CapÃtulo 1 : Cinemática
La cinemática es una rama de la física fundada en la mecánica clásica que describe el movimiento de puntos, cuerpos (objetos) y sistemas de cuerpos (grupos de objetos) sin tener en cuenta las fuerzas que hacen que se muevan. Un problema de cinemática comienza con la descripción de la geometría del sistema y la declaración de las condiciones iniciales para cualquier valor conocido de posición, velocidad y/o aceleración de puntos dentro del sistema. Usando argumentos de geometría, se puede calcular la posición, la velocidad y la aceleración de cualquier componente desconocido del sistema. La cinemática no investiga cómo operan las fuerzas en los cuerpos; Kinetics sí. Para más información, consultar dinámica analítica.
En astrofísica, la cinemática se utiliza para describir el movimiento de las entidades celestes y grupos de dichos cuerpos. La cinemática se utiliza en ingeniería mecánica, robótica y biomecánica para describir el movimiento de sistemas multienlace, como un motor, un brazo robótico o el esqueleto humano.
Las transformaciones geométricas, también conocidas como transformaciones rígidas, se utilizan para caracterizar el movimiento de los componentes del sistema mecánico, lo que facilita la derivación de las ecuaciones de movimiento. Además, son fundamentales para el análisis dinámico.
El análisis cinemático es la medición de las cantidades cinemáticas utilizadas para describir el movimiento. En ingeniería, por ejemplo, el análisis cinemático se puede utilizar para determinar el rango de movimiento de un mecanismo dado, mientras que la síntesis cinemática se puede utilizar para crear un mecanismo con el rango de movimiento deseado. Además, la cinemática utiliza la geometría algebraica para examinar la ventaja mecánica de un sistema o mecanismo mecánico.
Kinematic es la traducción al inglés de A.M.
Cinématique de Ampère, El campo de la cinemática de partículas estudia la trayectoria de las partículas. La posición de una partícula se define como el vector de coordenadas desde el origen de un marco de coordenadas hasta la partícula. Considere una torre a 50 m al sur de su casa. Si el marco de coordenadas está centrado en su casa, con el este a lo largo del eje x y el norte a lo largo del eje y, el vector de coordenadas a la base de la torre es r = (0 m, 50 m, 0 m). Si la torre tiene 50 m de altura y su altura se mide a lo largo del eje z, entonces el vector de coordenadas hasta la parte superior de la torre es r = (0 m, 50 m, 50 m).
Un sistema de coordenadas tridimensional se utiliza para determinar la posición de una partícula en el escenario más general. Sin embargo, si la partícula está confinada a un plano, un sistema de coordenadas bidimensional es adecuado. Todas las observaciones físicas son insuficientes si no se expresan en relación con un marco de referencia.
El vector de ubicación de una partícula es un vector extraído desde el origen del marco de referencia hasta la partícula.
Indica tanto la distancia del punto desde el origen como su dirección desde el origen.
Tridimensionalmente, el vector de posición se puede expresar como
donde , , y son las coordenadas cartesianas y , y son los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas , , y coordenadas, respectivamente.
La magnitud del vector de posición da la distancia entre el punto y el origen.
La dirección se cuantifica mediante los cosenos de dirección del vector de posición. En general, el vector de posición de un elemento depende del marco de referencia; Diferentes fotogramas darán como resultado diferentes valores de vector de posición.
La trayectoria de la partícula es una función vectorial del tiempo, , que especifica la trayectoria seguida por una partícula en movimiento, dada por
donde , , y describe cada coordenada de la posición de la partícula en función del tiempo.
La velocidad de una partícula es una cantidad vectorial que especifica tanto la dirección como la magnitud del movimiento de la partícula. Matemáticamente, la velocidad de un punto es la tasa de cambio de su vector de posición con respecto al tiempo. Considere la relación creada dividiendo la diferencia entre dos posiciones de partículas por el intervalo de tiempo. Esta proporción se conoce como la velocidad promedio a lo largo de ese lapso de tiempo y se define como:
donde es el cambio en el vector de posición durante el intervalo de tiempo .
En el límite de que el intervalo de tiempo tiende a cero, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea, definida como la derivada de tiempo del vector de posición,
donde el punto significa una derivada dependiente del tiempo (p. ej.
).
Por lo tanto, la velocidad de una partícula es la tasa de cambio en su posición a lo largo del tiempo.
Además, esta velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto a lo largo de su ruta.
Un sistema de referencia que no está girando, debido a que las direcciones y magnitudes de las direcciones de coordenadas son constantes, sus derivadas no se tienen en cuenta.
La magnitud de la velocidad de un objeto es su velocidad. Es un valor escalar:
donde es la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria de la partícula.
Esta longitud de arco debe aumentar continuamente a medida que la partícula se mueve.
Por lo tanto, no es negativo, esto implica que la velocidad también es positiva.
El vector de velocidad puede variar en magnitud, dirección o ambas simultáneamente. En consecuencia, la aceleración tiene en cuenta tanto la tasa de cambio en magnitud como la dirección del vector de velocidad. La misma lógica utilizada para establecer la velocidad en función de la posición de una partícula también se puede utilizar para calcular la aceleración en función de la velocidad. La aceleración de una partícula es el vector definido por la tasa de cambio del vector de velocidad. La aceleración media de una partícula en un intervalo de tiempo se define como la relación entre la aceleración inicial de la partícula y su aceleración final.
donde ?v es la diferencia en el vector de velocidad y ?t es el intervalo de tiempo.
A medida que el intervalo de tiempo se acerca a 0, la aceleración de la partícula se acerca al límite de la aceleración media, que es la derivada del tiempo,
o
Por lo tanto, la aceleración es la primera derivada del vector de velocidad de la partícula y la segunda derivada de su vector de posición. Como sus direcciones y magnitudes son constantes en un sistema de referencia no giratorio, no se tienen en cuenta las derivadas de las direcciones de coordenadas.
La magnitud de la aceleración de un objeto es la magnitud de su vector de aceleración, denotado por |a|. Es un valor escalar:
Un vector de posición relativa es un vector que define la posición relativa de dos puntos. Es la diferencia de posición entre las dos ubicaciones. La ubicación del punto A con respecto a otro punto B solo representa la diferencia entre sus lugares.
donde es la diferencia entre sus componentes vectoriales de posición.
Si el punto A tiene componentes de posición
y el punto B tiene componentes de posición
entonces la posición del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes:
La velocidad relativa de dos puntos no es más que la diferencia de sus velocidades.
Esta es la diferencia entre sus componentes de velocidad.
Si el punto A tiene componentes de velocidad y el punto B tiene componentes de velocidad , entonces la velocidad del punto A en relación con el punto B es la diferencia entre sus componentes:
Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la derivada temporal del vector de posición relativa rB/A.
En los casos en que la velocidad está cerca de la velocidad de la luz c (generalmente dentro del 95 por ciento), la relatividad especial emplea otro sistema de velocidad relativa llamado rapidez, que depende de la relación de v a c.
La aceleración del punto C en relación con el punto B es simplemente la diferencia entre sus respectivas aceleraciones.
Esta es la diferencia entre sus componentes de aceleración.
Si el punto C tiene componentes de aceleración y el punto B tiene componentes de aceleración , entonces la aceleración del punto C en relación con el punto B es la diferencia entre sus componentes:
Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la segunda derivada temporal del vector de posición relativa rB/A.
Suponiendo que se cumplan los criterios básicos de la posición, y que se conozca la velocidad en el tiempo , La integración inicial produce la velocidad de la partícula en función del tiempo.
Una segunda integración revela su curso (trayectoria),
Es posible derivar otras relaciones entre el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo. Dado que la aceleración es constante,
se puede insertar en la ecuación anterior para obtener:
Sin una dependencia explícita del tiempo, se puede establecer una relación entre la velocidad, la posición y la aceleración resolviendo la aceleración media del tiempo, sustituyendo y simplificando.
donde denota el producto escalar, lo cual es adecuado porque los resultados son escalares y no vectores.
El producto escalar puede ser reemplazado por el coseno del ángulo a entre los vectores (ver Interpretación geométrica del producto escalar para más detalles) y...
