Capítulo 2 : Transformación bilineal
En el procesamiento digital de señales y la teoría de control de tiempo discreto, la transformada bilineal, que a veces se conoce como el enfoque de Tustin después de Arnold Tustin, se utiliza para convertir representaciones de sistemas de tiempo continuo en representaciones de tiempo discreto y viceversa.
La transformada bilineal es una instancia específica de un mapeo conforme, más específicamente una transformación de Mobius, que se emplea con frecuencia con el propósito de convertir una función de transferencia dada.
H.
un
()
s.
()
"H_a"(s)" es un estilo de visualización.
la relación entre un filtro lineal invariante en el tiempo (LTI) que opera en el dominio del tiempo continuo (que comúnmente se conoce como filtro analógico) y una función de transferencia
H.
d.
()
z
()
Visualización de la función H_{d}(z)
En el dominio de tiempo discreto de un filtro lineal invariante por desplazamiento (que comúnmente se conoce como filtro digital, pero hay filtros analógicos creados con condensadores conmutados que son filtros de tiempo discreto). En el mapa, representa las posiciones.
j
?
El estilo de visualización utilizado es j-omega.
el eje,
R.
e.
[[
s.
I]
=
0
La ecuación \Re} [s] = 0 se muestra en un formato de visualización.
con respecto a la circunferencia unitaria, en el plano S
|
z
|
=
1.
El valor de la variable "z" es igual a uno.
cuando se ve desde el plano Z. Se pueden utilizar transformadas bilineales adicionales con el propósito de deformar la respuesta de frecuencia de cualquier sistema lineal de tiempo discreto. Por ejemplo, se pueden utilizar para simular la resolución de frecuencia no lineal del sistema auditivo humano. Además, estas transformaciones se pueden implementar en el dominio discreto sustituyendo efectivamente los retrasos unitarios de un sistema.
()
z
--
1.
()
El estilo de visualización se deriva de la ecuación z elevada a la potencia de -1.
cuando se utilizan filtros de paso completo de primer orden.
Además de mantener la estabilidad, la transformación mapea todos y cada uno de los puntos de la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo al mismo tiempo.
H.
un
()
j
?
un
()
La expresión {\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})
como un punto en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo discreto que corresponde al punto en cuestión,
H.
d.
()
e.
j
?
d.
T.
()
La expresión "H_{d}(e^{j\omega _{d}T})" tiene el siguiente aspecto:
sin embargo, a una frecuencia que es algo diferente, como se demostrará en la sección sobre deformación de frecuencia que sigue. Esto indica que para todas y cada una de las características que se observan en la respuesta de frecuencia del filtro analógico, hay una característica coincidente en la respuesta de frecuencia del filtro digital donde la ganancia y el cambio de fase son los mismos. Sin embargo, la frecuencia del filtro digital puede ser algo diferente de la frecuencia del filtro analógico. A bajas frecuencias, el cambio de frecuencia es apenas perceptible, pero a frecuencias que están bastante cerca de la frecuencia de Nyquist, es bastante notable.
Una aproximante de Padé de primer orden de la función logaritmo natural, la transformada bilineal crea un mapeo exacto del plano z al plano s. Esta asignación se conoce como transformación bilineal. Cuando la transformada de Laplace se aplica a una señal de tiempo discreto, el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de. Esto se debe a que todos y cada uno de los elementos de la secuencia de tiempo discreto están asociados a un impulso unitario que se retrasa proporcionalmente.
¿Dónde está el
T.
T es el estilo de visualización.
representa el tamaño del paso de integración numérica de la regla trapezoidal que se utiliza en la formulación de la transformada bilineal; O, para decirlo de otra manera, representa el período de muestra. Se puede encontrar una solución para la aproximación bilineal descrita anteriormente.
s.
Este es un estilo de visualización.
o una aproximación que sea comparable para
s.
=
()
1.
Yo/
T.
()
"ln"
?
()
z
()
Un estilo de visualización de s igual a (1/T)ln(z)
¿Se puede llevar a cabo?
La aproximación bilineal de primer orden de este mapeo, así como la inversa de este mapeo, es
En su forma más básica, la transformada bilineal hace uso de esta aproximación de primer orden y la incorpora a la función de transferencia de tiempo continuo.
H.
un
()
s.
()
"H_a"(s)" es un estilo de visualización.
Ese es el caso
Si los polos de un filtro causal de tiempo continuo están ubicados en la mitad izquierda del plano s complejo, entonces se considera que el filtro es estable durante el proceso. Si los polos de un filtro causal de tiempo discreto están ubicados dentro del círculo unitario en el plano z complejo, entonces el filtro se considera estable. Mediante el uso de la transformada bilineal, la mitad izquierda del plano s complejo se transforma en el interior del círculo unitario en el plano z. Por lo tanto, es posible transformar los filtros que se crearon en el dominio de tiempo continuo y son estables en filtros que se crean en el dominio de tiempo discreto y que mantienen esa estabilidad.
De manera similar, se considera que un filtro de tiempo continuo es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia se encuentran en la mitad izquierda del plano bidimensional complicado. Si los ceros de la función de transferencia de un filtro de tiempo discreto se encuentran dentro del círculo unitario en el plano z complejo, se considera que el filtro cumple la condición de fase mínima. Una vez logrado esto, la misma propiedad de asignación garantiza que los filtros de tiempo continuo que son de fase mínima se traduzcan en filtros de tiempo discreto que mantengan la propiedad de ser de fase mínima.
Hay una función de transferencia presente en un sistema LTI general.
H.
un
()
s.
()
=
b.
0
+1
b.
1.
s.
+1
b.
2.
s.
2.
+1
*
+1
b.
Q
s.
Q
un
0
+1
un
1.
s.
+1
un
2.
s.
2.
+1
*
+1
un
P
s.
P
{\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}
En la práctica, el orden de la función de transferencia N es el mayor de P y Q; sin embargo, es más probable que Q sea el mayor de los dos. Esto se debe a que la función de transferencia debe ser apropiada para que el sistema sea estable. Puesta en práctica de la transformada bilineal
s.
=
K.
z
--
1.
z
+1
1.
(s) es igual a K multiplicado por el cociente de z-1 a z+1.
dado que K se define como 2/T o, alternativamente, si se utiliza la deformación de frecuencia, dado que
H.
d.
()
z
()
=
b.
0
+1
b.
1.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
b.
2.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
Q
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
Q
un
0
+1
un
1.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
+1
un
2.
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
2.
+1
*
+1
b.
P
()
K.
z
--
1.
z
+1
1.
()
P
{\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}}
Cuando el numerador y el denominador se multiplican por la mayor potencia de (z + 1)-1 que esté presente, que se denota por (z + 1)-N, el resultado...
