Capítulo 1 : Filtro Kalman estendido
O filtro de Kalman estendido (EKF), que lineariza cerca de uma estimativa da média atual e da covariância, é a variante não linear do filtro de Kalman usado na teoria da estimativa. O EKF foi tido em conta para modelos de transição bem definidos.
Entre 1959 e 1961, foram lançadas as publicações que estabelecem as bases matemáticas para os filtros do tipo Kalman. Para modelos de sistemas lineares com ruído branco independente de aditivos nos sistemas de transição e medição, o filtro de Kalman é o melhor estimador linear. Infelizmente, os sistemas não lineares constituem a maioria dos sistemas de engenharia, daí terem sido feitos esforços para lhes aplicar este método de filtragem; a maior parte deste trabalho foi feito na NASA Ames. O EKF linearizou um modelo em torno de um ponto de trabalho usando expansões multivariadas da série Taylor, uma adaptação de técnicas de cálculo. Se o modelo do sistema (como indicado abaixo) é desconhecido ou não confiável, a estimativa é feita usando métodos de Monte Carlo, particularmente filtros de partículas. Embora as abordagens de Monte Carlo tenham sido usadas antes do EKF, elas são mais caras computacionalmente para qualquer estado-espaço de dimensão modesta.
Os modelos de transição e observação de estado no filtro de Kalman estendido não precisam ser funções lineares do estado, alternativamente podem ser funções diferenciáveis.
Aqui wk e vk são os ruídos de processo e observação que são ambos assumidos como zero ruídos gaussianos médios multivariados com covariância Qk e Rk , respectivamente.
O Reino Unido é o vetor de controle.
As funções f e h podem ser usadas para calcular o estado antecipado a partir da estimativa anterior e a medição prevista a partir do estado esperado, respectivamente. F e H, no entanto, não podem ser simplesmente aplicados à covariância. Em vez disso, o jacobiano, uma matriz de derivados parciais, é calculado.
O jacobiano é avaliado usando os estados projetados mais recentes em cada etapa temporal. As equações de filtro de Kalman podem usar essas matrizes. Essencialmente, a função não linear em torno da presente estimativa é linearizada por este método.
Para notas notacionais, consulte o artigo sobre o Filtro de Kalman.
A notação representa a estimativa de no tempo n dadas observações até e incluindo no tempo m = n.
Quando são feitas as seguintes definições para as matrizes de transição e observação do estado: Jacobianos
O filtro de Kalman estendido, ao contrário de sua versão linear, geralmente não é o melhor estimador (é ótimo se a medição e o modelo de transição de estado forem ambos lineares, pois nesse caso o filtro de Kalman estendido é idêntico ao regular). Além disso, devido à sua linearização, o filtro pode divergir rapidamente se a estimativa inicial do estado estiver errada ou se o processo estiver indevidamente representado. A matriz de covariância calculada tende a subestimar a matriz de covariância verdadeira, o que levanta a possibilidade de inconsistência estatística sem a adição de "ruído estabilizador", que é outro problema com o filtro de Kalman estendido.
Depois de afirmar isso, pode-se dizer que o filtro Kalman estendido pode fornecer um desempenho aceitável e é talvez a norma de facto em sistemas GPS.
Modelo
Inicializar
Prever-Atualizar
Os processos de previsão e atualização são acoplados no filtro de Kalman estendido de tempo contínuo, em contraste com o filtro de Kalman estendido de tempo discreto.
A maioria dos sistemas físicos são modelados como sistemas de tempo contínuo, enquanto a estimativa de estado por um processador digital normalmente requer medições de tempo discreto. O modelo do sistema e o modelo de medição são fornecidos pela
em que .
Inicializar
Prever
em que
Atualizar
em que
As equações de atualização são as mesmas do filtro de Kalman de tempo discreto estendido.
Um filtro Kalman estendido de primeira ordem é usado na recursão acima (EKF). Mais termos das expansões da série Taylor podem ser mantidos para produzir EKFs de ordem superior. Por exemplo, foram feitas descrições de EKFs de segunda e terceira ordem. Mas os EKFs de ordem superior muitas vezes só melhoram o desempenho quando o ruído de medição é mínimo.
A suposição do processo aditivo e do ruído de medição é um componente comum na formulação do EKF. Mas a execução da EKF não exige esta presunção. Em vez disso, pense em uma estrutura mais extensa do formulário:
Aqui wk e vk são os ruídos de processo e observação que são ambos assumidos como zero ruídos gaussianos médios multivariados com covariância Qk e Rk , respectivamente.
em seguida, as equações para previsão de covariância e inovação tornam-se
onde as matrizes e são matrizes jacobianas:
A média dos termos de ruído de processo e medição, que se supõe ser zero, é usada para avaliar a estimativa do estado previsto e a medição residual. Caso contrário, o ruído aditivo EKF é usado para implementar a formulação de ruído não aditivo.
Em alguns casos, o modelo de observação de um sistema não linear não pode ser resolvido por , no entanto, ele pode ser articulado usando a função implícita:
onde estão as observações barulhentas.
As seguintes alterações podem ser feitas no filtro Kalman estendido tradicional::
em que:
Aqui a matriz de covariância de observação original é transformada, e a inovação é definida de forma diferente.
A matriz jacobiana é definida como antes, mas determinada a partir do modelo de observação implícito .
Ao alterar repetidamente o ponto central da expansão Taylor, o filtro Kalman estendido iterado aumenta a linearização do filtro Kalman estendido. Isso diminui o erro de linearização, mas requer mais computação.
O modelo de sinal para a estimativa do estado atual é linearizado, e o filtro linear de Kalman é então usado para prever a estimativa a seguir, resultando no filtro de Kalman estendido. As soluções subjacentes da equação de Riccati não são necessariamente positivas definitivas, portanto, embora isso tenha como objetivo criar um filtro localmente ótimo, ele não é necessariamente estável. A estratégia algébrica fictícia de Riccati, que troca a otimização pela estabilidade, é um método para melhorar o desempenho. A estrutura reconhecível do filtro de Kalman estendido é mantida, mas a estabilidade é alcançada pela escolha de uma solução definitiva positiva para uma equação algébrica fictícia de Riccati para o projeto de ganho.
O uso das descobertas H-infinity do controle robusto é outro método para melhorar o desempenho dos filtros Kalman estendidos. Ao incluir um termo definido positivo na equação de Riccati de design, filtros robustos são produzidos. Um escalar que o designer pode ajustar para realizar um trade-off entre o critério de desempenho de erro médio quadrado e erro de pico parametriza o novo termo.
Para sistemas não lineares com simetrias, o filtro de Kalman estendido invariante (IEKF) é uma versão modificada do EKF (ou invariâncias). Combina os benefícios dos filtros de preservação de simetria recentemente desenvolvidos e do EKF. A matriz de ganho não é atualizada a partir de um erro de estado linear, mas de um erro de estado invariante; da mesma forma, o IEKF utiliza um termo de correção geometricamente adaptado baseado em um erro de saída invariante em vez de um termo de correção linear baseado em um erro de saída linear. A principal vantagem é que, ao contrário dos pontos de equilíbrio para o EKF, as equações de ganho e covariância convergem para valores constantes em um conjunto significativamente maior de trajetórias, levando a uma melhor convergência da estimativa.
O filtro Kalman não perfumado é um filtro Kalman não linear que parece ser uma melhoria em relação ao EKF (UKF). No UKF, a distribuição Gaussiana subjacente é representada por uma amostragem determinística de pontos que se aproxima da densidade de probabilidade. Os momentos da distribuição posterior podem então ser deduzidos das amostras transformadas usando a transformação não linear desses pontos como uma estimativa da distribuição posterior. O processo é referido como a transformação sem cheiro. Ao estimar o erro em ambas as direções, o UKF é normalmente mais confiável e preciso do que o EKF.
"O filtro de Kalman estendido (EKF), uma técnica de estimativa de sistema não linear, é talvez o mais popular. Mas mais de 35 anos de experiência no campo da estimativa demonstraram que é difícil de implementar, desafiador de ajustar e apenas confiável para sistemas que são quase lineares na escala de tempo das atualizações. Seu uso da linearização é em grande parte responsável por muitas dessas questões."
Acredita-se que o Filtro de Kalman Estendido de Segunda Ordem (SOEKF), também conhecido como filtro de Kalman aprimorado, seja mais preciso do que algumas variações UKF que foram publicadas, de acordo com resultados de simulação de uma pesquisa de 2012. No entanto, como o UKF também emprega linearização - especificamente, regressão linear - não está isento desse desafio. A raiz quadrada da aproximação numérica da matriz de covariância normalmente causa problemas de estabilidade para o UKF, enquanto problemas potenciais com a aproximação da Série Taylor ao longo da trajetória causam problemas de estabilidade tanto para o EKF quanto...
