Chapitre 2 : Transformation bilinéaire
Dans le traitement numérique du signal et la théorie du contrôle en temps discret, la transformée bilinéaire, parfois appelée approche de Tustin d'après Arnold Tustin, est utilisée pour convertir les représentations de systèmes en temps continu en représentations en temps discret et vice versa.
La transformée bilinéaire est un exemple spécifique d'une correspondance conforme, plus précisément d'une transformation de Möbius, qui est fréquemment utilisée dans le but de convertir une fonction de transfert donnée.
H.
un
()
s.
()
« H_a"(s) » est un style d'affichage.
la relation entre un filtre linéaire invariant dans le temps (LTI) fonctionnant dans le domaine temporel continu (communément appelé filtre analogique) et une fonction de transfert
H.
d.
()
z
()
Affichage de la fonction H_{d}(z)
dans le domaine temporel discret d'un filtre linéaire invariant au décalage (communément appelé filtre numérique, mais il existe des filtres analogiques créés à l'aide de condensateurs commutés qui sont des filtres temporels discrets). Sur la carte, il représente les positions.
j
?
Le style d'affichage utilisé est j-omega.
l'axe,
R.
e.
[[
s.
I]
=
0
L'équation \Re} [s] = 0 est affichée dans un format d'affichage.
par rapport au cercle unité, dans le plan s
|
z
|
=
1.
La valeur de la variable « z » est égale à un.
lorsqu'il est vu depuis le plan z. Des transformées bilinéaires supplémentaires peuvent être utilisées dans le but de déformer la réponse en fréquence de tout système linéaire à temps discret. Par exemple, ils peuvent être utilisés pour simuler la résolution en fréquence non linéaire du système auditif humain. De plus, ces transformations peuvent être mises en ouvre dans le domaine discret en substituant efficacement les retards unitaires d'un système.
()
z
--
1.
()
Le style d'affichage est dérivé de l'équation z élevée à la puissance -1.
lors de l'utilisation de filtres passe-tout de premier ordre.
En plus de maintenir la stabilité, la transformée mappe chaque point de la réponse en fréquence du filtre à temps continu en même temps.
H.
un
()
j
?
un
()
L'expression {\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})
comme un point de la réponse en fréquence du filtre à temps discret qui correspond au point en question,
H.
d.
()
e.
j
?
d.
T.
()
L'expression « H_{d}(e^{j\omega _{d}T}) » ressemble à ceci :
néanmoins, à une fréquence quelque peu différente, comme on le verra dans la section sur la déformation de fréquence qui suit. Cela indique que pour chaque caractéristique observée dans la réponse en fréquence du filtre analogique, il existe une caractéristique correspondante dans la réponse en fréquence du filtre numérique où le gain et le déphasage sont identiques. Cependant, la fréquence du filtre numérique peut être quelque peu différente de la fréquence du filtre analogique. Aux basses fréquences, le changement de fréquence est à peine perceptible, mais à des fréquences assez proches de la fréquence de Nyquist, il est assez perceptible.
Approximation de Padé du premier ordre de la fonction du logarithme népérien, la transformée bilinéaire crée une correspondance exacte du plan z au plan s. Cette cartographie est connue sous le nom de transformée bilinéaire. Lorsque la transformée de Laplace est appliquée à un signal à temps discret, le résultat est précisément la transformée Z de la suite à temps discret avec la substitution de. En effet, chaque élément de la séquence à temps discret est associé à une impulsion unitaire qui est proportionnellement retardée.
où se trouve le
T.
T est le style d'affichage.
représente la taille du pas d'intégration numérique de la règle trapézoïdale qui est utilisée dans la formulation de la transformée bilinéaire ; Ou, en d'autres termes, représente la période d'échantillonnage. Une solution peut être trouvée pour l'approximation bilinéaire décrite ci-dessus.
s.
Il s'agit d'un style d'affichage.
ou une approximation comparable à
s.
=
()
1.
Je/
T.
()
« ln »
?
()
z
()
Un style d'affichage de s égal à (1/T)ln(z)
capable peut être réalisé ?
L'approximation bilinéaire du premier ordre de cette cartographie, ainsi que l'inverse de cette cartographie, est
Dans sa forme la plus élémentaire, la transformée bilinéaire utilise cette approximation du premier ordre et l'incorpore dans la fonction de transfert en temps continu.
H.
un
()
s.
()
« H_a"(s) » est un style d'affichage.
C'est le cas
Si les pôles d'un filtre causal en temps continu sont situés sur la moitié gauche du plan s complexe, alors le filtre est considéré comme stable pendant le processus. Si les pôles d'un filtre causal à temps discret sont situés à l'intérieur du cercle unitaire dans le plan z complexe, alors le filtre est considéré comme stable. Grâce à l'utilisation de la transformée bilinéaire, la moitié gauche du plan s complexe est transformée en intérieur du cercle unitaire dans le plan z. Il est donc possible de transformer des filtres qui ont été construits dans le domaine en temps continu et qui sont stables en filtres qui sont créés dans le domaine à temps discret et qui maintiennent cette stabilité.
Dans le même ordre d'idées, un filtre à temps continu est considéré comme à phase minimale si les zéros de sa fonction de transfert sont situés sur la moitié gauche du plan bidimensionnel compliqué. Si les zéros de la fonction de transfert d'un filtre à temps discret sont situés à l'intérieur du cercle unitaire dans le plan z complexe, alors le filtre est considéré comme répondant à la condition de phase minimale. Une fois cela accompli, la même propriété de mappage garantit que les filtres à temps continu qui sont à phase minimale sont traduits en filtres à temps discret qui conservent la propriété d'être à phase minimale.
Il existe une fonction de transfert présente dans un système LTI général.
H.
un
()
s.
()
=
b.
0
+1
b.
1.
s.
+1
b.
2.
s.
2.
+1
*
+1
b.
Q
s.
Q
un
0
+1
un
1.
s.
+1
un
2.
s.
2.
+1
*
+1
un
P
s.
P
{\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}
En pratique, l'ordre de la fonction de transfert N est le plus grand de P et Q ; néanmoins, Q est plus susceptible d'être le plus grand des deux. En effet, la fonction de transfert doit être appropriée pour que le système soit stable. Mise en pratique de la transformation bilinéaire
s.
=
K.
z
--
1.
z
+1
1.
(s) est égal à K multiplié par le rapport de z-1 à z+1.
étant donné que K est défini soit comme 2/T, soit, alternativement, si la déformation de fréquence est utilisée, étant donné que
H.
d.
()
z
()
=
b.
0
+1
b.
1.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
b.
2.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
Q
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
Q
un
0
+1
un
1.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
un
2.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
P
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
P
{\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}
Lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés par la plus grande puissance de (z + 1)-1 qui est présente, qui est notée (z + 1)-N, le résultat...
