Kapitel 2 :Prägnantes Spiel
Ein Spiel, das in einer Größe dargestellt werden kann, die deutlich kleiner ist als seine Standarddarstellung, wird im Bereich der algorithmischen Spieltheorie als prägnantes Spiel oder als ein Spiel bezeichnet, das sehr prägnant beschrieben werden kann. Um ein Spiel zu beschreiben, an dem LaTeX0-Spieler beteiligt sind, von denen jeder mit LaTeX1-Strategien konfrontiert ist, ist es notwendig, LaTeX2-Nutzenwerte anzugeben. Dies liegt daran, dass es keine Einschränkungen für die Dienstprogramme der Spieler gibt. Selbst die einfachsten Algorithmen sind in der Lage, ein Nash-Gleichgewicht in einem Zeitpolynom zu lokalisieren, das genau die gleiche Länge hat wie die Eingabe, die betrachtet wird. In einem Spiel, das durch eine Zeichenkette der Länge n dargestellt wird, ist ein prägnantes Spiel polynomial, wenn sowohl die Anzahl der Spieler als auch die Anzahl der von jedem Spieler angewandten Strategien durch ein Polynom in n begrenzt sind. Eine formale Definition von prägnanten Spielen, die sie als Rechenproblem beschreibt, liefern Papadimitriou und Roughgarden (2008).
Spiele, die als grafische Spiele gelten, sind solche, bei denen der Nutzen jedes Spielers von den Aktionen einer kleinen Anzahl anderer Spieler abhängt. Wenn LaTeX3 die höchste Anzahl von Spielern ist, durch deren Aktionen ein einzelner Spieler beeinflusst wird (d.h. es ist der Indegree des Spieldiagramms), dann ist die Anzahl der Nutzenwerte, die zur Beschreibung des Spiels erforderlich sind, LaTeX4, was für ein kleines LaTeX5 im Vergleich zum vorherigen Wert eine signifikante Steigerung darstellt.
Ein grafisches Spiel, bei dem alle Grade durch drei begrenzt sind und mit zwei Strategien für jeden Spieler hat sich als auf jedes normale Formspiel reduzierbar erwiesen. Dies wurde in mehreren Experimenten gezeigt. Grafische Spiele haben, im Gegensatz zu normalen Spielen, eine NP-vollständige Herausforderung, wenn es darum geht, ein reines Nash-Gleichgewicht zu erkennen, vorausgesetzt, dass so etwas jemals existiert. Die Herausforderung, ein Nash-Gleichgewicht in einem grafischen Spiel zu finden, das gemischt sein kann oder auch nicht, fällt unter die Kategorie PPAD-vollständig. Wenn es sich um einen Graphen mit einer begrenzten Baumbreite handelt, ist es möglich, ein optimales korreliertes Gleichgewicht in polynomialer Zeit zu finden. Dies gilt auch, wenn es darum geht, ein korreliertes Gleichgewicht eines grafischen Spiels zu finden.
Ein Spiel wird als spärlich bezeichnet, wenn die Mehrheit seiner Dienstprogramme gleich Null ist. Es ist möglich, dass Grafikspiele eine Untergruppe der Kategorie sind, die als spärliche Spiele bekannt ist.
Es ist möglich, ein Spiel mit geringer Dichte als ein Spiel zu definieren, in dem jede Zeile und Spalte der beiden Belohnungsmatrizen (Nutzenmatrizen) höchstens eine konstante Anzahl von Einträgen hat, die nicht Null sind. Diese Definition gilt für ein Spiel, an dem zwei Spieler beteiligt sind. Die Entdeckung eines Nash-Gleichgewichts in einem so dünnbesetzten Spiel hat sich als PPAD-schwierig erwiesen, und es wurde auch gezeigt, dass es keine vollständig polynomiale Zeitapproximationsstrategie gibt, es sei denn, PPAD enthält das Element P.
Wenn es darum geht, die Nützlichkeit einer Kombination von Taktiken zu beurteilen, kommt es nur auf die Anzahl der LaTeX6-Spieler an, die jede der LaTeX7-Strategien anwenden. Das liegt daran, dass in symmetrischen Spielen alle Spieler gleich sind. Um ein solches Spiel zu beschreiben, ist es daher notwendig, nur LaTeX8-Utility-Werte anzugeben.
In einem symmetrischen Spiel mit zwei Strategien gibt es immer ein reines Nash-Gleichgewicht; Es besteht jedoch die Möglichkeit, dass ein symmetrisches reines Nash-Gleichgewicht unter keinen Umständen existiert. Das Problem, in einem symmetrischen Spiel (mit vielleicht mehr als zwei Spielern) mit einer konstanten Anzahl von Aktionen ein reines Nash-Gleichgewicht zu finden, liegt in AC0. Wenn jedoch die Anzahl der Aktionen mit der Anzahl der Spieler wächst (auch linear), kann das Problem nicht gelöst werden, da es NP-vollständig ist. Die Existenz eines symmetrischen Gleichgewichts ist ein Merkmal jedes symmetrischen Spiels. Bei einem symmetrischen Spiel mit n Spielern und k Strategien ist es möglich, ein symmetrisches Gleichgewicht in polynomialer Zeit zu finden, wenn der Wert von k gleich dem Logarithmus des Logarithmus von logLaTeX9 ist. Der Prozess der Lokalisierung eines korrelierten Gleichgewichts in symmetrischen Spielen kann in einer Zeit durchgeführt werden, die polynomial ist.
In anonymen Spielen haben die Spieler unterschiedliche Dienstprogramme, aber sie unterscheiden nicht zwischen anderen Spielern. Wenn man sich zum Beispiel zwischen "ins Kino gehen" und "in die Bar gehen" entscheiden muss, während man nur daran denkt, wie voll jeder Ort sein wird, und nicht, wen man dort treffen wird, ist das ein Beispiel für eine Situation, in der Menschen anonyme Spiele spielen. Es gibt eine Anforderung für LaTeX10-Nutzenwerte, da in dieser Art von Spiel der Nutzen eines Spielers nicht nur von seiner eigenen Strategie abhängt, sondern auch von der Anzahl seiner Kollegen, die diesen Ansatz wählen.
Wenn die Anzahl der Aktionen proportional zur Anzahl der Spieler steigt, dann ist es extrem schwierig, in einem Spiel, das anonym gespielt wird, ein reines Nash-Gleichgewicht zu erreichen. Es ist möglich, ein optimales korreliertes Gleichgewicht eines anonymen Spiels in einer Zeitbeschränkung zu finden, die polynomial ist. Es gibt ein bekanntes PTAS, das verwendet werden kann, um ein e-approximatives Nash-Gleichgewicht zu lokalisieren, wenn die Anzahl der zu berücksichtigenden Techniken zwei beträgt.
Für den Fall, dass das Strategieprofil (B,R,l) ausgewählt wurde, wäre der Nutzen von Spieler I 9+8=17, der Nutzen von Spieler II wäre 1+2=3 und der Nutzen von Spieler III wäre 6+4=10.
Eine Nutzenmatrix ist eine Matrix, die eine Komponente des Nutzens von Spieler i in einem Polymatrix-Spiel darstellt, das auch als Multimatrix-Spiel bezeichnet wird. Diese Matrix ist für jedes Spielerpaar (i,j) im Spiel vorhanden. Der ultimative Nutzen von Player i entspricht der Summe all dieser Komponenten. Um ein solches Spiel genau abzubilden, ist die Anzahl der Hilfswerte, die benötigt werden, LaTeX11.
Das Vorhandensein von mindestens einem gemischten Nash-Gleichgewicht ist in Polymatrixproblemen garantiert. Ein Nash-Gleichgewicht in einem Polymatrix-Spiel zu finden, ist ein Problem, das PPAD-vollständig ist und für das es keine einfache Lösung gibt. Darüber hinaus ist das Problem, ein konstantes approximatives Nash-Gleichgewicht in einem Polymatrix-Spiel zu lokalisieren, PPAD-vollständig. Das ist ein Problem, das anders nicht gelöst werden kann. Der Prozess der Lokalisierung eines korrelierten Gleichgewichts in einem Polymatrixspiel kann in einer Zeit durchgeführt werden, die polynomial ist. Es ist wichtig zu bedenken, dass, selbst wenn paarweise Spiele zwischen Spielern gespielt werden, die reine Nash-Gleichgewichte haben, die globale Interaktion nicht unbedingt ein reines Nash-Gleichgewicht zulässt (obwohl ein gemischtes Nash-Gleichgewicht existieren muss). Das Problem, bei dem festgestellt werden muss, ob ein reines Nash-Gleichgewicht existiert oder nicht, ist hochgradig NP-vollständig.
Eine Verallgemeinerung von Nullsummenspielen für zwei Spieler ist die Kategorie der kompetitiven Polymatrix-Spiele, bei denen es sich nur um Interaktionen zwischen Spielern handelt, die von Nullsummencharakter sind. Das Minimax-Theorem, das ursprünglich von Neumann aus der Perspektive von Zwei-Spieler-Spielen entwickelt wurde, lässt sich auf Nullsummen-Polymatrix-Spiele verallgemeinern.
Auf die gleiche Weise, wie Nullsummenspiele für zwei Spieler gemischte Nash-Gleichgewichte haben, haben Polymatrix-Nullsummenspiele gemischte Nash-Gleichgewichte, die in polynomialer Zeit berechnet werden können, und diese Gleichgewichte entsprechen korrelierten Gleichgewichten. Wenn es um Nullsummenspiele für zwei Spieler geht, gibt es jedoch einige Aspekte, die sich nicht verallgemeinern lassen. Es ist wichtig zu beachten, dass die Spieler keinen einzigartigen Wert des Spiels haben müssen, und Gleichgewichtstaktiken sind keine Max-Min-Strategien in dem Sinne, dass sie die Worst-Case-Auszahlungen der Spieler nicht maximieren, während sie eine Gleichgewichtsstrategie anwenden. Die Simulation von kompetitiven Polymatrix-Spielen kann mit Hilfe eines Open-Source-Python-Pakets durchgeführt werden.
Ein potenzieller Funktionsansatz kann verwendet werden, um potenzielle Spiele zu lösen, bei denen es sich um Polymatrix-Spiele handelt, die Koordinationsspiele an ihren Rändern haben. Diese Spiele sind per Definition potenzielle Spiele.
Ich, der Spieler, bin derjenige, der X ? (Y ? Z) hat.
Spieler 2: Spieler X ? Y ? Z
Spieler III: X ist eine Teilmenge von Y
Die folgende Nutzentabelle wird durch diese beschrieben.
Eine polynomial-zeitlich begrenzte Turing-Maschine, die die Aktionen aller Spieler als Eingabe akzeptiert und den Nutzen des Spielers ausgibt, ist die Art und Weise, in der ein prägnantes Spiel auf die flexibelste Weise dargestellt werden kann. Das liegt daran, dass die Turing-Maschine die Aktivitäten aller Spieler berücksichtigt. Die Darstellung einer solchen Turing-Maschine, die als Schaltkreisspiele bezeichnet wird, entspricht einer Booleschen Schaltung, und es ist diese...
