Capitolo 2 : Trasformata bilineare
Nell'elaborazione dei segnali digitali e nella teoria del controllo a tempo discreto, la trasformata bilineare, che a volte viene indicata come l'approccio di Tustin da Arnold Tustin, viene utilizzata per convertire le rappresentazioni dei sistemi a tempo continuo in rappresentazioni a tempo discreto e viceversa.
La trasformata bilineare è un'istanza specifica di una mappatura conforme, più specificamente una trasformazione di Mobius, che viene spesso impiegata allo scopo di convertire una data funzione di trasferimento.
H.
un
()
s.
()
"H_a"(s)" è uno stile di visualizzazione.
la relazione tra un filtro lineare invariante nel tempo (LTI) che opera nel dominio del tempo continuo (comunemente indicato come filtro analogico) e una funzione di trasferimento
H.
d.
()
z
()
Visualizzazione della funzione H_{d}(z)
nel dominio del tempo discreto di un filtro lineare invariante (che viene comunemente indicato come filtro digitale, ma esistono filtri analogici creati utilizzando condensatori commutati che sono filtri a tempo discreto). Sulla mappa, rappresenta le posizioni.
j
?
Lo stile di visualizzazione utilizzato è j-omega.
l'asse,
R.
e.
[[
s.
I]
=
0
L'equazione \Re} [s] = 0 viene visualizzata in un formato di visualizzazione.
rispetto al cerchio unitario, nel piano S
|
z
|
=
1.
Il valore della variabile "z" è uguale a uno.
Se visto dal piano Z. Ulteriori trasformate bilineari possono essere utilizzate allo scopo di deformare la risposta in frequenza di qualsiasi sistema lineare a tempo discreto. Ad esempio, possono essere utilizzati per simulare la risoluzione di frequenza non lineare del sistema uditivo umano. Inoltre, queste trasformate possono essere implementate nel dominio discreto sostituendo efficacemente i ritardi unitari di un sistema.
()
z
--
1.
()
Lo stile di visualizzazione è derivato dall'equazione z elevata alla potenza di -1.
Quando si utilizzano filtri all-pass del primo ordine.
Oltre a mantenere la stabilità, la trasformazione mappa contemporaneamente ogni singolo punto della risposta in frequenza del filtro a tempo continuo.
H.
un
()
j
?
un
()
L'espressione {\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})
come punto nella risposta in frequenza del filtro a tempo discreto che corrisponde al punto in questione,
H.
d.
()
e.
j
?
d.
T.
()
L'espressione "H_{d}(e^{j\omega _{d}T})" è simile a questa:
tuttavia, a una frequenza che è un po' diversa, come verrà dimostrato nella sezione sulla distorsione di frequenza che segue. Ciò indica che per ogni caratteristica che si osserva nella risposta in frequenza del filtro analogico, esiste una funzione di corrispondenza nella risposta in frequenza del filtro digitale in cui il guadagno e lo sfasamento sono gli stessi. Tuttavia, la frequenza del filtro digitale potrebbe essere leggermente diversa dalla frequenza del filtro analogico. Alle basse frequenze, il cambiamento di frequenza è appena percettibile, ma a frequenze abbastanza vicine alla frequenza di Nyquist, è abbastanza evidente.
Un'approssimante di Padé del primo ordine della funzione logaritmo naturale, la trasformata bilineare crea una mappatura esatta del piano z al piano s. Questa mappatura è nota come trasformata bilineare. Quando la trasformata di Laplace viene applicata a un segnale a tempo discreto, il risultato è precisamente la trasformata Z della sequenza a tempo discreto con la sostituzione di. Questo perché ogni singolo elemento della sequenza a tempo discreto è associato a un impulso unitario che è proporzionalmente ritardato.
dove si trova il
T.
T è lo stile di visualizzazione.
rappresenta la dimensione del passo di integrazione numerica della regola trapezoidale utilizzata nella formulazione della trasformata bilineare; o, per dirla in altro modo, sta per il periodo campione. Si può trovare una soluzione per l'approssimazione bilineare descritta sopra.
s.
Si tratta di uno stile di visualizzazione.
o un'approssimazione comparabile per
s.
=
()
1.
Io/
T.
()
"ln"
?
()
z
()
Uno stile di visualizzazione di s uguale a (1/T)ln(z)
in grado di essere effettuato?
L'approssimazione bilineare del primo ordine di questa mappatura, così come l'inversa di questa mappatura, è
Nella sua forma più elementare, la trasformata bilineare fa uso di questa approssimazione del primo ordine e la incorpora nella funzione di trasferimento a tempo continuo.
H.
un
()
s.
()
"H_a"(s)" è uno stile di visualizzazione.
Questo è il caso
Se i poli di un filtro causale a tempo continuo si trovano sulla metà sinistra del piano s complesso, allora il filtro è considerato stabile durante il processo. Se i poli di un filtro causale a tempo discreto si trovano all'interno del cerchio unitario nel piano z complesso, allora il filtro è considerato stabile. Attraverso l'uso della trasformata bilineare, la metà sinistra del piano s complesso viene trasformata all'interno del cerchio unitario nel piano z. È quindi possibile trasformare i filtri che sono stati costruiti nel dominio del tempo continuo e sono stabili in filtri che vengono creati nel dominio del tempo discreto e che mantengono tale stabilità.
Analogamente, un filtro a tempo continuo è considerato di minima fase se gli zeri della sua funzione di trasferimento si trovano sulla metà sinistra del complicato piano bidimensionale. Se gli zeri della funzione di trasferimento di un filtro a tempo discreto si trovano all'interno del cerchio unitario nel piano z complesso, si considera che il filtro soddisfi la condizione di fase minima. Una volta eseguita questa operazione, la stessa proprietà di mapping garantisce che i filtri a tempo continuo a fase minima vengano convertiti in filtri a tempo discreto che mantengono la proprietà di essere a fase minima.
C'è una funzione di trasferimento presente in un sistema LTI generale.
H.
un
()
s.
()
=
b.
0
+1
b.
1.
s.
+1
b.
2.
s.
2.
+1
*
+1
b.
Q
s.
Q
un
0
+1
un
1.
s.
+1
un
2.
s.
2.
+1
*
+1
un
P
s.
P
{\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}
In pratica, l'ordine della funzione di trasferimento N è il maggiore tra P e Q; tuttavia, è più probabile che Q sia il maggiore dei due. Ciò è dovuto al fatto che la funzione di trasferimento deve essere appropriata affinché il sistema sia stabile. Mettere in pratica la trasformata bilineare
s.
=
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
(s) è uguale a K moltiplicato per il rapporto tra z-1 e z+1.
dato che K è definito come 2/T o, in alternativa, se si utilizza la distorsione di frequenza, dato che
H.
d.
()
z
()
=
b.
0
+1
b.
1.
()
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
b.
2.
()
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
Q
()
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
()
Q
un
0
+1
un
1.
()
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
un
2.
()
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
P
()
Okay.
z
--
1.
z
+1
1.
()
P
{\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}
Quando il numeratore e il denominatore sono moltiplicati per la potenza massima di (z + 1)-1 che è presente, che è indicata con (z + 1)-N, il risultato...
