Kapitel 4 : Stabilität von Lyapunov
Bei der Diskussion der Lösungen von Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen, die dynamische Systeme beschreiben, ist es möglich, eine Vielzahl verschiedener Ansätze zur Stabilität zu untersuchen. Was die Stabilität von Lösungen betrifft, die nahe an einem Gleichgewichtspunkt liegen, ist der wichtigste Typ derjenige, der im Folgenden diskutiert wird. Die Theorie von Alexander Ljapunow könnte hier etwas Licht ins Dunkel bringen. Anders ausgedrückt: Wenn die Lösungen, die nahe einem Gleichgewichtspunkt beginnen, diejenigen sind, die
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
Bleiben Sie in der Nähe
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
auf unbestimmte Zeit, dann
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
Gibt es einen stabilen Lyapunov? In größerem Maße, wenn
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
Lyapunov-Stabilität sowie alle Lösungen, die in unmittelbarer Nähe zu
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
kommen zusammen, um
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
In diesem Fall
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
Es wird angegeben, dass es asymptotisch stabil ist (weitere Informationen finden Sie unter Asymptotische Analyse). Das Konzept der exponentiellen Stabilität stellt sicher, dass es eine minimale Zerfallsrate gibt, die als Schätzung des Tempos verstanden werden kann, mit dem die Lösungen Konvergenz erreichen. Das Konzept der Lyapunov-Stabilität kann auf unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten ausgedehnt werden, wo es als strukturelle Stabilität bezeichnet wird. Dieses Konzept befasst sich mit dem Verhalten unterschiedlicher Lösungen von Differentialgleichungen, die "nahe" beieinander liegen. Die Input-to-State-Stabilität, auch bekannt als ISS, ermöglicht die Anwendung von Lyapunov-Konzepten auf Systeme, die Eingaben enthalten.
Die Ljapunow-Stabilität ist ein mathematisches Konzept, das nach Alexander Michailowitsch Ljapunow benannt wurde, einem russischen Mathematiker, der im Jahr 1892 an der Universität Charkow seine Arbeit mit dem Titel "Das allgemeine Problem der Bewegungsstabilität" verteidigte. D.h. im Vergleich zur gebräuchlichen lokalen Methode der Linearisierung nichtlinearer dynamischer Systeme um Gleichgewichtspunkte war M. Lyapunov ein Pionier bei den erfolgreichen Bemühungen, einen globalen Ansatz zur Analyse der Stabilität nichtlinearer dynamischer Systeme zu etablieren. Er war ein Pionier in diesem Bestreben. Lange Zeit fand sein Werk, das zunächst auf Russisch erschien und später ins Französische übersetzt wurde, wenig Beachtung. Eine mathematische Theorie, die von A. entwickelt wurde, nennt sich die Theorie der Stabilität der Bewegung. Auf dem Gebiet der Wissenschaft und Technologie sah M. Ljapunow die Zeit für die Verwirklichung mit großer Vorfreude voraus. Darüber hinaus hat Lyapunov persönlich keine Anwendungen in diesem Bereich entwickelt; Vielmehr lag sein Hauptaugenmerk auf der Stabilität rotierender Fluidmassen, die er auf astronomische Probleme anwandte. Es gab keine Doktoranden, die die Forschung auf dem Gebiet der Stabilität fortsetzten, und sein eigenes Schicksal war eine schreckliche Tragödie, weil er 1918 Selbstmord beging. Er hatte keine Schüler, die die Forschung verfolgten. Im Laufe mehrerer Jahrzehnte wurde die Stabilitätstheorie vollständig aus der Geschichte geschrieben. Nikolai Gurjewitsch Tschetajew, ein russisch-sowjetischer Mathematiker und Mechaniker, der in den 1930er Jahren am Kasaner Luftfahrtinstitut arbeitete, war der erste, der die außerordentliche Bedeutung der Entdeckung von A. erkannte. Ich bin M. Ljapunow. Genauer gesagt, der Beitrag, den N zur Theorie geleistet hat. G. Tschetajew war so bedeutend, dass viele Mathematiker, Physiker und Ingenieure ihn für den unmittelbaren Nachfolger Ljapunows und den nächsten wissenschaftlichen Nachfahren bei der Entwicklung der mathematischen Stabilitätstheorie halten. Chetaev war auch derjenige, der das Konzept der Stabilität in der Mathematik einführte.
Es wurde gezeigt, dass die sogenannte "Zweite Methode von Lyapunov" (siehe unten) für die Stabilität von Flugzeugführungssystemen relevant ist, die oft erhebliche Nichtlinearitäten enthalten, die mit anderen Methoden nicht behandelt werden können. Diese Entdeckung ließ das Interesse daran in der Zeit des Kalten Krieges schlagartig ansteigen. In der Literatur zu Regelungstechnik und -systemen ist die Zahl der Publikationen, die seitdem veröffentlicht wurden, deutlich gestiegen.
In den letzten Jahren hat die Idee des Ljapunow-Exponenten, der mit Ljapunows Erster Methode zur Analyse der Stabilität verbunden ist, in Bezug auf die Chaostheorie viel Aufmerksamkeit erregt. Es gab auch Fälle, in denen Lyapunov-Stabilitätsmethoden verwendet wurden, um Gleichgewichtslösungen in Verkehrszuordnungsproblemen zu lokalisieren.
Betrachten Sie ein nichtlineares dynamisches System, das autonom ist.
Dabei ist die
x
()
t
()
?
ein.
?
R.
ein.
"x(t)" ist eine mathematische Funktion, die zum Bereich von "D" gehört und dem Bereich von "R" untergeordnet ist.
Indiz für den Zustandsvektor des Systems,
ein.
[Anzeigestil] [mathematisches Niveau] [D]
Ein Satz, der offen ist und den Ursprung sowie
ein.
:
ein.
1.
R.
ein.
{\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
Das ist ein Vektorfeld, das kontinuierlich ist auf
ein.
[Anzeigestil] [mathematisches Niveau] [D]
.. Was wenn...
ein.
Der Darstellungsstil ist f.
hat einen Gleichgewichtszustand bei
x
e.
Der Anzeigestil ist x_e.
Damit die
ein.
()
x
e.
()
=
0
Der Ausdruck f(x_{e}) ist gleich Null.
Dann
Im Folgenden wird die Bedeutung der Ausdrücke erläutert, die zuvor besprochen wurden:
Der Ablauf der Ereignisse
x
()
t
()
=
f
()
t
()
"x(t) gleich phi (t)" ist ein Darstellungsstil.
attraktiv (in der Umgebung) ist, wenn
in jeder möglichen Bahn
x
()
t
()
"x(t)" wird visuell angezeigt.
in einer Nähe, die ausreicht, um
f
()
t
()
\displaystyle \phrasierung (t)}
Abgesehen davon, dass sie auf globaler Ebene attraktiv ist, wenn diese Eigenschaft für alle Entwicklungen gilt.
Anders ausgedrückt: Wenn x sich im Inneren seiner stabilen Mannigfaltigkeit befindet, dann gilt es als asymptotisch stabil, wenn es sowohl attraktiv als auch stabil ist. Unter Verwendung homokliner Verbindungen ist es einfach, Fälle zu generieren, die zeigen, dass Attraktivität nicht unbedingt asymptotische Stabilität impliziert. Hier sind einige Beispiele, die dies zeigen.
Für den Fall, dass der Jacobioperator des dynamischen Systems im Gleichgewicht zufällig eine Stabilitätsmatrix ist (d.h. wenn der reale Teil jedes Eigenwerts streng negativ ist), dann wird das Gleichgewicht als asymptotisch stabil angesehen.
Als Alternative zur alleinigen Fokussierung auf die Stabilität in der Nähe eines Gleichgewichtspunktes (eine konstante Lösung),
x
()
t
()
=
x
e.
Ein Darstellungsstil von x(t) entspricht x_{e}
) gelingt es, Stabilitätskonzepte zu etablieren, die mit denen einer willkürlichen Lösung vergleichbar sind.
x
()
t
()
=
f
()
t
()
"x(t) gleich phi (t)" ist ein Darstellungsstil.
.. Das weiter gefasste Szenario hingegen kann durch die Verwendung einer Änderung der Variablen, die als "Abweichungssystem" bezeichnet wird, zu dem eines Gleichgewichts vereinfacht werden. Definieren Sie den Begriff
y
=
x
--
f
()
t
()
Ein Darstellungsstil von y ist gleich x minus phi (t)
solange die Differentialgleichung befolgt wird:
Dieses System wird nicht mehr als unabhängig angesehen; Nichtsdestotrotz besitzt sie einen garantierten Gleichgewichtspunkt bei
y
=
0
Anzeigestil y ist gleich Null
welche Stabilität mit der Stabilität der ursprünglich verwendeten Lösung identisch ist
x
()
t
()
=
f
()
t
()
"x(t) gleich phi (t)" ist ein Darstellungsstil.
..
Zwei verschiedene Ansätze zum Nachweis der Stabilität wurden von Ljapunow in seiner ersten Studie vorgeschlagen, die 1892 veröffentlicht wurde. Im ersten Ansatz wurde die Lösung in einer Reihe aufgebaut, die sich anschließend innerhalb bestimmter Grenzen als konvergent erwies. Die zweite Methode, die heute als Lyapunov-Stabilitätskriterium oder direkte Methode bekannt ist, verwendet eine Lyapunov-Funktion V(x), die der Potentialfunktion der klassischen Dynamik entspricht. Diese Methode wird als direkte Methode bezeichnet. Für die Zwecke eines Systems ist es wie folgt aufgebaut:
x
ein.
=
ein.
()
x
()
Ein Anzeigestil von \dot {x}} entspricht f(x)}
einen Gleichgewichtspunkt bei einem bestimmten
x
=
0
Darstellungsstil x ist gleich Null
.. Denken Sie jetzt an eine Funktion.
V
:
R.
ein.
1.
R.
Der Anzeigestil: V: \mathbb {R} ^{n}...
