Chapitre 1 : Cinématique
La cinématique est une branche de la physique fondée sur la mécanique classique qui décrit le mouvement des points, des corps (objets) et des systèmes de corps (groupes d'objets) sans tenir compte des forces qui les font se déplacer. Un problème de cinématique commence par la description de la géométrie du système et la déclaration des conditions initiales pour toutes les valeurs connues de position, de vitesse et/ou d'accélération des points à l'intérieur du système. À l'aide d'arguments géométriques, la position, la vitesse et l'accélération de tous les composants inconnus du système peuvent ensuite être calculées. La cinématique n'étudie pas comment les forces agissent sur les corps ; Cinétique, si. Pour plus d'informations, consultez Dynamique analytique.
En astrophysique, la cinématique est utilisée pour décrire le mouvement des entités célestes et des groupes de ces corps. La cinématique est utilisée en génie mécanique, en robotique et en biomécanique pour décrire le mouvement de systèmes à plusieurs liaisons, tels qu'un moteur, un bras robotique ou le squelette humain.
Les transformations géométriques, également appelées transformations rigides, sont utilisées pour caractériser le mouvement des composants du système mécanique, facilitant ainsi la dérivation des équations du mouvement. De plus, ils sont fondamentaux pour l'analyse dynamique.
L'analyse cinématique est la mesure des grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mouvement. En ingénierie, par exemple, l'analyse cinématique peut être utilisée pour déterminer l'amplitude de mouvement d'un mécanisme donné, tandis que la synthèse cinématique peut être utilisée pour créer un mécanisme avec l'amplitude de mouvement souhaitée. De plus, la cinématique utilise la géométrie algébrique pour examiner l'avantage mécanique d'un système ou d'un mécanisme mécanique.
Kinematic est la traduction anglaise de A.M.
La cinématique d'Ampère, Le domaine de la cinématique des particules étudie la trajectoire des particules. La position d'une particule est définie comme le vecteur de coordonnées de l'origine d'un repère de coordonnées à la particule. Prenons l'exemple d'une tour à 50 m au sud de votre maison. Si le repère est centré sur votre maison, avec l'est le long de l'axe des x et le nord le long de l'axe des y, le vecteur de coordonnées à la base de la tour est r = (0 m, 50 m, 0 m). Si la tour mesure 50 m de haut et que sa hauteur est mesurée le long de l'axe z, alors le vecteur des coordonnées au sommet de la tour est r = (0 m, 50 m, 50 m).
Un système de coordonnées tridimensionnel est utilisé pour déterminer la position d'une particule dans le scénario le plus général. Cependant, si la particule est confinée à un plan, un système de coordonnées bidimensionnel est adéquat. Toutes les observations de physique sont insuffisantes si elles ne sont pas énoncées par rapport à un cadre de référence.
Le vecteur de localisation d'une particule est un vecteur tiré de l'origine du référentiel à la particule.
Il indique à la fois la distance du point par rapport à l'origine et sa direction par rapport à l'origine.
En trois dimensions, le vecteur position peut être exprimé comme suit :
où , et sont les coordonnées cartésiennes et , et sont les vecteurs unitaires le long des axes , et des coordonnées, respectivement.
L'intensité du vecteur position donne la distance entre le point et l'origine.
La direction est quantifiée par les cosinus de direction du vecteur position. En général, le vecteur position d'un élément dépend du cadre de référence ; Des images différentes entraîneront des valeurs de vecteur de position différentes.
La trajectoire des particules est une fonction vectorielle du temps, , qui spécifie la trajectoire suivie par une particule en mouvement, donnée par
où , , et décrivez chaque coordonnée de la position de la particule en fonction du temps.
La vitesse d'une particule est une grandeur vectorielle qui spécifie à la fois la direction et l'amplitude du mouvement de la particule. Mathématiquement, le vecteur vitesse d'un point est le taux de variation de son vecteur position par rapport au temps. Considérons le rapport créé en divisant la différence entre deux positions de particules par l'intervalle de temps. Cette proportion est appelée vitesse moyenne tout au long de cette période de temps et est définie comme
où est la variation du vecteur position au cours de l'intervalle de temps .
Dans la limite où l'intervalle de temps tend vers zéro, la vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée, définie comme la dérivée temporelle du vecteur position,
où le point signifie une dérivée dépendante du temps (p. ex.
).
Ainsi, la vitesse d'une particule est le taux de variation de sa position au cours du temps.
De plus, cette vitesse est tangente à la trajectoire de la particule en chaque point de son parcours.
Un repère de référence qui n'est pas en rotation, Comme les directions et les amplitudes des directions de coordonnées sont constantes, leurs dérivées ne sont pas prises en compte.
L'amplitude de la vitesse d'un objet est sa vitesse. Il s'agit d'une valeur scalaire :
où est la longueur de l'arc mesurée le long de la trajectoire de la particule.
Cette longueur d'arc doit augmenter continuellement à mesure que la particule se déplace.
Par conséquent, n'est pas négatif, cela implique que la vitesse est également positive.
Le vecteur vitesse peut varier en termes d'amplité, de direction ou les deux simultanément. Par conséquent, l'accélération tient compte à la fois du taux de variation de l'amplitude et de la direction du vecteur vitesse. La même logique utilisée pour établir le vecteur vitesse en fonction de la position d'une particule peut également être utilisée pour calculer l'accélération en fonction du vecteur vitesse. L'accélération d'une particule est le vecteur défini par le taux de variation du vecteur vitesse. L'accélération moyenne d'une particule sur un intervalle de temps est définie comme le rapport entre l'accélération initiale de la particule et son accélération finale.
où ?v est la différence du vecteur vitesse et ?t est l'intervalle de temps.
Lorsque l'intervalle de temps tend vers 0, l'accélération de la particule tend vers la limite de l'accélération moyenne, qui est la dérivée temporelle,
ou
Par conséquent, l'accélération est la dérivée première du vecteur vitesse de la particule et la dérivée seconde de son vecteur position. Comme leurs directions et amplitudes sont constantes dans un référentiel non rotatif, les dérivées des directions de coordonnées ne sont pas prises en compte.
L'intensité de l'accélération d'un objet est l'intensité de son vecteur d'accélération, notée |a|. Il s'agit d'une valeur scalaire :
Un vecteur de position relative est un vecteur qui définit la position relative de deux points. Il s'agit de la différence de position entre les deux emplacements. L'emplacement du point A par rapport à un autre point B représente simplement la différence entre leurs places.
où est la différence entre leurs composantes du vecteur de position.
Si le point A a des composantes de position
et le point B a des composantes de position
alors la position du point A par rapport au point B est la différence entre leurs composantes :
Le vecteur vitesse relatif de deux points n'est que la différence de leurs vitesses.
Il s'agit de la différence entre leurs composantes de vitesse.
Si le point A a des composantes de vitesse et le point B a des composantes de vitesse , alors le vecteur vitesse du point A par rapport au point B est la différence entre leurs composantes :
Alternativement, ce même résultat pourrait être obtenu en calculant la dérivée temporelle du vecteur de position relatif rB/A.
Dans les cas où la vitesse est proche de la vitesse de la lumière c (généralement à 95 % près), la relativité restreinte utilise un autre système de vitesse relative appelé rapidité, qui dépend du rapport de v à c.
L'accélération du point C par rapport au point B n'est que la différence entre leurs accélérations respectives.
C'est la différence entre leurs composantes d'accélération.
Si le point C a des composantes d'accélération et que le point B a des composantes d'accélération , alors l'accélération du point C par rapport au point B est la différence entre leurs composantes :
Alternativement, ce même résultat pourrait être obtenu en calculant la dérivée temporelle seconde du vecteur de position relatif rB/A.
En supposant que les critères de base de la position sont remplis, et que la vitesse au moment est connue, l'intégration initiale produit la vitesse de la particule en fonction du temps.
Une seconde intégration révèle son parcours (trajectoire),
Il est possible de dériver d'autres relations entre le déplacement, la vitesse, l'accélération et le temps. Puisque l'accélération est constante,
peut être inséré dans l'équation ci-dessus pour donner :
Sans dépendance temporelle explicite, une relation peut être établie entre la vitesse, la position et l'accélération en résolvant l'accélération moyenne en fonction du temps, en substituant et en simplifiant.
où désigne le produit scalaire, qui est correct...
