Chapitre 1 : Filtre de Kalman étendu
Le filtre de Kalman étendu (EKF), qui linéarise une estimation de la moyenne actuelle et de la covariance, est la variante non linéaire du filtre de Kalman utilisé dans la théorie de l'estimation. L'EKF a été pris en compte pour des modèles de transition bien définis.
Entre 1959 et 1961, les publications jetant les bases mathématiques des filtres de type Kalman ont été publiées. Pour les modèles de systèmes linéaires avec un bruit blanc indépendant additif dans les systèmes de transition et de mesure, le filtre de Kalman est le meilleur estimateur linéaire. Malheureusement, les systèmes non linéaires constituent la majorité des systèmes d'ingénierie, d'où des efforts ont été faits pour leur appliquer cette méthode de filtrage ; la majorité de ce travail a été effectuée à la NASA Ames. L'EKF a linéarisé un modèle autour d'un point de travail en utilisant des expansions de séries de Taylor multivariées, une adaptation des techniques de calcul. Si le modèle du système (comme indiqué ci-dessous) est inconnu ou peu fiable, l'estimation est effectuée à l'aide des méthodes de Monte Carlo, en particulier des filtres à particules. Bien que les approches de Monte Carlo aient été utilisées avant l'EKF, elles sont plus coûteuses en calcul pour tout espace d'état de dimension modeste.
Les modèles de transition d'état et d'observation dans le filtre de Kalman étendu n'ont pas besoin d'être des fonctions linéaires de l'état, ou bien ils pourraient être des fonctions dérivables.
Ici, wk et vk sont les bruits de processus et d'observation, qui sont tous deux supposés être des bruits gaussiens multivariés de moyenne nulle, avec covariance Qk et Rk , respectivement.
Le Royaume-Uni est le vecteur de contrôle.
Les fonctions f et h peuvent être utilisées pour calculer l'état anticipé à partir de l'estimation préalable et la mesure prédite à partir de l'état attendu, respectivement. F et H, cependant, ne peuvent pas être simplement appliqués à la covariance. Au lieu de cela, le jacobien, une matrice de dérivées partielles, est calculé.
Le jacobien est évalué à l'aide des états projetés les plus récents à chaque pas de temps. Les équations du filtre de Kalman peuvent utiliser ces matrices. Essentiellement, la fonction non linéaire autour de la présente estimation est linéarisée par cette méthode.
Pour les notes de notation, voir l'article sur le filtre de Kalman.
La notation représente l'estimation des observations données à l'instant n jusqu'à l'instant m = n inclus.
Lorsque les définitions suivantes sont faites pour les matrices de transition et d'observation d'état : Jacobiens
Le filtre de Kalman étendu, contrairement à sa version linéaire, n'est généralement pas le meilleur estimateur (il est optimal si la mesure et le modèle de transition d'état sont tous deux linéaires, car dans ce cas, le filtre de Kalman étendu est identique au filtre régulier). De plus, en raison de sa linéarisation, le filtre peut diverger rapidement si l'estimation initiale de l'état est erronée ou si le processus est mal représenté. La matrice de covariance calculée a tendance à sous-estimer la véritable matrice de covariance, ce qui soulève la possibilité d'une incohérence statistique sans l'ajout de « bruit stabilisateur », ce qui est un autre problème avec le filtre de Kalman étendu.
Après avoir dit cela, on peut dire que le filtre de Kalman étendu peut fournir des performances acceptables et est peut-être la norme de facto dans les systèmes GPS.
Modèle
Initialiser
Prédiction-Mise à jour
Les processus de prédiction et de mise à jour sont couplés dans le filtre de Kalman étendu en temps continu, contrairement au filtre de Kalman étendu en temps discret.
La majorité des systèmes physiques sont modélisés comme des systèmes à temps continu, tandis que l'estimation d'état par un processeur numérique nécessite généralement des mesures en temps discret. Le modèle du système et le modèle de mesure sont ainsi fournis par
où .
Initialiser
Prédire
où
Mettre à jour
où
Les équations de mise à jour sont les mêmes que celles du filtre de Kalman à temps discret étendu.
Un filtre de Kalman étendu de premier ordre est utilisé dans la récursivité ci-dessus (EKF). D'autres termes des extensions de la série Taylor peuvent être conservés afin de produire des EKF d'ordre supérieur. Par exemple, des descriptions d'EKF de deuxième et de troisième ordre ont été faites. Mais les EKF d'ordre supérieur n'améliorent souvent les performances que lorsque le bruit de mesure est minimal.
L'hypothèse d'un procédé additif et la mesure du bruit sont un élément courant dans la formulation de l'EKF. Mais l'exécution de l'EKF n'exige pas cette présomption. Au lieu de cela, pensez à un cadre plus étendu du formulaire :
Ici, wk et vk sont les bruits de processus et d'observation, qui sont tous deux supposés être des bruits gaussiens multivariés de moyenne nulle, avec covariance Qk et Rk , respectivement.
Ensuite, les équations de prédiction de covariance et d'innovation deviennent
où les matrices et sont des matrices jacobiennes :
La moyenne des termes de bruit de procédé et de mesure, qui est supposée être nulle, est utilisée pour évaluer l'estimation de l'état anticipé et le résidu de mesure. Sinon, le bruit additif EKF est utilisé pour mettre en ouvre la formulation de bruit non additif.
Dans certains cas, le modèle d'observation d'un système non linéaire ne peut pas être résolu car , néanmoins, il peut être articulé à l'aide de la fonction implicite :
où sont les observations bruyantes.
Les modifications suivantes peuvent être apportées au filtre de Kalman étendu traditionnel :
où:
Ici, la matrice de covariance d'observation d'origine est transformée et l'innovation est définie différemment.
La matrice jacobienne est définie comme précédemment, mais déterminée à partir du modèle d'observation implicite .
En modifiant à plusieurs reprises le point central de l'expansion de Taylor, le filtre de Kalman étendu itéré améliore la linéarisation du filtre de Kalman étendu. Cela diminue l'erreur de linéarisation, mais nécessite plus de calcul.
Le modèle de signal pour l'estimation de l'état actuel est linéarisé, et le filtre de Kalman linéaire est ensuite utilisé pour prévoir l'estimation suivante, ce qui donne le filtre de Kalman étendu. Les solutions de l'équation de Riccati sous-jacente ne sont pas nécessairement positives, donc bien que cela vise à créer un filtre localement optimal, il n'est pas nécessairement stable. La stratégie algébrique fictive de Riccati, qui troque l'optimalité pour la stabilité, est une méthode d'amélioration des performances. La structure reconnaissable du filtre de Kalman étendu est conservée, mais la stabilité est obtenue en choisissant une solution définie positive à une équation de Riccati algébrique fictive pour la conception du gain.
L'utilisation des résultats H-infinity du contrôle robuste est une autre méthode pour améliorer les performances des filtres de Kalman étendus. En incluant un terme défini positif dans l'équation de Riccati de conception, des filtres robustes sont produits. Un scalaire que le concepteur peut ajuster pour effectuer un compromis entre le critère de performance de l'erreur quadratique moyenne et de l'erreur maximale paramétrise le nouveau terme.
Pour les systèmes non linéaires avec des symétries, le filtre de Kalman étendu invariant (IEKF) est une version modifiée de l'EKF (ou invariances). Il combine les avantages des filtres préservant la symétrie récemment développés et de l'EKF. La matrice de gain n'est pas mise à jour à partir d'une erreur d'état linéaire, mais à partir d'une erreur d'état invariante ; de même, l'IEKF utilise un terme de correction géométriquement adapté basé sur une erreur de sortie invariante au lieu d'un terme de correction linéaire basé sur une erreur de sortie linéaire. Le principal avantage est que, contrairement aux points d'équilibre pour l'EKF, les équations de gain et de covariance convergent vers des valeurs constantes sur un ensemble de trajectoires nettement plus large, ce qui conduit à une meilleure convergence de l'estimation.
Le filtre Kalman non parfumé est un filtre Kalman non linéaire qui semble être une amélioration par rapport à l'EKF (UKF). Dans l'UKF, la distribution gaussienne sous-jacente est représentée par un échantillonnage déterministe de points qui se rapproche de la densité de probabilité. Les moments de la distribution a posteriori peuvent ensuite être déduits des échantillons transformés en utilisant la transformation non linéaire de ces points comme estimation de la distribution a posteriori. Le processus est appelé la transformation non parfumée. Lors de l'estimation de l'erreur dans les deux sens, l'UKF est généralement plus fiable et plus précis que l'EKF.
« Le filtre de Kalman étendu (EKF), une technique d'estimation de système non linéaire, est peut-être la plus populaire. Mais plus de 35 ans d'expérience dans le domaine de l'estimation ont démontré qu'il est difficile à mettre en ouvre, difficile à régler et uniquement fiable pour des systèmes qui sont presque linéaires sur l'échelle de temps des mises à jour. Son utilisation de la linéarisation est en grande partie à blâmer pour bon...
