CapÃtulo 1 : Cinemática

A cinemática é um ramo da física fundado na mecânica clássica que descreve o movimento de pontos, corpos (objetos) e sistemas de corpos (grupos de objetos) sem levar em conta as forças que os fazem se mover. Um problema de cinemática começa com a descrição da geometria do sistema e a declaração das condições iniciais para quaisquer valores conhecidos de posição, velocidade e/ou aceleração de pontos dentro do sistema. Usando argumentos de geometria, a posição, velocidade e aceleração de quaisquer componentes desconhecidos do sistema podem então ser calculadas. A cinemática não investiga como as forças operam sobre os corpos; cinética sim. Para mais informações, consultar dinâmica analítica.

Em astrofísica, a cinemática é usada para descrever o movimento de entidades celestes e grupos de tais corpos. A cinemática é utilizada em engenharia mecânica, robótica e biomecânica para descrever o movimento de sistemas multi-link, como um motor, um braço robótico ou o esqueleto humano.

As transformações geométricas, também conhecidas como transformações rígidas, são utilizadas para caracterizar o movimento dos componentes do sistema mecânico, facilitando assim a derivação das equações de movimento. Além disso, são fundamentais para a análise dinâmica.

A análise cinemática é a medição de grandezas cinemáticas usadas para descrever o movimento. Em engenharia, por exemplo, a análise cinemática pode ser usada para determinar a amplitude de movimento para um determinado mecanismo, enquanto a síntese cinemática pode ser usada para criar um mecanismo com a amplitude de movimento desejada. Além disso, a cinemática usa geometria algébrica para examinar a vantagem mecânica de um sistema ou mecanismo mecânico.

Kinematic é a tradução inglesa de A.M.

Cinématique de Ampère, O campo da cinemática de partículas estuda a trajetória das partículas. A posição de uma partícula é definida como o vetor de coordenadas desde a origem de um quadro de coordenadas até a partícula. Considere uma torre a 50 m ao sul de sua casa. Se o quadro de coordenadas estiver centralizado em sua casa, com leste ao longo do eixo x e norte ao longo do eixo y, o vetor de coordenadas para a base da torre é r = (0 m, 50 m, 0 m). Se a torre tem 50 m de altura e sua altura é medida ao longo do eixo z, então o vetor de coordenadas para o topo da torre é r = (0 m, 50 m, 50 m).

Um sistema de coordenadas tridimensional é usado para determinar a posição de uma partícula no cenário mais geral. No entanto, se a partícula estiver confinada a um plano, um sistema de coordenadas bidimensionais é adequado. Todas as observações físicas são insuficientes se não forem declaradas em relação a um quadro de referência.

O vetor de localização de uma partícula é um vetor extraído da origem do quadro de referência para a partícula.

Indica tanto a distância do ponto da origem como a sua direção para longe da origem.

Tridimensionalmente, o vetor de posição pode ser expresso como

onde , , e são as coordenadas cartesianas e , e são os vetores unitários ao longo dos eixos , , e coordenadas, respectivamente.

A magnitude do vetor de posição dá a distância entre o ponto e a origem.

A direção é quantificada pelos cossenos de direção do vetor de posição. Em geral, o vetor de posição de um item depende do quadro de referência; Quadros diferentes resultarão em diferentes valores de vetor de posição.

A trajetória da partícula é uma função vetorial do tempo, que especifica a trajetória rastreada por uma partícula em movimento, dada por

onde , , e descrever cada coordenada da posição da partícula em função do tempo.

A velocidade de uma partícula é uma grandeza vetorial que especifica a direção e a magnitude do movimento da partícula. Matematicamente, a velocidade de um ponto é a taxa de mudança de seu vetor de posição em relação ao tempo. Considere a razão criada dividindo a diferença entre duas posições de partículas pelo intervalo de tempo. Esta proporção é referida como a velocidade média ao longo desse período de tempo e é definida como

onde é a mudança no vetor de posição durante o intervalo de tempo .

No limite em que o intervalo de tempo se aproxima de zero, A velocidade média aproxima-se da velocidade instantânea, definida como a derivada de tempo do vetor de posição,

onde o ponto significa uma derivada dependente do tempo (por exemplo,

).

Assim, A velocidade de uma partícula é a taxa de mudança em sua posição ao longo do tempo.

Além disso, essa velocidade é tangente à trajetória da partícula em cada ponto ao longo de sua rota.

Um quadro de referência que não está girando, Porque as direções e magnitudes das direções coordenadas são constantes, suas derivadas são desconsideradas.

A magnitude da velocidade de um objeto é a sua velocidade. É um valor escalar:

onde é o comprimento do arco medido ao longo da trajetória da partícula.

Este comprimento de arco deve aumentar continuamente à medida que a partícula se move.

Portanto, é não-negativo, Isso implica que a velocidade também é positiva.

O vetor de velocidade pode variar em magnitude, direção ou ambos simultaneamente. Consequentemente, a aceleração é responsável tanto pela taxa de mudança na magnitude quanto na direção do vetor de velocidade. A mesma lógica usada para estabelecer a velocidade com base na posição de uma partícula também pode ser usada para calcular a aceleração com base na velocidade. A aceleração de uma partícula é o vetor definido pela taxa de variação do vetor de velocidade. A aceleração média de uma partícula durante um intervalo de tempo é definida como a razão entre a aceleração inicial da partícula e a sua aceleração final.

onde ?v é a diferença no vetor de velocidade e ?t é o intervalo de tempo.

À medida que o intervalo de tempo se aproxima de 0, a aceleração da partícula aproxima-se do limite da aceleração média, que é a derivada do tempo,

quer

Portanto, a aceleração é a primeira derivada do vetor de velocidade da partícula e a segunda derivada de seu vetor de posição. Como suas direções e magnitudes são constantes em um quadro de referência não rotativo, as derivadas das direções das coordenadas não são levadas em conta.

A magnitude da aceleração de um objeto é a magnitude do seu vetor de aceleração, denotada por |a|. É um valor escalar:

Um vetor de posição relativa é um vetor que define a posição relativa de dois pontos. É a diferença posicional entre os dois locais. A localização do ponto A em relação a outro ponto B representa apenas a diferença entre os seus lugares.

onde é a diferença entre seus componentes vetoriais de posição.

Se o ponto A tiver componentes de posição

e o ponto B tem componentes de posição

em seguida, a posição do ponto A em relação ao ponto B é a diferença entre os seus componentes:

A velocidade relativa de dois pontos é apenas a diferença em suas velocidades.

Esta é a diferença entre os seus componentes de velocidade.

Se o ponto A tem componentes de velocidade e o ponto B tem componentes de velocidade , então a velocidade do ponto A em relação ao ponto B é a diferença entre os seus componentes:

Alternativamente, este mesmo resultado pode ser obtido calculando a derivada temporal do vetor de posição relativa rB/A.

Nos casos em que a velocidade está próxima da velocidade da luz c (geralmente dentro de 95 por cento), a relatividade especial emprega outro sistema de velocidade relativa chamado rapidez, que depende da razão de v para c.

A aceleração do ponto C em relação ao ponto B é apenas a diferença entre as respetivas acelerações.

Esta é a diferença entre os seus componentes de aceleração.

Se o ponto C tiver componentes de aceleração e o ponto B tiver componentes de aceleração , então a aceleração do ponto C em relação ao ponto B é a diferença entre os seus componentes:

Alternativamente, este mesmo resultado poderia ser obtido calculando a derivada da segunda vez do vetor de posição relativa rB/A.

Supondo que os critérios básicos da posição são atendidos, e a velocidade no tempo é conhecida, A integração inicial produz a velocidade da partícula em função do tempo.

Uma segunda integração revela o seu percurso (trajetória),

É possível derivar outras relações entre deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. Uma vez que a aceleração é constante,

pode ser inserido na equação acima para produzir:

Sem dependência explícita de tempo, uma relação pode ser estabelecida entre velocidade, posição e aceleração resolvendo a aceleração média por tempo, substituindo e simplificando.

onde denota o produto ponto, o que é adequado porque os resultados são escalares e não vetores.

O produto ponto pode ser substituído pelo cosseno do ângulo a entre os vetores (ver Interpretação geométrica do produto ponto para mais detalhes) e os vetores por suas magnitudes, em tal caso:

No caso da aceleração, deve ser sempre na direção do movimento, se o movimento é positivo ou negativo, o ângulo entre os vetores (a) é 0, portanto , e

Isso pode ser simplificado usando a notação para as magnitudes dos vetores, onde pode ser qualquer caminho curvilíneo tomado como a aceleração...