Kapitel 2: Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie, oft auch Koordinatengeometrie oder kartesische Geometrie genannt, ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium der Geometrie aus kartesischer Sicht befasst. Synthetische Geometrie ist das Gegenteil davon.

Physik, Ingenieurwesen, Luftfahrt, Raketentechnik, Weltraumwissenschaft und Raumfahrt nutzen alle analytische Geometrie. Sie ist die Grundlage für mehrere Zweige der zeitgenössischen Geometrie, wie z. B. algebraische, differentielle, diskrete und computergestützte Geometrie.

Bei der Arbeit mit Gleichungen mit Ebenen, Geraden und Kreisen wird in der Regel das kartesische Koordinatensystem verwendet. In der Geometrie werden die zweidimensionale euklidische Ebene und der dreidimensionale euklidische Raum untersucht. Die analytische Geometrie, wie sie typischerweise in Lehrbüchern definiert und gelehrt wird, befasst sich mit der Erzeugung und Darstellung geometrischer Formen im numerischen Sinne und der Extraktion numerischer Informationen aus diesen Darstellungen. Das Cantor-Dedekind-Axiom garantiert, dass Berechnungen in der Geometrie des linearen Kontinuums nur mit der Algebra der reellen Zahlen durchgeführt werden können.

Es wurde argumentiert, dass der griechische Mathematiker Menaechmus die analytische Geometrie entwickelte, weil er eine Technik verwendete, die der Verwendung von Koordinaten beim Lösen von Problemen und beim Beweisen von Theoremen ähnelte.

Der persische Mathematiker Omar Khayyam aus dem 11. Jahrhundert erkannte eine starke Beziehung zwischen Geometrie und Algebra und bewegte sich in die richtige Richtung, als er dazu beitrug, die Lücke zwischen numerischer und geometrischer Algebra zu schließen: 248

Die analytische Geometrie wurde unabhängig voneinander von René Descartes und Pierre de Fermat erfunden, die kartesische Geometrie, ein Synonym für analytische Geometrie, trägt den Namen Descartes.

Descartes machte bedeutende Fortschritte mit den Methoden in einem Essay mit dem Titel La Géométrie (Geometrie), einem Anhang zu seinem 1637 veröffentlichten Diskurs über die Methode, seine Vernunft richtig zu lenken und nach der Wahrheit in den Wissenschaften zu suchen.

La Geometrie, die vollständig in seiner Muttersprache, Französisch, ihren theoretischen Grundlagen usw. verfasst war, legte den Grundstein für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung in Europa.

Die Arbeit stieß zunächst auf Skepsis, was zum Teil auf die zahlreichen Lücken in der Argumentation und die verworrene Mathematik zurückzuführen war.

Descartes' Meisterwerk wurde erst als das anerkannt, was es war, nachdem van Schooten es 1649 ins Lateinische übersetzt und kommentiert hatte (und nachdem er weiter daran gearbeitet hatte).

Als Ergebnis dieses Ansatzes wurde Descartes damit beauftragt, kompliziertere Gleichungen zu lösen, was die Verfeinerung der Techniken zur Behandlung von Polynomgleichungen größeren Ausmaßes erforderlich machte.

Leonhard Euler war der erste, der Kurven und Flächen im Raum systematisch mit der Koordinatenmethode untersuchte.

In der analytischen Geometrie wird ein Koordinatensystem für die Ebene eingeführt, und jedem Punkt werden zwei reelle Zahlen zugewiesen. Jedem Punkt im euklidischen Raum sind ebenfalls drei Koordinaten zugeordnet. Die Bedeutung der Koordinaten wird durch den gewählten Bezugspunkt bestimmt. Es gibt viele verschiedene Koordinatensysteme, aber die folgenden sind die häufigsten:

Kartesische Koordinaten, bei denen jeder Punkt eine x-Koordinate hat, die seine horizontale Position darstellt, und eine y-Koordinate, die seine vertikale Position darstellt, sind das am weitesten verbreitete Koordinatensystem. Diese werden in der Regel als gepaarter Ausdruck (x, y) dargestellt. Jeder Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum kann mit dieser Methode durch ein geordnetes Koordinatentripel (x, y, z) dargestellt werden.

In der polaren Notation wird jeder Punkt der Ebene durch seinen Abstand r vom Ursprung und seinen Winkel ? dargestellt, wobei ? normalerweise gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen wird.

Diese Notation wird verwendet, wenn, Die Standardnotation für ein Punktpaar ist (r), ?).

Zweidimensionale kartesische Koordinaten können mit den folgenden Formeln in Polarkoordinaten umgewandelt werden:

Zylindrische oder sphärische Koordinaten können verwendet werden, um dieses System auf drei Dimensionen zu erweitern.

Unter Verwendung eines zylindrischen Bezugssystems wird die z-Höhe einer bestimmten Position im Raum verwendet, um sie zu identifizieren, ihr Radius r von der z-Achse und der Winkel ?, den ihre Projektion auf die xy-Ebene in Bezug auf die horizontale Achse ergibt.

Wenn man eine Kugel als Referenz verwendet, wird jeder Punkt im Raum durch seinen Abstand ? vom Ursprung, den Winkel ?, den seine Projektion auf die xy-Ebene in Bezug auf die horizontale Achse macht, und den Winkel f, den er in Bezug auf die z-Achse macht, dargestellt.

In der Physik ist es üblich, die Namen der Winkel zu vertauschen.

Analytische Geometrie, Jede Koordinatengleichung definiert einen Bereich der Ebene, insbesondere die Gruppe von Gleichungslösungen oder den Ort.

Beispiel: Alle Punkte auf der Ebene, an denen die x-Koordinate und die y-Koordinate gleich sind, werden durch die Menge von Koordinaten dargestellt, die der Gleichung y = x entsprechen.

Die Linie, die von diesen Punkten gebildet wird, wird mit der Gleichung y = x betrachtet.

Im Allgemeinen werden Linien durch lineare Gleichungen in x und y beschrieben, Mit quadratischen Gleichungen können Kegelschnitte definiert werden, Darüber hinaus charakterisieren kompliziertere Gleichungen komplizierte Diagramme.

Die Gleichung x2 + y2 = r2 ist die Gleichung für jeden Kreis, der am Ursprung zentriert ist (0, A-Kreis (Mittelpunkt 0, Radius r).

Algebraische lineare Gleichungen können verwendet werden, um Linien auf einer kartesischen Ebene oder allgemeiner in affinen Koordinaten zu beschreiben. Die Steigungsabschnittsform ist eine gängige Darstellung der Gleichung für eine nicht vertikale Linie in zwei Dimensionen:

wo:

Der Wert von m stellt den Verlauf der Linie dar.

b ist der y-Schnittpunkt der Linie.

In der Gleichung y = f ist x der freie Parameter (x).

Bei der dreidimensionalen Beschreibung von Ebenen ist es üblich, einen Punkt auf der Ebene und einen Vektor orthogonal dazu (den Normalenvektor) zu verwenden, um die "Neigung" der Ebene auszudrücken, ähnlich wie zweidimensionale Linien mit einer Punkt-Steigungsform für ihre Gleichungen beschrieben werden.

Insbesondere sei der Positionsvektor eines Punktes und sei ein Vektor ungleich Null.

Die durch diesen Punkt und Vektor bestimmte Ebene besteht aus den Punkten , mit dem Positionsvektor , so dass der von bis gezeichnete Vektor senkrecht zu ist .

Denken Sie daran, dass das Punktprodukt zweier beliebiger Vektoren 0 sein muss, wenn sie senkrecht stehen, folgt daraus, dass die gewünschte Ebene als die Menge aller Punkte beschrieben werden kann, so dass

(The. bedeutet in diesem Zusammenhang ein Punktprodukt, keine skalare Multiplikation.) Daraus entwickelt sich ein

Dies ist die Punkt-Normalen-Form der Gleichung einer Ebene. Dies ist nur eine lineare Gleichung:

Wenn aber a, b und c nicht alle Null sind und d eine Konstante ist, dann ist der Graph der Gleichung eine gerade Linie.

ist eine Ebene, die den Vektor als Normale hat.

Der Begriff "generische Form der Ebenengleichung" wird verwendet, um diese Standardebene zu beschreiben.

Linien in drei Dimensionen widersetzen sich der Beschreibung einer einfachen linearen Gleichung und erfordern die Verwendung parametrischer Gleichungen:

wo:

Alle drei Variablen, x, y und z, hängen von der reellzahlgebundenen unabhängigen Variablen t ab.

(x0, y0, z0) ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden.

Der Vektor (a, b, c) steht aufgrund der Beziehung zwischen a, b und c und der Steigung der Linie senkrecht zur Geraden.

Der Graph einer quadratischen Gleichung mit zwei Variablen in kartesischen Koordinaten ist ein Kegelschnitt, unabhängig davon, ob der Graph degeneriert ist oder nicht. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

Da der Ort der Nullstellen für alle sechs Konstanten gleich ist, wenn er skaliert wird, kann man Kegelschnitte als Punkte im fünfdimensionalen projektiven Raum betrachten

Diese Gleichung bietet ein Mittel zur Unterscheidung zwischen den verschiedenen Kegelschnitten.

In dem Fall, in dem der Kegel nicht entartet ist, gilt Folgendes:

if , Diese Gleichung steht für eine Ellipse; wenn und , Ein Kreis ist in der Gleichung zu sehen, Wenn die Form eine Teilmenge einer Ellipse ist; wenn , Diese Gleichung steht für eine Parabel; wenn , Eine Hyperbel wird durch diese Gleichung dargestellt; wenn wir auch haben, Eine rechteckige Hyperbel wird durch diese Gleichung dargestellt.

Ein Viereck oder eine quadratische Ebene als die Fläche, die durch die Nullstellen eines quadratischen Polynoms in drei Dimensionen beschrieben wird.

In den Koordinaten x1, x 2,x 3, Die algebraische Gleichung, die das universelle Quadrat charakterisiert

Alle Ellipsoide sowie Paraboloide, Hyperboloide, Zylinder, Kegel und Ebenen sind Beispiele für quadratische Flächen.

Analytische Geometrie, Formeln werden verwendet, um geometrische Konzepte wie Abstands- und Winkelmaße zu definieren.

Um die Kompatibilität mit der zugrunde liegenden euklidischen Geometrie zu gewährleisten, wurden diese Definitionen erstellt.

Bei kartesischen...