Capitolo 1 : Filtro di Kalman esteso

Il filtro di Kalman esteso (EKF), che linearizza circa una stima della media e della covarianza correnti, è la variante non lineare del filtro di Kalman utilizzata nella teoria delle stime. L'EKF è stato preso in considerazione per modelli di transizione ben definiti.

Tra il 1959 e il 1961 furono pubblicate le pubblicazioni che gettarono le basi matematiche per i filtri di tipo Kalman. Per i modelli di sistemi lineari con rumore bianco indipendente additivo sia nel sistema di transizione che in quello di misura, il filtro di Kalman è il miglior stimatore lineare. Sfortunatamente, i sistemi non lineari costituiscono la maggior parte dei sistemi di ingegneria, quindi sono stati fatti sforzi per applicare questo metodo di filtraggio ad essi; la maggior parte di questo lavoro è stato svolto alla NASA Ames. L'EKF ha linearizzato un modello attorno a un punto di lavoro utilizzando espansioni multivariate in serie di Taylor, un adattamento delle tecniche di calcolo. Se il modello del sistema (come indicato di seguito) è sconosciuto o inaffidabile, la stima viene effettuata utilizzando i metodi Monte Carlo, in particolare i filtri antiparticolato. Sebbene gli approcci Monte Carlo siano stati utilizzati prima dell'EKF, sono più costosi dal punto di vista computazionale per qualsiasi spazio degli stati di dimensioni modeste.

I modelli di transizione di stato e di osservazione nel filtro di Kalman esteso non devono essere funzioni lineari dello stato, in alternativa potrebbero essere funzioni differenziabili.

Qui wk e vk sono i rumori di processo e di osservazione che si assume siano entrambi rumori gaussiani multivariati medi zero con covarianza Qk e Rk rispettivamente.

Il Regno Unito è il vettore di controllo.

Le funzioni f e h possono essere utilizzate per calcolare rispettivamente lo stato previsto dalla stima precedente e la misurazione prevista dallo stato previsto. F e H, tuttavia, non possono essere semplicemente applicati alla covarianza. Invece, viene calcolata la jacobiana, una matrice di derivate parziali.

La jacobiana viene valutata utilizzando gli stati proiettati più recenti in ogni fase temporale. Le equazioni del filtro di Kalman possono utilizzare queste matrici. Essenzialmente, la funzione non lineare attorno alla presente stima è linearizzata con questo metodo.

Per le note di notazione, vedere l'articolo sul filtro di Kalman.

La notazione rappresenta la stima di al tempo n date le osservazioni fino al tempo compreso m = n.

Quando vengono fatte le seguenti definizioni per le matrici di transizione e osservazione dello stato: Jacobiani

Il filtro di Kalman esteso, a differenza della sua versione lineare, non è generalmente il miglior stimatore (è ottimale se la misura e il modello di transizione di stato sono entrambi lineari, poiché in tal caso il filtro di Kalman esteso è identico a quello regolare). Inoltre, a causa della sua linearizzazione, il filtro può divergere rapidamente se la stima iniziale dello stato è errata o se il processo è rappresentato in modo non corretto. La matrice di covarianza calcolata tende a sottostimare la vera matrice di covarianza, il che aumenta la possibilità di incoerenza statistica senza l'aggiunta di "rumore stabilizzante", che è un altro problema con il filtro di Kalman esteso.

Dopo aver detto questo, si può dire che il filtro Kalman esteso può fornire prestazioni accettabili ed è forse la norma de facto nei sistemi GPS.

Modello

Inizializzare

Prevedi-Aggiorna

I processi di previsione e aggiornamento sono accoppiati nel filtro di Kalman esteso a tempo continuo, in contrasto con il filtro di Kalman esteso a tempo discreto.

La maggior parte dei sistemi fisici sono modellati come sistemi a tempo continuo, mentre la stima dello stato da parte di un processore digitale richiede tipicamente misurazioni a tempo discreto. Il modello di sistema e il modello di misurazione sono quindi forniti da

dove .

Inizializzare

Predire

dove

Aggiornare

dove

Le equazioni di aggiornamento sono le stesse di quelle per il filtro di Kalman a tempo discreto esteso.

Nella ricorsione precedente (EKF) viene utilizzato un filtro di Kalman esteso del primo ordine. Altri termini delle espansioni della serie Taylor possono essere mantenuti al fine di produrre EKF di ordine superiore. Ad esempio, sono state fatte descrizioni di EKF di secondo e terzo ordine. Ma gli EKF di ordine superiore spesso migliorano le prestazioni solo quando il rumore di misura è minimo.

L'assunzione di un rumore di processo e di misura additivo è una componente comune nella formulazione dell'EKF. Ma l'esecuzione dell'EKF non richiede questa presunzione. Invece, pensa a un framework più ampio del modulo:

Qui wk e vk sono i rumori di processo e di osservazione che si assume siano entrambi rumori gaussiani multivariati medi zero con covarianza Qk e Rk rispettivamente.

allora le equazioni per la previsione della covarianza e l'innovazione diventano

dove le matrici e sono matrici jacobiane:

La media dei termini di rumore di processo e di misura, che si presume sia zero, viene utilizzata per valutare la stima dello stato previsto e il residuo di misura. In caso contrario, il rumore additivo EKF viene utilizzato per implementare la formulazione del rumore non additivo.

In alcuni casi, il modello di osservazione di un sistema non lineare non può essere risolto per , tuttavia, può essere articolato utilizzando la funzione implicita:

dove sono le osservazioni rumorose.

È possibile apportare le seguenti modifiche al filtro di Kalman esteso tradizionale:

dove:

Qui la matrice di covarianza dell'osservazione originale viene trasformata e l'innovazione viene definita in modo diverso.

La matrice jacobiana è definita come prima, ma determinata dal modello di osservazione implicita .

Modificando ripetutamente il punto centrale dell'espansione di Taylor, il filtro di Kalman esteso iterato migliora la linearizzazione del filtro di Kalman esteso. Ciò riduce l'errore di linearizzazione, ma richiede più calcoli.

Il modello del segnale per la stima dello stato corrente viene linearizzato e il filtro di Kalman lineare viene quindi utilizzato per prevedere la stima successiva, ottenendo il filtro di Kalman esteso. Le soluzioni dell'equazione di Riccati sottostante non sono necessariamente definite positive, quindi mentre questo mira a creare un filtro localmente ottimale, non è necessariamente stabile. La strategia algebrica fittizia di Riccati, che scambia l'ottimalità con la stabilità, è un metodo per migliorare la performance. La struttura riconoscibile del filtro di Kalman esteso viene mantenuta, ma la stabilità viene raggiunta scegliendo una soluzione definita positiva a un'equazione algebrica fittizia di Riccati per il progetto del guadagno.

L'utilizzo dei risultati H-infinity di un controllo robusto è un altro metodo per migliorare le prestazioni dei filtri Kalman estesi. Includendo un termine definito positivo nell'equazione di Riccati di progetto, si producono filtri robusti. Un valore scalare che il progettista può regolare per ottenere un compromesso tra il criterio di prestazione dell'errore quadratico medio e dell'errore di picco parametrizza il nuovo termine.

Per i sistemi non lineari con simmetrie, il filtro di Kalman esteso invariante (IEKF) è una versione modificata dell'EKF (o invarianze). Combina i vantaggi dei filtri che preservano la simmetria di recente sviluppo e dell'EKF. La matrice di guadagno non viene aggiornata da un errore di stato lineare, ma da un errore di stato invariante; allo stesso modo, l'IEKF utilizza un termine di correzione geometricamente adattato basato su un errore di output invariante invece di un termine di correzione lineare basato su un errore di output lineare. Il vantaggio principale è che, a differenza dei punti di equilibrio per l'EKF, le equazioni di guadagno e covarianza convergono a valori costanti su un insieme di traiettorie significativamente più ampio, portando a una migliore convergenza della stima.

Il filtro di Kalman non profumato è un filtro di Kalman non lineare che sembra essere un miglioramento rispetto all'EKF (UKF). Nell'UKF, la distribuzione gaussiana sottostante è rappresentata da un campionamento deterministico di punti che approssima la densità di probabilità. I momenti della distribuzione posteriore possono quindi essere dedotti dai campioni trasformati utilizzando la trasformazione non lineare di questi punti come stima della distribuzione posteriore. Il processo è indicato come trasformazione non profumata. Quando si stima l'errore in entrambe le direzioni, l'UKF è in genere più affidabile e preciso dell'EKF.

"Il filtro di Kalman esteso (EKF), una tecnica di stima di sistemi non lineari, è forse la più popolare. Ma più di 35 anni di esperienza nel campo delle stime hanno dimostrato che è difficile da implementare, difficile da mettere a punto e affidabile solo per sistemi che sono quasi lineari sulla scala temporale degli aggiornamenti. L'uso della linearizzazione è in gran parte responsabile di molti di questi problemi".

Si ritiene che il filtro di Kalman esteso del secondo ordine (SOEKF), noto anche come filtro di Kalman potenziato, sia più accurato di alcune variazioni UKF che sono state pubblicate, secondo i risultati della simulazione di una ricerca del 2012. Tuttavia, poiché l'UKF impiega anche la linearizzazione, in particolare la regressione lineare, non è esente da questa sfida. La radice quadrata dell'approssimazione numerica della matrice di covarianza causa tipicamente...