Kapitel 2 : Bilineare Transformation
In der digitalen Signalverarbeitung und der zeitdiskreten Regelungstheorie wird die bilineare Transformation, die manchmal als Tustins Ansatz nach Arnold Tustin bezeichnet wird, verwendet, um zeitkontinuierliche Systemdarstellungen in zeitdiskrete Darstellungen umzuwandeln und umgekehrt.
Die bilineare Transformation ist ein spezifisches Beispiel einer konformen Abbildung, genauer gesagt einer Möbius-Transformation, die häufig zum Zwecke der Konvertierung einer gegebenen Übertragungsfunktion verwendet wird.
H.
ein
()
s.
()
"H_a"(s)" ist ein Anzeigestil.
die Beziehung zwischen einem linearen, zeitinvarianten (LTI) Filter, der im kontinuierlichen Zeitbereich arbeitet (der allgemein als analoger Filter bezeichnet wird) und einer Übertragungsfunktion
H.
d.
()
z
()
Anzeige der Funktion H_{d}(z)
im diskreten Zeitbereich eines linearen, shift-invarianten Filters (der allgemein als digitaler Filter bezeichnet wird, aber es gibt analoge Filter, die mit geschalteten Kondensatoren erstellt werden, die zeitdiskrete Filter sind). Auf der Karte stellt es Positionen dar.
j
?
Der verwendete Anzeigestil ist j-omega.
die Achse,
R.
e.
[[
s.
I]
=
0
Die Gleichung \Re} [s] = 0 wird in einem Anzeigeformat angezeigt.
In Bezug auf den Einheitskreis in der S-Ebene
|
z
|
=
1.
Der Wert der Variablen "z" ist gleich eins.
Bei der Betrachtung von der Z-Ebene aus. Zusätzliche bilineare Transformationen können verwendet werden, um den Frequenzgang jedes zeitdiskreten linearen Systems zu verzerren. Sie können beispielsweise verwendet werden, um die nichtlineare Frequenzauflösung des menschlichen Gehörs zu simulieren. Darüber hinaus können diese Transformationen im diskreten Bereich implementiert werden, indem die Einheitsverzögerungen eines Systems effektiv substituiert werden.
()
z
--
1.
()
Der Darstellungsstil wird aus der Gleichung z hoch -1 abgeleitet.
bei Verwendung von Allpass-Filtern erster Ordnung.
Die Transformation sorgt nicht nur für Stabilität, sondern bildet auch jeden einzelnen Punkt des Frequenzgangs des zeitkontinuierlichen Filters gleichzeitig ab.
H.
ein
()
j
?
ein
()
Der Ausdruck {\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})
als ein Punkt im Frequenzgang des zeitdiskreten Filters, der dem betreffenden Punkt entspricht,
H.
d.
()
e.
j
?
d.
T.
()
Der Ausdruck "H_{d}(e^{j\omega _{d}T})" sieht folgendermaßen aus:
Nichtsdestotrotz auf eine Frequenz, die etwas anders ist, wie im folgenden Abschnitt über die Frequenzverzerrung gezeigt wird. Dies bedeutet, dass es für jedes einzelne Merkmal, das im Frequenzgang des analogen Filters beobachtet wird, ein passendes Merkmal im Frequenzgang des digitalen Filters gibt, bei dem die Verstärkung und die Phasenverschiebung gleich sind. Die Frequenz des digitalen Filters kann jedoch etwas von der Frequenz des analogen Filters abweichen. Bei niedrigen Frequenzen ist die Frequenzänderung kaum wahrnehmbar, aber bei Frequenzen, die recht nahe an der Nyquist-Frequenz liegen, ist sie durchaus spürbar.
Die bilineare Transformation ist ein Padé-Approximant erster Ordnung der Funktion des natürlichen Logarithmus und erstellt eine exakte Abbildung der z-Ebene auf die s-Ebene. Diese Zuordnung wird als bilineare Transformation bezeichnet. Wenn die Laplace-Transformation auf ein zeitdiskretes Signal angewendet wird, ist das Ergebnis genau die Z-Transformation der zeitdiskreten Sequenz mit der Substitution von. Dies liegt daran, dass jedes einzelne Element der zeitdiskreten Sequenz mit einem Einheitsimpuls verbunden ist, der proportional verzögert ist.
Dabei ist die
T.
T ist der Darstellungsstil.
stellt die numerische Integrationsschrittgröße der trapezförmigen Regel dar, die bei der Formulierung der bilinearen Transformation verwendet wird; Oder anders ausgedrückt, steht für die Stichprobenperiode. Für die oben beschriebene bilineare Approximation kann eine Lösung gefunden werden.
s.
Dies ist ein Anzeigestil.
oder eine Annäherung, die für die
s.
=
()
1.
Ich/
T.
()
"LN"
?
()
z
()
Ein Darstellungsstil von s gleich (1/T)ln(z)
durchgeführt werden kann?
Die bilineare Approximation erster Ordnung dieser Abbildung sowie die Kehrung dieser Abbildung ist
In ihrer einfachsten Form macht sich die bilineare Transformation diese Näherung erster Ordnung zunutze und integriert sie in die zeitkontinuierliche Übertragungsfunktion.
H.
ein
()
s.
()
"H_a"(s)" ist ein Anzeigestil.
Das ist der Fall
Befinden sich die Pole eines zeitkontinuierlichen Kausalfilters auf der linken Hälfte der komplexen s-Ebene, dann gilt der Filter während des Prozesses als stabil. Befinden sich die Pole eines zeitdiskreten Kausalfilters innerhalb des Einheitskreises in der komplexen Z-Ebene, dann gilt der Filter als stabil. Durch die Verwendung der bilinearen Transformation wird die linke Hälfte der komplexen s-Ebene in das Innere des Einheitskreises in der z-Ebene transformiert. Es ist daher möglich, Filter, die im kontinuierlichen Zeitbereich gebaut wurden und stabil sind, in Filter umzuwandeln, die im zeitdiskreten Bereich erstellt wurden und diese Stabilität beibehalten.
In ähnlicher Weise wird ein zeitkontinuierlicher Filter als minimalphasig angesehen, wenn sich die Nullstellen seiner Übertragungsfunktion in der linken Hälfte der komplizierten zweidimensionalen Ebene befinden. Wenn sich die Nullstellen der Übertragungsfunktion eines zeitdiskreten Filters innerhalb des Einheitskreises in der komplexen Z-Ebene befinden, wird davon ausgegangen, dass der Filter die Bedingung der minimalen Phase erfüllt. Sobald dies erreicht ist, stellt dieselbe Zuordnungseigenschaft sicher, dass zeitkontinuierliche Filter, die minimalphasig sind, in zeitdiskrete Filter übersetzt werden, die die Eigenschaft der minimalen Phase beibehalten.
In einem allgemeinen LTI-System ist eine Übernahmefunktion vorhanden.
H.
ein
()
s.
()
=
b.
0
+1
b.
1.
s.
+1
b.
2.
s.
2.
+1
*
+1
b.
Q
s.
Q
ein
0
+1
ein
1.
s.
+1
ein
2.
s.
2.
+1
*
+1
ein
P
s.
P
{\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}
In der Praxis ist die Ordnung der Übertragungsfunktion N die größere von P und Q; Nichtsdestotrotz ist es wahrscheinlicher, dass Q der größere der beiden ist. Dies liegt daran, dass die Übertragungsfunktion für die Stabilität des Systems geeignet sein muss. Umsetzung der bilinearen Transformation in die Praxis
s.
=
K.
z
--
1.
z
+1
1.
(s) ist gleich K multipliziert mit dem Verhältnis von z-1 zu z+1.
da K entweder als 2/T definiert ist oder alternativ, wenn Frequenzverzerrung verwendet wird,
H.
d.
()
z
()
=
b.
0
+1
b.
1.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
b.
2.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
Q
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
Q
ein
0
+1
ein
1.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
ein
2.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
P
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
P
{\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}
Wenn Zähler und Nenner mit der größten vorhandenen Potenz von (z + 1)-1 multipliziert werden, die mit (z + 1)-N bezeichnet wird, ergibt...
