Kapitel 1 : Erweiterter Kalman-Filter
Der erweiterte Kalman-Filter (EKF), der eine Schätzung des aktuellen Mittelwerts und der Kovarianz linearisiert, ist die nichtlineare Variante des Kalman-Filters, der in der Schätztheorie verwendet wird. Die EKF wurde für klar definierte Übergangsmodelle berücksichtigt.
Zwischen 1959 und 1961 wurden die Veröffentlichungen veröffentlicht, die die mathematische Grundlage für Filter vom Typ Kalman legten. Für lineare Systemmodelle mit additiv unabhängigem weißem Rauschen sowohl im Übergangs- als auch im Messsystem ist der Kalman-Filter der beste lineare Schätzer. Leider machen nichtlineare Systeme die Mehrheit der technischen Systeme aus, daher wurden Anstrengungen unternommen, diese Filtermethode auf sie anzuwenden. der Großteil dieser Arbeit wurde bei NASA Ames geleistet. Die EKF linearisierte ein Modell um einen Arbeitspunkt mit Hilfe von multivariaten Taylor-Reihenerweiterungen, einer Adaption von Analysis-Techniken. Wenn das Systemmodell (wie unten angegeben) unbekannt oder unzuverlässig ist, wird die Schätzung mit Monte-Carlo-Methoden, insbesondere Partikelfiltern, durchgeführt. Obwohl Monte-Carlo-Ansätze vor der EKF verwendet wurden, sind sie für jeden Zustandsraum von bescheidener Dimension rechenintensiver.
Die Zustandsübergangs- und Beobachtungsmodelle im erweiterten Kalman-Filter müssen keine linearen Funktionen des Zustands sein, alternativ könnten sie differenzierbare Funktionen sein.
Hier sind wk und vk die Prozess- und Beobachtungsgeräusche, von denen beide angenommen werden, dass sie keine mittleren multivariaten Gaußschen Rauschen mit der Kovarianz Qk bzw. Rk sind.
UK ist der Steuerungsvektor.
Mit den Funktionen f und h kann der erwartete Zustand aus der vorherigen Schätzung bzw. die vorhergesagte Messung aus dem erwarteten Zustand berechnet werden. F und H können jedoch nicht einfach auf die Kovarianz angewendet werden. Stattdessen wird die Jacobi-Matrix, eine Matrix aus partiellen Ableitungen, berechnet.
Die Jacobi-Methode wird anhand der neuesten projizierten Zustände in jedem Zeitschritt bewertet. Die Kalman-Filtergleichungen können diese Matrizen verwenden. Im Wesentlichen wird die nichtlineare Funktion um die vorliegende Schätzung durch diese Methode linearisiert.
Anmerkungen finden Sie im Artikel über den Kalman-Filter.
Die Notation stellt die Schätzung der gegebenen Beobachtungen zum Zeitpunkt n bis einschließlich zum Zeitpunkt m = n dar.
Wenn die folgenden Definitionen für die Zustandsübergangs- und Beobachtungsmatrizen vorgenommen werden: Jacobi-Matrizen
Der erweiterte Kalman-Filter ist im Gegensatz zu seiner linearen Version im Allgemeinen nicht der beste Schätzer (er ist optimal, wenn sowohl die Messung als auch das Zustandsübergangsmodell linear sind, da in diesem Fall der erweiterte Kalman-Filter mit dem regulären Filter identisch ist). Darüber hinaus kann der Filter aufgrund seiner Linearisierung schnell divergieren, wenn die anfängliche Schätzung des Zustands falsch ist oder wenn der Prozess falsch dargestellt wird. Die berechnete Kovarianzmatrix neigt dazu, die wahre Kovarianzmatrix zu unterschätzen, was die Möglichkeit statistischer Inkonsistenz ohne Zusatz von "stabilisierendem Rauschen" aufwirft, was ein weiteres Problem mit dem erweiterten Kalman-Filter ist.
Nachdem dies festgestellt wurde, kann man sagen, dass der erweiterte Kalman-Filter eine akzeptable Leistung bieten kann und vielleicht die De-facto-Norm in GPS-Systemen ist.
Modell
Initialisieren
Vorhersagen-Aktualisieren
Die Vorhersage- und Aktualisierungsprozesse sind im Gegensatz zum zeitdiskret erweiterten Kalman-Filter beim zeitkontinuierlich erweiterten Kalman-Filter gekoppelt.
Die meisten physikalischen Systeme werden als zeitkontinuierliche Systeme modelliert, während die Zustandsschätzung durch einen digitalen Prozessor in der Regel zeitdiskrete Messungen erfordert. Das Systemmodell und das Messmodell werden so bereitgestellt durch
wobei .
Initialisieren
Voraussagen
wo
Aktualisieren
wo
Die Aktualisierungsgleichungen sind die gleichen wie für den erweiterten zeitdiskreten Kalman-Filter.
In der obigen Rekursion (EKF) wird ein erweiterter Kalman-Filter erster Ordnung verwendet. Weitere Terme aus den Erweiterungen der Taylor-Reihe können beibehalten werden, um EKFs höherer Ordnung zu erzeugen. So wurden z.B. Beschreibungen von EKFs zweiter und dritter Ordnung vorgenommen. EKFs höherer Ordnung verbessern die Leistung jedoch oft nur, wenn das Messrauschen minimal ist.
Die Annahme des additiven Prozess- und Messrauschens ist eine häufige Komponente bei der Formulierung des EKF. Für die Vollstreckung von EKF ist diese Vermutung jedoch nicht erforderlich. Denken Sie stattdessen über einen umfangreicheren Rahmen des Formulars nach:
Hier sind wk und vk die Prozess- und Beobachtungsgeräusche, von denen beide angenommen werden, dass sie keine mittleren multivariaten Gaußschen Rauschen mit der Kovarianz Qk bzw. Rk sind.
dann werden die Gleichungen für Kovarianzvorhersage und Innovation zu
wobei die Matrizen und Jacobi-Matrizen sind:
Der Mittelwert der Prozess- und Messrauschterme, von dem angenommen wird, dass er Null ist, wird verwendet, um die erwartete Zustandsschätzung und den Messrest zu bewerten. Andernfalls wird das additive Rauschen EKF verwendet, um die nicht-additive Rauschformulierung zu implementieren.
In einigen Fällen kann das Beobachtungsmodell eines nichtlinearen Systems nicht für gelöst werden, dennoch kann es mit der impliziten Funktion artikuliert werden:
Wo sind die lauten Beobachtungen?
Die folgenden Änderungen können am traditionellen erweiterten Kalman-Filter vorgenommen werden:
wo:
Hier wird die ursprüngliche Kovarianzmatrix der Beobachtung transformiert und die Innovation anders definiert.
Die Jacobi-Matrix ist wie bisher definiert, aber aus dem impliziten Beobachtungsmodell bestimmt .
Durch die wiederholte Änderung des zentralen Punktes der Taylor-Erweiterung verbessert das iterierte erweiterte Kalman-Filter die Linearisierung des erweiterten Kalman-Filters. Dies verringert den Linearisierungsfehler, erfordert aber mehr Rechenleistung.
Das Signalmodell für die Ist-Zustandsschätzung wird linearisiert, und der lineare Kalman-Filter wird dann verwendet, um die folgende Schätzung zu prognostizieren, was zum erweiterten Kalman-Filter führt. Die Lösungen der zugrundeliegenden Riccati-Gleichung sind nicht unbedingt positiv bestimmt, daher zielt dies zwar darauf ab, einen lokal optimalen Filter zu schaffen, ist aber nicht unbedingt stabil. Die fiktive algebraische Riccati-Strategie, bei der Optimalität gegen Stabilität eingetauscht wird, ist eine Methode zur Leistungssteigerung. Die erkennbare Struktur des erweiterten Kalman-Filters wird beibehalten, aber die Stabilität wird erreicht, indem eine positive definitive Lösung einer fiktiven algebraischen Riccati-Gleichung für das Verstärkungsdesign gewählt wird.
Die Verwendung der H-unendlich-Erkenntnisse aus der robusten Steuerung ist eine weitere Methode, um die Leistung erweiterter Kalman-Filter zu verbessern. Durch die Einbeziehung eines positiven bestimmten Terms in die Riccati-Gleichung werden robuste Filter hergestellt. Ein Skalar, den der Entwickler anpassen kann, um einen Kompromiss zwischen dem Leistungskriterium für den mittleren quadratischen Fehler und dem Leistungskriterium für den Spitzenfehler zu erreichen, parametrisiert den neuen Term.
Für nichtlineare Systeme mit Symmetrien ist der invariante erweiterte Kalman-Filter (IEKF) eine modifizierte Version des EKF (oder der Invarianzen). Er vereint die Vorteile der neu entwickelten symmetrieerhaltenden Filter und des EKF. Die Verstärkungsmatrix wird nicht von einem linearen Zustandsfehler aktualisiert, sondern von einem invarianten Zustandsfehler. In ähnlicher Weise verwendet das IEKF einen geometrisch angepassten Korrekturterm, der auf einem invarianten Ausgabefehler basiert, anstelle eines linearen Korrekturterms, der auf einem linearen Ausgabefehler basiert. Der entscheidende Vorteil besteht darin, dass im Gegensatz zu Gleichgewichtspunkten für die EKF die Verstärkungs- und Kovarianzgleichungen auf einem deutlich größeren Satz von Trajektorien zu konstanten Werten konvergieren, was zu einer besseren Konvergenz der Schätzung führt.
Der unparfümierte Kalman-Filter ist ein nichtlinearer Kalman-Filter, der eine Verbesserung gegenüber dem EKF (UKF) zu sein scheint. In der UKF wird die zugrunde liegende Gaußsche Verteilung durch eine deterministische Stichprobe von Punkten dargestellt, die die Wahrscheinlichkeitsdichte approximiert. Die Momente der A-posterior-Verteilung können dann aus den transformierten Stichproben abgeleitet werden, indem die nichtlineare Transformation dieser Punkte als Schätzung der A-posterior-Verteilung verwendet wird. Der Prozess wird als unparfümierte Transformation bezeichnet. Bei der Schätzung von Fehlern in beide Richtungen ist der UKF in der Regel zuverlässiger und genauer als der EKF.
"Der erweiterte Kalman-Filter (EKF), eine nichtlineare Systemschätzungstechnik, ist vielleicht die beliebteste. Aber mehr als 35 Jahre Erfahrung im Bereich der Schätzung haben gezeigt, dass es schwierig zu implementieren und schwierig zu optimieren und nur für Systeme vertrauenswürdig ist, die auf der Zeitskala der Updates nahezu linear sind. Die Verwendung von Linearisierung ist weitgehend für viele dieser Probleme verantwortlich."
Der Second Order Extended Kalman Filter (SOEKF), auch...
