Capítulo 1 : Filtro de Kalman extendido
El filtro de Kalman extendido (EKF), que linealiza alrededor de una estimación de la media y la covarianza actuales, es la variante no lineal del filtro de Kalman utilizado en la teoría de la estimación. El EKF se ha tenido en cuenta para modelos de transición bien definidos.
Entre 1959 y 1961, se publicaron las publicaciones que sentaron las bases matemáticas de los filtros de tipo Kalman. Para modelos de sistemas lineales con ruido blanco independiente aditivo tanto en el sistema de transición como en el de medición, el filtro de Kalman es el mejor estimador lineal. Desafortunadamente, los sistemas no lineales constituyen la mayoría de los sistemas de ingeniería, por lo tanto, se hicieron esfuerzos para aplicarles este método de filtrado; la mayor parte de este trabajo se realizó en NASA Ames. El EKF linealizó un modelo alrededor de un punto de trabajo mediante el uso de expansiones multivariadas de series de Taylor, una adaptación de las técnicas de cálculo. Si el modelo del sistema (como se indica a continuación) es desconocido o poco fiable, la estimación se realiza utilizando métodos de Monte Carlo, en particular filtros de partículas. Aunque los enfoques de Monte Carlo se utilizaron antes del EKF, son más caros computacionalmente para cualquier espacio de estados de dimensión modesta.
Los modelos de transición de estado y observación en el filtro de Kalman extendido no tienen que ser funciones lineales del estado, alternativamente, podrían ser funciones diferenciables.
Aquí, wk y vk son los ruidos de proceso y de observación, que se supone que son ruidos gaussianos multivariados de media cero con covarianza Qk y Rk, respectivamente.
UK es el vector de control.
Las funciones f y h se pueden utilizar para calcular el estado anticipado a partir de la estimación anterior y la medición predicha a partir del estado esperado, respectivamente. F y H, sin embargo, no se pueden aplicar simplemente a la covarianza. En su lugar, se calcula la jacobiana, una matriz de derivadas parciales.
El jacobiano se evalúa utilizando los estados proyectados más recientes en cada paso de tiempo. Las ecuaciones de filtro de Kalman pueden usar estas matrices. Esencialmente, la función no lineal alrededor de la estimación presente se linealiza mediante este método.
Para obtener notas de notación, consulte el artículo sobre el filtro de Kalman.
La notación representa la estimación de en el tiempo n observaciones dadas hasta el tiempo m = n inclusive.
Cuando se hacen las siguientes definiciones para las matrices de transición de estado y observación: jacobianos
El filtro de Kalman extendido, a diferencia de su versión lineal, generalmente no es el mejor estimador (es óptimo si la medición y el modelo de transición de estado son lineales, ya que en ese caso el filtro de Kalman extendido es idéntico al normal). Además, debido a su linealización, el filtro puede divergir rápidamente si la estimación inicial del estado es errónea o si el proceso se representa incorrectamente. La matriz de covarianza calculada tiende a subestimar la verdadera matriz de covarianza, lo que plantea la posibilidad de inconsistencia estadística sin la adición de "ruido estabilizador", que es otro problema con el filtro de Kalman extendido.
Después de decir esto, se puede decir que el filtro Kalman extendido puede proporcionar un rendimiento aceptable y es quizás la norma de facto en los sistemas GPS.
Modelo
Inicializar
Predecir-Actualizar
Los procesos de predicción y actualización se acoplan en el filtro de Kalman extendido de tiempo continuo, en contraste con el filtro de Kalman extendido de tiempo discreto.
La mayoría de los sistemas físicos se modelan como sistemas de tiempo continuo, mientras que la estimación del estado por un procesador digital generalmente requiere mediciones de tiempo discreto. El modelo de sistema y el modelo de medición son proporcionados por
donde .
Inicializar
Predecir
Dónde
Actualizar
Dónde
Las ecuaciones de actualización son las mismas que las del filtro de Kalman de tiempo discreto extendido.
Se utiliza un filtro de Kalman extendido de primer orden en la recursividad anterior (EKF). Es posible que se mantengan más términos de las expansiones de la serie Taylor para producir EKF de orden superior. Por ejemplo, se han hecho descripciones de EKF de segundo y tercer orden. Pero los EKF de orden superior a menudo solo mejoran el rendimiento cuando el ruido de medición es mínimo.
La suposición de ruido aditivo de proceso y medición es un componente común en la formulación del EKF. Pero la ejecución de EKF no requiere esta presunción. En su lugar, piense en un marco más extenso de la forma:
Aquí, wk y vk son los ruidos de proceso y de observación, que se supone que son ruidos gaussianos multivariados de media cero con covarianza Qk y Rk, respectivamente.
Entonces, las ecuaciones para la predicción de covarianza y la innovación se convierten en
donde las matrices y son matrices jacobianas:
La media de los términos de ruido de proceso y medición, que se supone que es cero, se utiliza para evaluar la estimación del estado anticipado y el residuo de medición. De lo contrario, el ruido aditivo EKF se utiliza para implementar la formulación de ruido no aditivo.
En algunos casos, el modelo de observación de un sistema no lineal no puede ser resuelto para , sin embargo, puede ser articulado usando la función implícita:
¿Dónde están las observaciones ruidosas?
Se pueden realizar los siguientes cambios en el filtro de Kalman extendido tradicional:
Dónde:
Aquí se transforma la matriz de covarianza de observación original y la innovación se define de manera diferente.
La matriz jacobiana se define como antes, pero determinada a partir del modelo de observación implícita .
Al alterar repetidamente el punto central de la expansión de Taylor, el filtro de Kalman extendido iterado mejora la linealización del filtro de Kalman extendido. Esto disminuye el error de linealización, pero requiere más cálculo.
El modelo de señal para la estimación del estado actual se linealiza y, a continuación, se utiliza el filtro de Kalman lineal para pronosticar la siguiente estimación, lo que da como resultado el filtro de Kalman ampliado. Las soluciones subyacentes de la ecuación de Riccati no son necesariamente positivas definidas, por lo tanto, si bien esto tiene como objetivo crear un filtro localmente óptimo, no es necesariamente estable. La estrategia algebraica ficticia de Riccati, que sacrifica la optimalidad por la estabilidad, es un método para mejorar el rendimiento. La estructura reconocible del filtro de Kalman extendido se mantiene, pero la estabilidad se logra eligiendo una solución definida positiva a una ecuación algebraica ficticia de Riccati para el diseño de ganancia.
El uso de los hallazgos H-infinity de un control robusto es otro método para mejorar el rendimiento de los filtros de Kalman extendidos. Al incluir un término definido positivo en la ecuación de Riccati del diseño, se producen filtros robustos. Un escalar que el diseñador puede ajustar para lograr un equilibrio entre el criterio de rendimiento de error cuadrático medio y error máximo parametriza el nuevo término.
Para sistemas no lineales con simetrías, el filtro de Kalman extendido invariante (IEKF) es una versión modificada del EKF (o invarianzas). Combina las ventajas de los filtros que conservan la simetría recientemente desarrollados y del EKF. La matriz de ganancia no se actualiza a partir de un error de estado lineal, sino de un error de estado invariante; De manera similar, el IEKF utiliza un término de corrección adaptado geométricamente basado en un error de salida invariante en lugar de un término de corrección lineal basado en un error de salida lineal. La ventaja clave es que, a diferencia de los puntos de equilibrio para el EKF, las ecuaciones de ganancia y covarianza convergen a valores constantes en un conjunto de trayectorias significativamente mayor, lo que conduce a una mejor convergencia de la estimación.
El filtro Kalman sin perfume es un filtro Kalman no lineal que parece ser una mejora con respecto al EKF (UKF). En el UKF, la distribución gaussiana subyacente está representada por un muestreo determinista de puntos que se aproxima a la densidad de probabilidad. Los momentos de la distribución posterior se pueden deducir de las muestras transformadas utilizando la transformación no lineal de estos puntos como una estimación de la distribución posterior. El proceso se conoce como la transformación sin perfume. Al estimar el error en ambas direcciones, el UKF suele ser más fiable y preciso que el EKF.
"El filtro de Kalman extendido (EKF), una técnica de estimación de sistemas no lineales, es quizás la más popular. Pero más de 35 años de experiencia en el campo de la estimación han demostrado que es un desafío implementarlo, un desafío para ajustar y solo confiable para sistemas que son casi lineales en la escala de tiempo de las actualizaciones. Su uso de la linealización es en gran parte culpable de muchos de estos problemas".
Se cree que el filtro de Kalman extendido de segundo orden (SOEKF), también conocido como filtro de Kalman mejorado, es más preciso que algunas variaciones de UKF que se han publicado, según los resultados de simulación de una investigación de 2012. Sin embargo, debido a que el UKF también emplea la linealización, específicamente, la...
