Capitolo 1 : Gradi di libertà (meccanica)
I gradi di libertà (DOF) di un sistema meccanico sono il numero di caratteristiche indipendenti che descrivono la configurazione o lo stato del sistema. Questo concetto ha origine nel campo della fisica. Svolge un ruolo significativo nell'analisi dei sistemi corporei in una varietà di domini, tra cui l'ingegneria meccanica, l'ingegneria strutturale, l'ingegneria aerospaziale, la robotica e altri.
C'è un grado di libertà nella posizione di una singola automotrice (motore) che sta percorrendo un binario. Ciò è dovuto al fatto che la posizione dell'auto è determinata dalla distanza lungo la pista. C'è ancora un solo grado di libertà disponibile per un treno costituito da carrozze rigide che sono fissate a un motore tramite cerniere. Ciò è dovuto al fatto che le posizioni delle auto dietro il motore sono limitate dalla forma della pista.
Un'automobile che ha una sospensione estremamente rigida potrebbe essere pensata come un corpo rigido che si sta trasportando su un piano, che è una regione bidimensionale che è piatta. Questo corpo possiede tre gradi di libertà che sono indipendenti l'uno dall'altro. Questi gradi di libertà sono costituiti da due componenti di traslazione e da un angolo di rotazione. I tre gradi di libertà distinti che un'automobile possiede sono meglio mostrati dall'atto di sbandare o andare alla deriva.
Ci sono sei gradi di libertà per un corpo rigido perché la sua posizione e l'orientamento nello spazio sono determinati da tre componenti di traslazione e tre componenti di rotazione. Ciò determina che il corpo rigido ha sei gradi di libertà.
Quando si tratta di progettazione meccanica, la tecnica di vincolo precisa è responsabile della gestione dei gradi di libertà in modo tale che un dispositivo non sia né sottodimensionato né sovradimensionato.
La posizione di un corpo rigido n-dimensionale è determinata dalla trasformazione rigida, indicata come [T] = [A, d]. In questa equazione, d rappresenta una traslazione n-dimensionale e A è una matrice di rotazione n? n. La matrice A possiede n gradi di libertà nella direzione di traslazione e n gradi di libertà nella direzione di rotazione, che è uguale a n(n-1)/2. È la dimensione del gruppo di rotazione SO(n) che determina il numero di gradi di libertà associati alla rotazione.
È possibile pensare a un corpo non rigido o flessibile come a un insieme di molte particelle minute (un numero infinito di gradi di libertà), e un sistema di gradi di libertà finiti è spesso usato per approssimare questo concetto. È possibile semplificare l'analisi approssimando un corpo deformabile come un corpo rigido (o anche una particella) in situazioni in cui lo scopo principale dello studio è quello di indagare il moto che comporta enormi spostamenti. Ad esempio, quando si valuta il movimento dei satelliti, questo sarebbe il caso.
Un modo per pensare al grado di libertà di un sistema è come il minimo indispensabile di coordinate necessarie per esprimere una configurazione. Pertanto, se applichiamo questa definizione, abbiamo:
Tre traslazioni (3T) e tre rotazioni (3R) costituiscono i tre gradi di libertà (3T3R) che un singolo corpo rigido può avere, con un massimo di sei gradi di libertà (6 DOF).
Dai un'occhiata anche agli angoli di Eulero.
Il moto di una nave in mare, ad esempio, è caratterizzato dai sei gradi di libertà associati a un corpo rigido e può essere enunciato come segue:
Ad esempio, la traiettoria di un aeroplano mentre è in volo ha tre gradi di libertà e anche l'assetto dell'aereo lungo la traiettoria ha tre gradi di libertà, rendendo il numero totale di gradi di libertà da tre a sei.
È possibile che la quantità di gradi di libertà che un singolo corpo rigido può avere sia limitata da limiti fisici. Per fare un esempio, un blocco che scivola su una superficie piana ha tre gradi di libertà, due traslazioni e una rotazione, che è indicata dalla notazione 2T1R. SCARA è un esempio di robot di posizionamento XYZ che ha tre gradi di libertà e tre gradi di movimento.
La formula della mobilità è una formula che conta il numero di fattori che caratterizzano la configurazione di un insieme di corpi rigidi che sono confinati da articolazioni che collegano questi corpi.
Prendiamo in considerazione un sistema costituito da n corpi rigidi che sono a riposo nello spazio e hanno 6n gradi di libertà quando misurati in relazione a un sistema fisso. È necessario includere il corpo fisso nel conteggio dei corpi per determinare il numero di gradi di libertà associati a questo sistema. Ciò garantirà che la mobilità non sia subordinata alla selezione del corpo che costituisce il telaio fisso. Di conseguenza, il grado di libertà del sistema non vincolato con l'equazione N = n + 1 è
principalmente a causa del fatto che il corpo immobile possiede zero gradi di libertà rispetto ad essi.
All'interno di questo sistema, le articolazioni che collegano i corpi eliminano i gradi di libertà e quindi diminuiscono la mobilità. Per essere più precisi, le cerniere e i cursori impongono ciascuno cinque limiti e, di conseguenza, eliminano cinque gradi di libertà. Un metodo pratico per definire il numero di vincoli c che un giunto impone è quello di farlo in termini di libertà del giunto f, dove c è uguale a sei volte f meno 6 volte f. Dato che una cerniera o un cursore, entrambi giunti con un grado di libertà, hanno f uguale a uno, ne consegue che c è uguale a sei volte uno, che è cinque.
La conclusione che si può trarre da ciò è che la mobilità di un sistema che è composto da n collegamenti mobili e giunti j, ciascuno dei quali ha libertà fi, dove i = 1,..., j, è specificata da
Dovresti tenere presente che N contiene il collegamento fisso.
Sia una catena aperta semplice che una catena chiusa semplice sono considerati esempi particolari essenziali. Innanzitutto, c'è una semplice catena aperta.
Ci sono n maglie mobili che sono unite tra loro da n giunti, e una delle estremità della catena è collegata a una maglia di terra. Questa è la singola catena aperta. Per questo motivo, il valore di N è uguale a j più uno, e la mobilità della catena è uguale a
N maglie mobili sono unite da un capo all'altro da n più uno giunti per formare una semplice catena chiusa. Questo viene fatto in modo tale che le due estremità della catena siano collegate alla maglia di terra, diventando così un anello. Questo caso particolare è quello in cui N è uguale a j, e la mobilità della catena è
Ad esempio, un manipolatore robot seriale è un esempio di catena aperta semplice. In virtù del fatto che questi sistemi robotici sono costruiti da una serie di collegamenti uniti da sei giunti revoluti o prismatici che hanno ciascuno un grado di libertà, il sistema possiede un totale di sei gradi di libertà.
Ad esempio, il collegamento spaziale a quattro barre RSSR è un'illustrazione di una catena chiusa semplice. A causa del fatto che il numero totale di gradi di libertà per queste articolazioni è otto, la mobilità del collegamento è due. Uno dei gradi di libertà è la rotazione dell'accoppiatore attorno alla linea che collega i due giunti a S.
Al fine di creare ciò che è noto come un collegamento planare, è pratica abituale costruire il sistema di collegamento in modo tale che il movimento di tutti i corpi sia limitato a giacere su piani paralleli che sono paralleli l'uno all'altro. Un collegamento sferico può anche essere creato costruendo il sistema di collegamento in modo tale che tutti i corpi si muovano su sfere concentriche. Anche questo ha il potenziale per essere completato. Ciò significa che i gradi di libertà dei collegamenti in ciascun sistema sono ora tre invece di sei, e i vincoli imposti dai giunti sono ora nella forma di c = 3 meno f. Ciò vale in entrambi i casi.
La formula per la mobilità è data da in questo caso particolare.
nonché le circostanze eccezionali
Il collegamento planare a quattro barre è un esempio di catena chiusa semplice planare. Questo collegamento è un anello a quattro barre che ha quattro articolazioni che hanno ciascuna un grado di libertà e, di conseguenza, ha una mobilità M uguale a 1.
Un grado di libertà combinato (DOF) sarebbe la somma dei gradi di libertà (DOF) dei corpi in un sistema che contiene diversi corpi, meno eventuali limitazioni interne che i corpi potrebbero avere sul moto relativo. Il numero di gradi di libertà che un singolo corpo rigido possiede può essere superato da un meccanismo o collegamento composto da più corpi rigidi accoppiati tra loro. Quando ci si riferisce al numero di fattori necessari per determinare la posa spaziale di una connessione, in questo contesto viene utilizzata anche l'espressione "gradi di libertà". Oltre a questo, è definito in relazione allo spazio di configurazione, allo spazio delle attività e allo spazio di lavoro di un robot.
Nella catena cinematica aperta, una serie di maglie rigide sono collegate ai giunti; Un giunto può consentire un grado di libertà (cerniera/scorrimento) o due gradi di libertà (cilindrico). Questo particolare tipo di collegamento è un tipo speciale di collegamento. Catene di questo tipo sono frequentemente osservate nei campi della robotica e della biomeccanica, nonché nei satelliti e in altre strutture spaziali. 7 gradi di libertà sono considerati presenti in un braccio umano. Beccheggio, imbardata e rollio sono tutte funzioni che possono essere eseguite dalla spalla, dal gomito e dal polso. La...
