Chapitre 1 : Degrés de liberté (mécanique)
Les degrés de liberté (DOF) d'un système mécanique sont le nombre de caractéristiques indépendantes qui décrivent la configuration ou l'état du système. Ce concept trouve son origine dans le domaine de la physique. Il joue un rôle important dans l'analyse des systèmes corporels dans une variété de domaines, notamment le génie mécanique, l'ingénierie structurelle, l'ingénierie aérospatiale, la robotique et autres.
Il y a un degré de liberté dans la position d'un seul wagon (moteur) qui se déplace le long d'une voie. Cela est dû au fait que la position de la voiture est déterminée par la distance le long de la piste. Il n'y a encore qu'un seul degré de liberté disponible pour un train composé de wagons rigides qui sont attachés à une locomotive par des charnières. Cela est dû au fait que les positions des voitures derrière le moteur sont limitées par la forme de la piste.
Une automobile dont la suspension est extrêmement rigide pourrait être considérée comme un corps rigide qui se transporte sur un plan, qui est une région bidimensionnelle plate. Ce corps possède trois degrés de liberté qui sont indépendants les uns des autres. Ces degrés de liberté sont composés de deux composantes de translation et d'un angle de rotation. Les trois degrés de liberté distincts qu'une automobile possède sont mieux illustrés par l'acte de déraper ou de dériver.
Il y a six degrés de liberté pour un corps rigide car sa position et son orientation dans l'espace sont déterminées par trois composantes de translation et trois composantes de rotation. Cela détermine que le corps rigide a six degrés de liberté.
Lorsqu'il s'agit de conception mécanique, la technique de la contrainte précise est chargée de gérer les degrés de liberté de manière à ce qu'un appareil ne soit ni sous-conçu ni surdimensionné.
La position d'un corps rigide de dimension n est déterminée par la transformation rigide, notée [T] = [A, d]. Dans cette équation, d représente une translation à n dimensions, et A est une matrice de rotation n? n. La matrice A possède n degrés de liberté dans le sens de translation, et n degrés de liberté dans le sens de rotation, ce qui est égal à n(n-1)/2. C'est la dimension du groupe de rotation SO(n) qui détermine le nombre de degrés de liberté associés à la rotation.
Il est possible de considérer un corps non rigide ou flexible comme un ensemble de nombreuses particules minuscules (un nombre infini de degrés de liberté), et un système de degrés de liberté finis est fréquemment utilisé pour approximer ce concept. Il est possible de simplifier l'analyse en approximant un corps déformable comme un corps rigide (ou même une particule) dans des situations où le but principal de l'étude est d'étudier un mouvement qui implique d'énormes déplacements. Par exemple, lors de l'évaluation du mouvement des satellites, ce serait le cas.
Une façon de penser au degré de liberté d'un système est comme le strict minimum de coordonnées nécessaires pour exprimer une configuration. Par conséquent, si nous appliquons cette définition, nous avons :
Trois translations (3T) et trois rotations (3R) constituent les trois degrés de liberté (3T3R) qu'un seul corps rigide peut avoir, avec un maximum de six degrés de liberté (6 DOF).
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Le mouvement d'un navire en mer, par exemple, est caractérisé par les six degrés de liberté associés à un corps rigide et peut être énoncé comme suit :
Par exemple, la trajectoire d'un avion en vol a trois degrés de liberté, et l'attitude de l'avion le long de la trajectoire a également trois degrés de liberté, ce qui fait que le nombre total de degrés de liberté passe de trois à six.
Il est possible que le nombre de degrés de liberté qu'un seul corps rigide peut avoir soit limité par des limites physiques. À titre d'exemple, un bloc qui glisse sur une surface plane a trois degrés de liberté, deux translations et une rotation, ce qui est noté par la notation 2T1R. SCARA est un exemple de robot de positionnement XYZ qui a trois degrés de liberté et trois degrés de mouvement.
La formule de mobilité est une formule qui compte le nombre de facteurs qui caractérisent la configuration d'un ensemble de corps rigides qui sont confinés par des articulations reliant ces corps.
Prenons en considération un système composé de n corps rigides qui sont au repos dans l'espace et ont 6n degrés de liberté lorsqu'ils sont mesurés par rapport à un cadre fixe. Il est nécessaire d'inclure le corps fixe dans le décompte des corps afin de déterminer le nombre de degrés de liberté associés à ce système. Cela garantira que la mobilité n'est pas subordonnée au choix du corps qui constitue le cadre fixe. Par conséquent, le degré de liberté du système non contraint avec l'équation N = n + 1 est
principalement en raison du fait que le corps immobile possède zéro degré de liberté par rapport à eux.
Dans ce système, les articulations qui relient les corps éliminent les degrés de liberté et diminuent donc la mobilité. Pour être plus précis, les charnières et les curseurs imposent chacun cinq limites, ce qui élimine cinq degrés de liberté. Une méthode pratique pour définir le nombre de contraintes c qu'une articulation impose est de le faire en termes de liberté de l'articulation f, où c est égal à six fois f moins 6 fois f. Étant donné qu'une charnière ou un curseur, qui sont tous deux des articulations avec un degré de liberté, ont f égal à un, il s'ensuit que c est égal à six fois un, ce qui fait cinq.
La conclusion que l'on peut en tirer est que la mobilité d'un système composé de n maillons mobiles et de j articulations, dont chacun a une liberté fi, où i = 1,..., j, est spécifiée par
Vous devez garder à l'esprit que N contient le lien fixe.
Une chaîne ouverte simple et une chaîne fermée simple sont considérées comme des exemples particuliers essentiels. Tout d'abord, il y a une simple chaîne ouverte.
Il y a n maillons mobiles qui sont reliés les uns aux autres par n articulations, et l'une des extrémités de la chaîne est reliée à un maillon de terre. Il s'agit de la chaîne ouverte unique. Pour cette raison, la valeur de N est égale à j plus un, et la mobilité de la chaîne est égale à
N maillons mobiles sont assemblés bout à bout par n plus une articulations pour former une simple chaîne fermée. Cela se fait de telle manière que les deux extrémités de la chaîne sont reliées au maillon de terre, devenant ainsi une boucle. Ce cas particulier est celui dans lequel N est égal à j, et la mobilité de la chaîne est
Par exemple, un manipulateur de robot en série est un exemple de chaîne ouverte simple. En vertu du fait que ces systèmes robotiques sont construits à partir d'une série de liens reliés par six articulations révolutées ou prismatiques qui ont chacune un degré de liberté, le système possède un total de six degrés de liberté.
Par exemple, la liaison spatiale à quatre barres RSSR est une illustration d'une chaîne fermée simple. En raison du fait que le nombre total de degrés de liberté pour ces articulations est de huit, la mobilité de la liaison est de deux. L'un des degrés de liberté est la rotation du coupleur autour de la ligne qui relie les deux articulations en S.
Afin de créer ce que l'on appelle une liaison plane, il est d'usage de construire le système de liaison de telle sorte que le mouvement de tous les corps soit limité à la pose sur des plans parallèles qui sont parallèles les uns aux autres. Une liaison sphérique peut également être créée en construisant le système de liaison de telle sorte que tous les corps se déplacent sur des sphères concentriques. Cela aussi a le potentiel d'être achevé. Cela signifie que les degrés de liberté des liens dans chaque système sont maintenant de trois au lieu de six, et que les contraintes imposées par les articulations sont maintenant sous la forme de c = 3 moins f. C'est le cas dans les deux cas.
La formule de la mobilité est donnée par dans ce cas particulier.
ainsi que les circonstances exceptionnelles
La liaison planaire à quatre barres est un exemple de chaîne fermée simple et plane. Cette liaison est une boucle à quatre barres qui a quatre articulations qui ont chacune un degré de liberté, et par conséquent, elle a une mobilité M égale à 1.
Un degré de liberté combiné (DOF) serait la somme des degrés de liberté (DOF) des corps dans un système qui contient plusieurs corps, moins les limitations internes que les corps pourraient avoir sur le mouvement relatif. Le nombre de degrés de liberté qu'un seul corps rigide possède peut être dépassé par un mécanisme ou une liaison composé de plusieurs corps rigides couplés les uns aux autres. Lorsqu'on se réfère au nombre de facteurs qui sont nécessaires pour déterminer la pose spatiale d'une connexion, l'expression « degrés de liberté » est également utilisée dans ce contexte. En plus de cela, il est défini par rapport à l'espace de configuration, à l'espace de travail et à l'espace de travail d'un robot.
Dans la chaîne cinématique ouverte, un ensemble de maillons rigides sont reliés au niveau des articulations ; Un joint peut permettre un degré de liberté (charnière/glissement) ou deux degrés de...
