, et elle régule quels mondes peuvent se « voir » afin d'établir ce qui est réel.
Par exemple, signifie que le monde est accessible à partir du monde .
Ainsi, pour résumer, l'état de choses connu sous le nom est une possibilité réelle pour .
Enfin, la fonction est connue sous le nom de fonction d'évaluation.
Il établit quels mondes ont des formules atomiques valides.
Ensuite, nous définissons récursivement la vérité d'une formule à un monde dans un modèle :
ssi
ssi
iff et
si pour chaque élément de , si alors
si pour un élément de , il soutient que et
À la lumière de cette sémantique, une formule est nécessaire par rapport à un monde si elle est valable pour chaque monde accessible à partir de .
Il est possible s'il se maintient dans un monde accessible à partir de .
La possibilité dépend donc de la relation d'accessibilité , elle nous permet d'exprimer à quel point la possibilité est relative.
Par exemple, nous pourrions affirmer que, sur la base de nos règles physiques, les humains ne peuvent pas aller plus vite que la vitesse de la lumière, mais que dans d'autres conditions, ils auraient pu accomplir cela.
Afin de traduire cette situation, nous pouvons utiliser la relation d'accessibilité comme suit : Tous les mondes accessibles, y compris celui dans lequel nous vivons, Contrairement à la croyance populaire, les gens ne peuvent pas se déplacer à la vitesse de la lumière, Cependant, sur l'une de ces planètes accessibles, il y a un monde qui est accessible à partir de ces mondes mais pas à partir du nôtre, et où les gens peuvent se déplacer à la vitesse de la lumière.
Parfois, le choix de la relation d'accessibilité suffit à lui seul à déterminer si une formule est vraie ou fausse.
Prenons l'exemple d'un modèle dont la relation d'accessibilité est réflexive.
En raison de la réflexivité de la relation, nous aurons cela pour tout , quelle que soit la fonction d'évaluation utilisée.
Pour cette raison, parfois, les logiciens modaux discutent des cadres, qui sont la partie d'un modèle relationnel qui n'inclut pas la fonction d'évaluation.
Un référentiel relationnel est un couple où est un ensemble de mondes possibles, est une relation binaire sur .
À l'aide des conditions du cadre, les différents systèmes de la logique modale sont définis. Un cadre est connu sous le nom de :
Si w R w, alors chaque w dans G est réflexif.
symétrique si pour tout w et u dans G, w are u implique u R w
Si tous w, u et q dans G sont transitifs, alors w sont u et u R q impliquent ensemble w R q.
Pour chaque w dans G, il doit y avoir un u dans G tel que w est vous.
Si euclidien implique que pour tout u, t et w, w sont vous et w R t (par symétrie, cela implique également que t sont vous, ainsi que t R t et vous êtes vous)
Les logiques sous-jacentes de ces conditions de trame sont les suivantes :
K := aucune exigence
D := série
T := réflexif
B : = symétrique et réflexif
S4 := Transitif et réflexif
S5 : = Euclidien et réflexif
La symétrie et la transitivité sont produites par la propriété euclidienne et la réflexivité. (La symétrie et la transitivité peuvent également être utilisées pour dériver la propriété euclidienne.) La relation d'accessibilité R est donc symétrique et transitive s'il est réflexif et euclidienne. R est donc une relation d'équivalence pour les modèles de S5 car elle est réflexive, symétrique et transitive.
Nous pouvons démontrer que ces cadres fournissent la même collection de phrases vraies que ceux qui permettent à tous les mondes de voir tous les autres mondes de W. (c'est-à-dire, où R est une relation «...
