Kapitel 1 : Kinematik
Die Kinematik ist ein in der klassischen Mechanik begründeter Zweig der Physik, der die Bewegung von Punkten, Körpern (Objekten) und Körpersystemen (Gruppen von Objekten) beschreibt, ohne die Kräfte zu berücksichtigen, die sie in Bewegung versetzen. Ein Kinematikproblem beginnt mit der Beschreibung der Geometrie des Systems und der Deklaration der Anfangsbedingungen für alle bekannten Werte für Position, Geschwindigkeit und/oder Beschleunigung von Punkten innerhalb des Systems. Mit Hilfe von Geometrieargumenten können dann Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung von unbekannten Systemkomponenten berechnet werden. Die Kinematik untersucht nicht, wie Kräfte auf Körper wirken; Kinetics tut es. Weitere Informationen finden Sie in der analytischen Dynamik.
In der Astrophysik wird die Kinematik verwendet, um die Bewegung von Himmelskörpern und Gruppen solcher Körper zu beschreiben. Kinematik wird im Maschinenbau, in der Robotik und in der Biomechanik eingesetzt, um die Bewegung von Mehrlenkersystemen zu beschreiben, wie z. B. eines Motors, eines Roboterarms oder des menschlichen Skeletts.
Geometrische Transformationen, auch starre Transformationen genannt, werden verwendet, um die Bewegung mechanischer Systemkomponenten zu charakterisieren und so die Ableitung der Bewegungsgleichungen zu erleichtern. Darüber hinaus sind sie für die dynamische Analyse von grundlegender Bedeutung.
Die kinematische Analyse ist die Messung von kinematischen Größen, die zur Beschreibung von Bewegungen verwendet werden. Im Ingenieurwesen kann beispielsweise die kinematische Analyse verwendet werden, um den Bewegungsbereich eines bestimmten Mechanismus zu bestimmen, während die kinematische Synthese verwendet werden kann, um einen Mechanismus mit dem gewünschten Bewegungsbereich zu erzeugen. Darüber hinaus nutzt die Kinematik die algebraische Geometrie, um den mechanischen Vorteil eines mechanischen Systems oder Mechanismus zu untersuchen.
Kinematic ist die englische Übersetzung von A.M.
Ampère's cinématique, Das Gebiet der Teilchenkinematik untersucht die Flugbahn von Teilchen. Die Position eines Partikels ist definiert als der Vektor der Koordinaten vom Ursprung eines Koordinatensystems zum Partikel. Stellen Sie sich einen Turm 50 m südlich Ihres Hauses vor. Wenn der Koordinatenrahmen bei Ihnen zu Hause zentriert ist, wobei Osten entlang der X-Achse und Norden entlang der Y-Achse verläuft, ist der Koordinatenvektor zur Basis des Turms r = (0 m, 50 m, 0 m). Wenn der Turm 50 m hoch ist und seine Höhe entlang der z-Achse gemessen wird, dann ist der Vektor der Koordinaten zur Spitze des Turms r = (0 m, 50 m, 50 m).
Ein dreidimensionales Koordinatensystem wird verwendet, um die Position eines Partikels im allgemeinsten Szenario zu bestimmen. Ist das Partikel jedoch auf eine Ebene beschränkt, ist ein zweidimensionales Koordinatensystem ausreichend. Alle physikalischen Beobachtungen sind unzureichend, wenn sie nicht relativ zu einem Bezugssystem angegeben werden.
Der Positionsvektor eines Partikels ist ein Vektor, der vom Ursprung des Bezugsrahmens zum Partikel gezeichnet wird.
Er gibt sowohl die Entfernung des Punktes vom Ursprung als auch seine Richtung vom Ursprung weg an.
Dreidimensional kann der Ortsvektor wie folgt ausgedrückt werden:
Dabei sind , , und die kartesischen Koordinaten und , und sind die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachse , bzw. der Koordinatenachse.
Die Größe des Ortsvektors gibt den Abstand zwischen dem Punkt und dem Ursprung an.
Die Richtung wird durch die Richtungskosinus des Ortsvektors quantifiziert. Im Allgemeinen hängt der Positionsvektor eines Elements vom Bezugssystem ab. Unterschiedliche Frames führen zu unterschiedlichen Positionsvektorwerten.
Die Partikelbahn ist eine Vektorfunktion der Zeit, , die die Bahn angibt, die von einem sich bewegenden Teilchen verfolgt wird, gegeben durch
wobei , , und beschreiben Sie jede Koordinate der Position des Teilchens als Funktion der Zeit.
Die Geschwindigkeit eines Partikels ist eine Vektorgröße, die sowohl die Richtung als auch die Größe der Bewegung des Partikels angibt. Mathematisch gesehen ist die Geschwindigkeit eines Punktes die Änderungsrate seines Ortsvektors in Bezug auf die Zeit. Betrachten Sie das Verhältnis, das entsteht, indem die Differenz zwischen zwei Partikelpositionen durch das Zeitintervall dividiert wird. Dieser Anteil wird als durchschnittliche Geschwindigkeit über diese Zeitspanne bezeichnet und ist definiert als
wobei die Änderung des Ortsvektors während des Zeitintervalls ist .
In der Grenze, in der sich das Zeitintervall Null nähert, nähert sich die Durchschnittsgeschwindigkeit der momentanen Geschwindigkeit, definiert als die Zeitableitung des Ortsvektors,
wobei der Punkt eine zeitabhängige Ableitung (z.
).
Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist also die Geschwindigkeit der Änderung seiner Position im Laufe der Zeit.
Darüber hinaus ist diese Geschwindigkeit an jedem Punkt entlang seiner Route tangential zur Flugbahn des Teilchens.
Ein Bezugssystem, das sich nicht dreht. Da die Richtungen und Größen der Koordinatenrichtungen konstant sind, werden ihre Ableitungen nicht berücksichtigt.
Die Größe der Geschwindigkeit eines Objekts ist seine Geschwindigkeit. Es handelt sich um einen skalaren Wert:
wobei die Bogenlänge ist, die entlang der Flugbahn des Partikels gemessen wird.
Diese Bogenlänge muss kontinuierlich zunehmen, wenn sich das Partikel bewegt.
Daher ist nicht negativ, Dies impliziert, dass die Geschwindigkeit auch positiv ist.
Der Geschwindigkeitsvektor kann in Größe, Richtung oder beidem gleichzeitig variieren. Folglich berücksichtigt die Beschleunigung sowohl die Änderungsrate der Größe als auch die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Dieselbe Logik, die verwendet wird, um die Geschwindigkeit basierend auf der Position eines Teilchens zu bestimmen, kann auch verwendet werden, um die Beschleunigung basierend auf der Geschwindigkeit zu berechnen. Die Beschleunigung eines Teilchens ist der Vektor, der durch die Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors definiert wird. Die durchschnittliche Beschleunigung eines Teilchens über ein Zeitintervall ist definiert als das Verhältnis der Anfangsbeschleunigung des Teilchens zu seiner Endbeschleunigung.
wobei ?v die Differenz im Geschwindigkeitsvektor und ?t das Zeitintervall ist.
Wenn sich das Zeitintervall 0 nähert, nähert sich die Beschleunigung des Teilchens der Grenze der durchschnittlichen Beschleunigung, die die Zeitableitung ist.
oder
Daher ist die Beschleunigung die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors des Teilchens und die zweite Ableitung seines Ortsvektors. Da ihre Richtungen und Größen in einem nicht rotierenden Bezugssystem konstant sind, werden die Ableitungen der Koordinatenrichtungen nicht berücksichtigt.
Die Größe der Beschleunigung eines Objekts ist die Größe seines Beschleunigungsvektors, der mit |a| bezeichnet wird. Es handelt sich um einen skalaren Wert:
Ein relativer Positionsvektor ist ein Vektor, der die relative Position zweier Punkte definiert. Es handelt sich um die Positionsdifferenz zwischen den beiden Standorten. Die Position von Punkt A in Bezug auf einen anderen Punkt B stellt nur die Differenz zwischen ihren Orten dar.
wobei die Differenz zwischen ihren Ortsvektorkomponenten ist.
Wenn Punkt A Positionskomponenten hat
und Punkt B hat Positionskomponenten
dann ist die Position von Punkt A relativ zu Punkt B die Differenz zwischen ihren Komponenten:
Die Relativgeschwindigkeit zweier Punkte ist nur die Differenz ihrer Geschwindigkeiten.
Dies ist die Differenz zwischen ihren Geschwindigkeitskomponenten.
Wenn Punkt A Geschwindigkeitskomponenten und Punkt B Geschwindigkeitskomponenten hat, dann ist die Geschwindigkeit von Punkt A relativ zu Punkt B die Differenz zwischen ihren Komponenten:
Alternativ könnte das gleiche Ergebnis durch Berechnung der Zeitableitung des relativen Positionsvektors rB/A erhalten werden.
In Fällen, in denen die Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit c liegt (normalerweise innerhalb von 95 Prozent), verwendet die Spezielle Relativitätstheorie ein anderes System der Relativgeschwindigkeit, die Schnelligkeit, die vom Verhältnis von v zu c abhängt.
Die Beschleunigung des Punktes C relativ zu Punkt B ist nur die Differenz zwischen ihren jeweiligen Beschleunigungen.
Dies ist die Differenz zwischen ihren Beschleunigungskomponenten.
Wenn Punkt C Beschleunigungskomponenten und Punkt B Beschleunigungskomponenten hat , dann ist die Beschleunigung von Punkt C relativ zu Punkt B die Differenz zwischen ihren Komponenten:
Alternativ könnte das gleiche Ergebnis durch Berechnung der zweiten Zeitableitung des relativen Positionsvektors rB/A erhalten werden.
Unter der Annahme, dass die grundlegenden Kriterien der Position erfüllt sind und die Geschwindigkeit zur Zeit bekannt ist, erzeugt die anfängliche Integration die Geschwindigkeit des Teilchens als Funktion der Zeit.
Eine zweite Integration verrät ihren Verlauf (Trajektorie),
Es ist möglich, weitere Zusammenhänge zwischen Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit abzuleiten. Da die Beschleunigung konstant ist,
kann in die obige Gleichung eingefügt werden, um Folgendes zu erhalten:
Ohne explizite Zeitabhängigkeit kann eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit, Position und Beschleunigung hergestellt werden, indem die durchschnittliche Beschleunigung für die Zeit gelöst,...
