CapÃtulo 1 : Lógica modal
As afirmações sobre necessidade e possibilidade são representadas usando um tipo de raciocínio conhecido como lógica modal.
É um componente crucial da filosofia e campos relacionados como uma ferramenta para compreender ideias como conhecimento, obrigação e causalidade.
Por exemplo, na lógica epistêmica modal, a fórmula pode ser usada para representar a afirmação que é conhecida.
Lógica modal deontológica, essa mesma fórmula pode representar que é uma obrigação moral.
As inferências a que as declarações modais conduzem são tidas em conta pela lógica modal.
Por exemplo, a maioria das lógicas epistêmicas trata a fórmula como uma tautologia, representando a ideia de que o conhecimento só pode ser derivado de afirmações verdadeiras.
As lógicas modais são sistemas formais que incluem operadores unários, tais como e , indicando tanto uma possibilidade como um requisito.
Por exemplo, a fórmula modal pode ser lida como "possivelmente ", enquanto pode ser lida como "necessariamente ".
Semântica relacional para lógica modal, a norma, Fórmulas são dados valores de verdade com base em um mundo hipotético.
Os valores de verdade de outras fórmulas em outros mundos possíveis acessíveis podem influenciar o valor de verdade de uma fórmula em um mundo possível.
Em particular, é verdadeiro em um mundo se é verdadeiro em algum mundo acessível possível, enquanto é verdadeiro em um mundo se é verdadeiro em todo mundo acessível possível.
Existem inúmeros sistemas de prova que são válidos e abrangentes no que diz respeito à semântica obtida pela limitação da relação de acessibilidade.
Por exemplo, lógica modal deôntica Se é preciso que a relação de acessibilidade seja serial, D é sólido e completo.
Embora a ideia de lógica modal exista desde a antiguidade, C. I. Lewis criou os primeiros sistemas axiomáticos modais em 1912. O trabalho de Arthur Prior, Jaakko Hintikka e Saul Kripke em meados do século 20 deu origem à semântica relacional agora padrão. Semânticas topológicas alternativas, como semântica de vizinhança, e aplicações semânticas relacionais que vão além de suas raízes filosóficas são avanços recentes.
A lógica modal difere de outros tipos de lógica na medida em que utiliza operadores modais como e .
A primeira é tipicamente dita em voz alta como "necessariamente", e pode ser empregada para simbolizar ideias como obrigação moral ou legal, conhecimento, inevitabilidade histórica, entre outras.
Este último pode ser usado para denotar ideias como permissão e é frequentemente lido como "talvez.", capacidade, consistência com as evidências.
Embora fórmulas bem formadas de lógica modal incluam fórmulas não modais como , ela também contém fórmulas modais como , , , e assim por diante.
Assim, a linguagem da lógica proposicional básica pode ser definida recursivamente da seguinte forma.
Se é uma fórmula atómica, então é uma fórmula de .
Se é uma fórmula de , então é também.
Se e são fórmulas de , então é também.
Se é uma fórmula de , então é também.
Se é uma fórmula de , então é também.
Ao implementar regras semelhantes às #4 e #5 acima, os operadores modais podem ser estendidos a diferentes tipos de lógica.
A lógica modal de predicados é uma variante amplamente utilizada que inclui fórmulas como .
Em sistemas de lógica modal onde e são duais, pode ser tomado como uma abreviatura para , evitando assim a exigência de uma regra sintática adicional para introduzi-lo.
No entanto, em sistemas em que os dois operadores não são interfiníveis, são necessárias regras sintáticas distintas.
Variantes notacionais comuns incluem símbolos como e em sistemas de lógica modal usados para representar o conhecimento e naqueles usados para representar crença.
Estas notações são particularmente prevalentes em sistemas que empregam vários operadores modais ao mesmo tempo.
Por exemplo, uma lógica epistémica-deôntica combinada poderia usar a fórmula lida como "Eu sei que P é permitido".
Há um número infinito de operadores modais distinguíveis por índices em sistemas lógicos modais, ou seja,
, , , e assim por diante.
A semântica relacional é a semântica reconhecida para a lógica modal. Com este método, a veracidade de uma fórmula é avaliada em relação a um ponto que é frequentemente referido como um mundo possível. O valor de verdade de um operador modal pode mudar dependendo do que é verdade em outros mundos acessíveis. Como resultado, a semântica relacional usa os modelos descritos abaixo para interpretar formulações de lógica modal.
Um modelo relacional é uma tupla onde:
é um conjunto de mundos possíveis
é uma relação binária em
é uma função de valoração que atribui um valor de verdade a cada par de uma fórmula atómica e a um mundo, (i.e.
onde está o conjunto de fórmulas atómicas)
O conjunto é muitas vezes chamado de universo.
A relação binária é chamada de relação de acessibilidade, e regula quais mundos podem "ver" uns aos outros para estabelecer o que é real.
Por exemplo, significa que o mundo é acessível a partir do mundo .
Assim, em suma, o estado de coisas conhecido como é uma possibilidade viva para .
Finalmente, a função é conhecida como uma função de avaliação.
Estabelece quais mundos têm fórmulas atômicas válidas.
Em seguida, definimos recursivamente a verdade de uma fórmula em um mundo em um modelo :
IFF
IFF
iff e
iff para cada elemento do , se então
iff para algum elemento de , sustenta que e
À luz dessa semântica, uma fórmula é necessária em relação a um mundo se ela se aplica a todos os mundos acessíveis a partir de .
É possível se ele se mantém em algum mundo que é acessível a partir de .
A possibilidade depende, portanto, da relação de acessibilidade , que nos permite expressar o quão relativa é a possibilidade.
Por exemplo, poderíamos afirmar que, com base em nossas regras físicas, os seres humanos não podem ir mais rápido do que a velocidade da luz, mas que, sob diferentes condições, poderia ter sido capaz de realizar isso.
Para traduzir esta situação, podemos usar a relação de acessibilidade da seguinte forma: Todos os mundos acessíveis, incluindo aquele em que vivemos, Ao contrário da crença popular, as pessoas não podem se mover à velocidade da luz, No entanto, em um desses planetas alcançáveis, há um mundo que é acessível a partir desses mundos, mas não do nosso, e onde as pessoas podem se mover à velocidade da luz.
Às vezes, a escolha da relação de acessibilidade por si só é suficiente para determinar se uma fórmula é verdadeira ou falsa.
Por exemplo, considere um modelo cuja relação de acessibilidade é reflexiva.
Devido à reflexividade da relação, teremos isso para qualquer função, independentemente de qual função de avaliação é usada.
Por causa disso, às vezes, os lógicos modais discutirão quadros, que é a parte de um modelo relacional que não inclui a função de avaliação.
Um quadro relacional é um par onde é um conjunto de mundos possíveis, é uma relação binária em .
Utilizando condições de quadro, os vários sistemas da lógica modal são definidos. Um quadro é conhecido como:
Se w R w, então cada w em G é reflexivo.
simétrica se para qualquer w e você em G, w are you implica u R w
Se todos w, u e q em G são transitivos, então w são você e você R q juntos implicam w R q.
Para cada w em G, deve haver algum u em G tal que w é você.
Euclidiano se implica que para qualquer u, t e w, w é você e w R t (por simetria, também implica t é você, bem como t R t e você é você)
As lógicas subjacentes a estas condições de enquadramento são:
K:= sem requisitos
D := série
T := reflexivo
B: = simétrico e reflexivo
S4:= Transitivo e reflexivo
S5: = Euclidiano e reflexivo
A simetria e a transitividade são produzidas pela propriedade euclidiana e pela reflexividade. (Simetria e transitividade também podem ser usadas para derivar a propriedade euclidiana.) A relação de acessibilidade R é, portanto, comprovadamente simétrica e transitiva se for reflexiva e euclidiana. R é, portanto, uma relação de equivalência para modelos de S5 porque é reflexivo, simétrico e transitivo.
Podemos demonstrar que esses quadros fornecem a mesma coleção de sentenças verdadeiras que aquelas que permitem que todos os mundos vejam todos os outros mundos de W. (ou seja, onde R é uma relação "total"). Como resultado, o gráfico modal relevante está totalmente concluído (ou seja, não podem ser adicionadas arestas ou relações adicionais). Em qualquer lógica modal dependente das condições do quadro, por exemplo:
se e somente se para algum elemento u de G, ele sustenta que e w é você.
Se levarmos em conta quadros dependendo da relação geral, podemos simplesmente afirmar isso.
se e somente se para algum elemento u de G, sustenta que .
Porque é trivialmente verdade para cada w e você que w é você em tais quadros totais, podemos remover o requisito de acessibilidade da estipulação posterior. No entanto, tenha em mente que este nem sempre é o caso em...
