Kapitel 4

Überblick über Vor-Algebra und Algebra

IN DIESEM KAPITEL

• Den Kampf mit den Brüchen gewinnen: Teilen und herrschen
• Stark mit Potenz(en)
• Zu den Wurzeln
• Die Gesetze der Logarithmen verstehen
• Spaß beim Faktorisieren
• Quadratische Ausdrücke: im Handumdrehen gelöst

Die Sprache der Analysis ist die Algebra. Ohne Algebra ist keine Analysis möglich, so wie Sie kein chinesisches Gedicht schreiben können, ohne Chinesisch zu sprechen.

Was Sie über Brüche wissen sollten

Wenn Sie ein Analysis-Buch auf einer beliebigen Seite aufschlagen, dann wird Ihnen mit ziemlicher Sicherheit ein Bruch begegnen. Sie können davor nicht davonlaufen. Müssen Sie aber auch nicht. Für den sicheren Umgang mit Brüchen brauchen Sie nur ein paar Regeln.

Ein paar schnelle Regeln

Die erste Regel ist ganz einfach, aber sehr wichtig, weil sie in der Welt der Analysis immer wieder vorkommt:

Der Nenner eines Bruchs darf nie null sein.

ist null, aber ist undefiniert.

Man erkennt ganz leicht, warum undefiniert ist, wenn man betrachtet, wie die Division funktioniert:

Diese Berechnung besagt natürlich, dass 2 viermal in 8 passt; mit anderen Worten: . Aber wie viele Nullen bräuchten Sie, um 5 zu erhalten? Wenn überhaupt, dann unendlich viele, und das ist nicht möglich, deshalb können Sie 5 (oder irgendeine andere Zahl) nicht durch null dividieren.

Und noch eine schnelle Regel:

Der Kehrwert einer Zahl oder eines Ausdrucks ist ihr multiplikatives Inverses - eine verrückte Methode zu sagen, dass irgendetwas mit seinem Kehrwert multipliziert gleich 1 ist. Um den Kehrwert eines Bruchs zu erhalten, kehren Sie ihn einfach um. Der Kehrwert von ist also , der von 6 (was man auch als schreiben kann) ist und der Kehrwert von einem Term wie ist .

Brüche multiplizieren

Das Addieren ist üblicherweise einfacher als das Multiplizieren, aber bei Brüchen gilt das Umgekehrte - ich werde also mit der Multiplikation beginnen.

Die Multiplikation von Brüchen ist ein Kinderspiel - Sie multiplizieren einfach alles Obenstehende miteinander und alles Untenstehende miteinander:

Brüche dividieren

Die Division von Brüchen umfasst lediglich einen kleinen zusätzlichen Schritt: Sie kehren erst den zweiten Bruch um und multiplizieren dann wie gehabt - etwa so:

Jetzt kürzen Sie Zähler und Nenner mit 5 und erhalten

Beachten Sie, dass Sie auch vor der Multiplikation hätten kürzen können - was Ihnen ein bisschen Arbeit erspart hätte. Weil 5 einmal in 5 passt und in 10 zweimal, können Sie eine 5 kürzen:

Beachten Sie außerdem, dass die ursprüngliche Aufgabenstellung auch als ein sogenannter Doppelbruch hätte dargestellt werden können:

Brüche addieren

Sie wissen, dass Folgendes gilt:

Sie können diese beiden Brüche sehr einfach addieren, weil sie einen gemeinsamen Nenner haben. Dasselbe funktioniert auch mit Variablen:

Beachten Sie, dass dort, wo in der obigen Gleichung eine 2 stand, in der unteren Gleichung ein a steht; wo in der obigen Gleichung eine 3 stand, steht in der unteren Gleichung ein b, und ebenso verhält es sich für 7 und c. Daran erkennen Sie das mächtige Prinzip:

Variablen verhalten sich im Prinzip genau wie Zahlen.

Wenn Sie sich also fragen, was mit der oder den Variablen in einer Aufgabenstellung zu tun ist, dann fragen Sie sich, wie die Aufgabe aussähe, wenn anstelle der Variablen dort Zahlen stünden. Anschließend gehen Sie mit den Variablen in der Aufgabenstellung genauso um. Sie erkennen es am folgenden, schon etwas komplizierteren Beispiel:

Sie können diese Brüche nicht addieren, wie im obigen Beispiel gezeigt, weil es hier keinen gemeinsamen Nenner gibt. Angenommen, Sie versuchen, die Aufgabe mit Zahlen statt mit Variablen zu lösen. Wissen Sie noch, wie man addiert? (Ich werde hier übrigens nicht jede Zeile der Lösung kürzen. Sie werden gleich sehen, warum.)

1. Suchen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner (eigentlich funktioniert bei der Addition von Brüchen jeder gemeinsame Nenner, der kleinste ist aber meist der übersichtlichste) und wandeln Sie die Brüche entsprechend um.

   Der kleinste gemeinsame Nenner ist hier 5 mal 8 oder 40. Wandeln Sie also die Brüche in 40stel um:

   (8 · 5 ist dasselbe wie 5 · 8, deshalb können Sie die Reihenfolge umkehren. Diese Brüche sind 40 stel, aber ich möchte hier die 5 · 8 in den Nennern vorübergehend beibehalten).

2. Addieren Sie die Zähler und behalten Sie den gemeinsamen Nenner unverändert bei:

   (Sie sehen, dass dies gleich oder ist.)

Jetzt können Sie wieder die ursprüngliche Aufgabenstellung mit ihren Variablen betrachten, also . Hier steht statt der 2 ein a, statt der 5 ein b, statt der 3 ein c und statt der 8 ein d. Jetzt führen Sie genau dieselben Schritte aus wie bei der Addition von . Sie können sich jede der Zahlen in der oben gezeigten Lösung als die Zahl auf einer Münze vorstellen und die Variable ist der Kopf auf der anderen Seite. Angenommen, Sie haben eine Münze mit einer 2 auf der einen Seite und einem a auf der anderen Seite; eine weitere Münze hat eine 8 auf der einen Seite und ein d auf der anderen Seite und so weiter. Jetzt gehen Sie nach den Schritten aus der vorigen Lösung vor, drehen die Münzen um, und schon haben Sie die Lösung für die ursprüngliche Aufgabenstellung. Und hier die fertige Lösung:

Brüche subtrahieren

Bei der Subtraktion von Brüchen gehen Sie genau wie bei der Addition vor, außer dass Sie hier subtrahieren statt addieren. Mit Einsichten wie diesen kann man gutes Geld verdienen.

Brüche kürzen

Für Aufgabenstellungen aus der Analysis brauchen Sie manchmal - nachdem Sie alle Schritte der Berechnungen für die Analysis durchgeführt haben - etwas unübersichtliche Algebra, einschließlich des Kürzens. Sie sollten wissen, was Kürzen ist und wie es ausgeführt wird.

Im Bruch können drei x aus dem Zähler und aus dem Nenner gekürzt werden, wodurch sich der vereinfachte Bruch ergibt. Wenn Sie die x ausschreiben, statt Exponenten zu verwenden, sehen Sie noch deutlicher, wie das Ganze funktioniert:

Jetzt kürzen Sie drei x aus dem Zähler und aus dem Nenner:

Sie erhalten

Ausdrucksstark: Terme

Ein algebraischer Ausdruck oder Term ist etwas wie xyz oder , also grundsätzlich einfach alles ohne ein Gleichheitszeichen. (Wenn ein Gleichheitszeichen enthalten ist, handelt es sich um eine Gleichung.) Das Kürzen funktioniert bei Termen genau wie bei einzelnen Variablen. Dies ist übrigens ein Tipp, der nicht nur für das Kürzen, sondern für alle Themen aus der Algebra gilt.

Terme verhalten sich im Prinzip genau wie Variablen.

Wenn also jedes x in der obigen Aufgabenstellung durch ersetzt wird, erhalten Sie

Und jetzt können drei der Faktoren aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt werden, so wie oben die drei x gekürzt wurden. Das vereinfachte Ergebnis lautet

Die Multiplikationsregel

Jetzt wissen Sie, wie man kürzt. Ebenso wichtig ist zu wissen, wann man kürzt.

Sie können in einem Bruch nur dann kürzen, wenn er eine ununterbrochene Multiplikationsverknüpfung im gesamten Zähler und im gesamten Nenner aufweist.

Das Kürzen ist erlaubt in Brüchen wie etwa dem folgenden:

Stellen Sie sich die Multiplikation wie einen elektrischen Leiter vor. Der Strom kann von einem Ende des Zählers zum anderen fließen, vom zum , weil alle Variablen und Ausdrücke über die Multiplikation verknüpft sind. (Beachten Sie, dass eine Addition oder Subtraktion innerhalb der Klammern - zum Beispiel das » + « in - die Stromleitung nicht unterbricht.) Weil der Nenner ebenfalls eine ununterbrochene Multiplikationsverknüpfung aufweist, können Sie kürzen: ein a, drei b und dreimal den Ausdruck . Und hier das Ergebnis:

Wenn jedoch eine völlig harmlos aussehende 1 zum Zähler (oder zum Nenner) des ursprünglichen Bruchs addiert wird, ändert sich alles:

Das Pluszeichen vor der 1 unterbricht den Strom und der Bruch kann an keiner Stelle mehr gekürzt werden. (Früher sagte man an dieser Stelle: »Aus Summen kürzen nur die Dummen.« Das ist aber ziemlich unfreundlich und wir können nur freundlich!)

Betrag - absolut einfach

Der Betrag oder Absolutwert macht eine negative Zahl zu einer positiven Zahl und bewirkt nichts für eine positive Zahl oder eine Null. Ein Beispiel:

Etwas komplizierter ist das Ganze mit Variablen. Wenn x gleich null oder positiv ist, bewirken die Striche für den Betrag nichts,...