Capitolo 1 : Cinematica
La cinematica è una branca della fisica fondata sulla meccanica classica che descrive il movimento di punti, corpi (oggetti) e sistemi di corpi (gruppi di oggetti) senza tenere conto delle forze che li fanno muovere. Un problema cinematico inizia con la descrizione della geometria del sistema e la dichiarazione delle condizioni iniziali per qualsiasi valore noto di posizione, velocità e/o accelerazione di punti all'interno del sistema. Utilizzando gli argomenti della geometria, è possibile calcolare la posizione, la velocità e l'accelerazione di qualsiasi componente del sistema sconosciuto. La cinematica non indaga su come le forze operano sui corpi; cinetica fa. Per ulteriori informazioni, consultare la dinamica analitica.
In astrofisica, la cinematica è usata per descrivere il moto delle entità celesti e dei gruppi di tali corpi. La cinematica è utilizzata in ingegneria meccanica, robotica e biomeccanica per descrivere il movimento di sistemi multi-link, come un motore, un braccio robotico o lo scheletro umano.
Le trasformazioni geometriche, note anche come trasformazioni rigide, sono utilizzate per caratterizzare il moto dei componenti di un sistema meccanico, facilitando così la derivazione delle equazioni del moto. Inoltre, sono fondamentali per l'analisi dinamica.
L'analisi cinematica è la misura delle grandezze cinematiche utilizzata per descrivere il movimento. In ingegneria, ad esempio, l'analisi cinematica può essere utilizzata per determinare l'intervallo di movimento per un determinato meccanismo, mentre la sintesi cinematica può essere utilizzata per creare un meccanismo con l'intervallo di movimento desiderato. Inoltre, la cinematica utilizza la geometria algebrica per esaminare il vantaggio meccanico di un sistema o meccanismo meccanico.
Kinematic è la traduzione inglese di A.M.
Ampère's cinématique, Il campo della cinematica delle particelle studia la traiettoria delle particelle. La posizione di una particella è definita come il vettore di coordinate dall'origine di un sistema di coordinate alla particella. Prendi in considerazione una torre a 50 m a sud della tua casa. Se il sistema di coordinate è centrato nella tua casa, con est lungo l'asse x e nord lungo l'asse y, il vettore di coordinate alla base della torre è r = (0 m, 50 m, 0 m). Se la torre è alta 50 m e la sua altezza è misurata lungo l'asse z, allora il vettore delle coordinate alla cima della torre è r = (0 m, 50 m, 50 m).
Un sistema di coordinate tridimensionale viene utilizzato per determinare la posizione di una particella nello scenario più generale. Se la particella è confinata su un piano, tuttavia, un sistema di coordinate bidimensionale è adeguato. Tutte le osservazioni fisiche sono insufficienti se non sono dichiarate in relazione a un sistema di riferimento.
Il vettore di posizione di una particella è un vettore disegnato dall'origine del sistema di riferimento alla particella.
Indica sia la distanza del punto dall'origine che la sua direzione dall'origine.
Tridimensionalmente, il vettore di posizione può essere espresso come
dove , , e sono le coordinate cartesiane e , e sono i vettori unitari lungo gli assi , , e coordinate, rispettivamente.
L'ampiezza del vettore di posizione fornisce la distanza tra il punto e l'origine.
La direzione è quantificata dai coseni di direzione del vettore di posizione. In generale, il vettore di posizione di un elemento dipende dal sistema di riferimento; Fotogrammi diversi risulteranno in valori vettoriali di posizione diversi.
La traiettoria delle particelle è una funzione vettoriale del tempo, , che specifica la traiettoria tracciata da una particella in movimento, data da
dove , , e descrivono ogni coordinata della posizione della particella in funzione del tempo.
La velocità di una particella è una grandezza vettoriale che specifica sia la direzione che l'ampiezza del moto della particella. Matematicamente, la velocità di un punto è la velocità di variazione del suo vettore di posizione rispetto al tempo. Considera il rapporto creato dividendo la differenza tra due posizioni delle particelle per l'intervallo di tempo. Questa proporzione è indicata come la velocità media in quell'arco di tempo ed è definita come
dove è la variazione del vettore di posizione durante l'intervallo di tempo .
Nel limite in cui l'intervallo di tempo si avvicina allo zero, la velocità media si avvicina alla velocità istantanea, definita come la derivata temporale del vettore di posizione,
dove il punto indica una derivata dipendente dal tempo (ad es.
).
Quindi, la velocità di una particella è la velocità di variazione della sua posizione nel tempo.
Inoltre, questa velocità è tangente alla traiettoria della particella in ogni punto lungo il suo percorso.
Un sistema di riferimento che non ruota, poiché le direzioni e le grandezze delle direzioni delle coordinate sono costanti, le loro derivate vengono ignorate.
L'entità della velocità di un oggetto è la sua velocità. Si tratta di un valore scalare:
dove è la lunghezza dell'arco misurata lungo la traiettoria della particella.
Questa lunghezza d'arco deve aumentare continuamente man mano che la particella si muove.
Quindi, non è negativo, Ciò implica che anche la velocità è positiva.
Il vettore velocità può variare in grandezza, direzione o entrambe contemporaneamente. Di conseguenza, l'accelerazione tiene conto sia del tasso di variazione della grandezza che della direzione del vettore velocità. La stessa logica utilizzata per stabilire la velocità in base alla posizione di una particella può essere utilizzata anche per calcolare l'accelerazione in base alla velocità. L'accelerazione di una particella è il vettore definito dalla velocità di variazione del vettore velocità. L'accelerazione media di una particella in un intervallo di tempo è definita come il rapporto tra l'accelerazione iniziale della particella e la sua accelerazione finale.
dove ?v è la differenza nel vettore velocità e ?t è l'intervallo di tempo.
Quando l'intervallo di tempo si avvicina a 0, l'accelerazione della particella si avvicina al limite dell'accelerazione media, che è la derivata del tempo,
o
Pertanto, l'accelerazione è la derivata prima del vettore velocità della particella e la derivata seconda del suo vettore posizione. Poiché le loro direzioni e grandezze sono costanti in un sistema di riferimento non rotante, le derivate delle direzioni delle coordinate non vengono prese in considerazione.
L'entità dell'accelerazione di un oggetto è l'entità del suo vettore di accelerazione, indicato con |a|. Si tratta di un valore scalare:
Un vettore di posizione relativa è un vettore che definisce la posizione relativa di due punti. È la differenza di posizione tra le due posizioni. La posizione del punto A rispetto a un altro punto B rappresenta solo la differenza tra i loro luoghi.
dove è la differenza tra le loro componenti vettoriali di posizione.
Se il punto A ha componenti di posizione
e il punto B ha componenti di posizione
allora la posizione del punto A rispetto al punto B è la differenza tra le loro componenti:
La velocità relativa di due punti è solo la differenza nelle loro velocità.
Questa è la differenza tra le loro componenti di velocità.
Se il punto A ha componenti di velocità e il punto B ha componenti di velocità , allora la velocità del punto A rispetto al punto B è la differenza tra le loro componenti:
In alternativa, lo stesso risultato potrebbe essere ottenuto calcolando la derivata temporale del vettore di posizione relativa rB/A.
Nei casi in cui la velocità è vicina alla velocità della luce c (di solito entro il 95 per cento), la relatività ristretta impiega un altro sistema di velocità relativa chiamato rapidità, che dipende dal rapporto tra v e c.
L'accelerazione del punto C rispetto al punto B è solo la differenza tra le rispettive accelerazioni.
Questa è la differenza tra i loro componenti di accelerazione.
Se il punto C ha componenti di accelerazione e il punto B ha componenti di accelerazione , allora l'accelerazione del punto C rispetto al punto B è la differenza tra le loro componenti:
In alternativa, questo stesso risultato potrebbe essere ottenuto calcolando la derivata della seconda volta del vettore di posizione relativa rB/A.
Supponendo che i criteri di base della posizione siano soddisfatti, , e che la velocità al tempo sia nota, l'integrazione iniziale produce la velocità della particella in funzione del tempo.
Una seconda integrazione rivela il suo corso (traiettoria),
È possibile derivare ulteriori relazioni tra spostamento, velocità, accelerazione e tempo. Poiché l'accelerazione è costante,
può essere inserito nell'equazione precedente per ottenere:
Senza un'esplicita dipendenza dal tempo, è possibile stabilire una relazione tra velocità, posizione e accelerazione risolvendo l'accelerazione media per il tempo, sostituendo e semplificando.
dove denota il prodotto scalare , che è corretto perché i risultati sono scalari e non vettori.
Il prodotto scalare può essere sostituito dal coseno dell'angolo a tra i vettori (vedi Interpretazione geometrica del prodotto scalare per maggiori dettagli) e i vettori dalle loro grandezze, in tal caso:
Nel caso dell'accelerazione, deve essere sempre nella direzione del moto, sia che il moto sia positivo o negativo, l'angolo tra i vettori (a) è...
