Function Spaces, 1

1 - Preface [Seite 5]
2 - 1 Preliminaries [Seite 17]
2.1 - 1.1 Vector space [Seite 17]
2.2 - 1.2 Topological spaces [Seite 18]
2.3 - 1.3 Metric, metric space [Seite 22]
2.4 - 1.4 Norm, normed linear space [Seite 22]
2.5 - 1.5 Modular spaces [Seite 23]
2.6 - 1.6 Inner product, inner product space [Seite 26]
2.7 - 1.7 Convergence, Cauchy sequences [Seite 27]
2.8 - 1.8 Density, separability [Seite 28]
2.9 - 1.9 Completeness [Seite 28]
2.10 - 1.10 Subspaces [Seite 29]
2.11 - 1.11 Products of spaces [Seite 30]
2.12 - 1.12 Schauder bases [Seite 30]
2.13 - 1.13 Compactness [Seite 31]
2.14 - 1.14 Operators (mappings) [Seite 32]
2.15 - 1.15 Isomorphism, embeddings [Seite 34]
2.16 - 1.16 Continuous linear functionals [Seite 35]
2.17 - 1.17 Dual space, weak convergence [Seite 36]
2.18 - 1.18 The principle of uniform boundedness [Seite 37]
2.19 - 1.19 Reflexivity [Seite 37]
2.20 - 1.20 Measure spaces: general extension theory [Seite 38]
2.21 - 1.21 The Lebesgue measure and integral [Seite 45]
2.22 - 1.22 Modes of convergence [Seite 50]
2.23 - 1.23 Systems of seminorms, Hahn-Saks theorem [Seite 52]
3 - 2 Spaces of smooth functions [Seite 54]
3.1 - 2.1 Multiindices and derivatives [Seite 54]
3.2 - 2.2 Classes of continuous and smooth functions [Seite 55]
3.3 - 2.3 Completeness [Seite 59]
3.4 - 2.4 Separability, bases [Seite 61]
3.5 - 2.5 Compactness [Seite 67]
3.6 - 2.6 Continuous linear functionals [Seite 71]
3.7 - 2.7 Extension of functions [Seite 75]
4 - 3 Lebesgue spaces [Seite 78]
4.1 - 3.1 Lp-classes [Seite 78]
4.2 - 3.2 Lebesgue spaces [Seite 82]
4.3 - 3.3 Mean continuity [Seite 83]
4.4 - 3.4 Mollifiers [Seite 85]
4.5 - 3.5 Density of smooth functions [Seite 87]
4.6 - 3.6 Separability [Seite 87]
4.7 - 3.7 Completeness [Seite 88]
4.8 - 3.8 The dual space [Seite 90]
4.9 - 3.9 Reflexivity [Seite 94]
4.10 - 3.10 The space L8 [Seite 94]
4.11 - 3.11 Hardy inequalities [Seite 99]
4.12 - 3.12 Sequence spaces [Seite 108]
4.13 - 3.13 Modes of convergence [Seite 109]
4.14 - 3.14 Compact subsets [Seite 110]
4.15 - 3.15 Weak convergence [Seite 111]
4.16 - 3.16 Isomorphism of Lp(O) and Lp(0, µ(O)) [Seite 112]
4.17 - 3.17 Schauder bases [Seite 113]
4.18 - 3.18 Weak Lebesgue spaces [Seite 117]
4.19 - 3.19 Remarks [Seite 120]
5 - 4 Orlicz spaces [Seite 124]
5.1 - 4.1 Introduction [Seite 124]
5.2 - 4.2 Young function, Jensen inequality [Seite 125]
5.3 - 4.3 Complementary functions [Seite 131]
5.4 - 4.4 The .2-condition [Seite 135]
5.5 - 4.5 Comparison of Orlicz classes [Seite 138]
5.6 - 4.6 Orlicz spaces [Seite 142]
5.7 - 4.7 Hölder inequality in Orlicz spaces [Seite 147]
5.8 - 4.8 The Luxemburg norm [Seite 150]
5.9 - 4.9 Completeness of Orlicz spaces [Seite 153]
5.10 - 4.10 Convergence in Orlicz spaces [Seite 154]
5.11 - 4.11 Separability [Seite 159]
5.12 - 4.12 The space EF(O) [Seite 161]
5.13 - 4.13 Continuous linear functionals [Seite 167]
5.14 - 4.14 Compact subsets of Orlicz spaces [Seite 171]
5.15 - 4.15 Further properties of Orlicz spaces [Seite 177]
5.16 - 4.16 Isomorphism properties, Schauder bases [Seite 179]
5.17 - 4.17 Comparison of Orlicz spaces [Seite 182]
6 - 5 Morrey and Campanato spaces [Seite 189]
6.1 - 5.1 Introduction [Seite 189]
6.2 - 5.2 Marcinkiewicz spaces [Seite 189]
6.3 - 5.3 Morrey and Campanato spaces [Seite 192]
6.4 - 5.4 Completeness [Seite 194]
6.5 - 5.5 Relations to Lebesgue spaces [Seite 194]
6.6 - 5.6 Some lemmas [Seite 197]
6.7 - 5.7 Embeddings [Seite 201]
6.8 - 5.8 The John-Nirenberg space [Seite 203]
6.9 - 5.9 Another definition of the space JN(Q) [Seite 210]
6.10 - 5.10 Spaces Np [Seite 213]
6.11 - 5.11 Miscellaneous remarks [Seite 215]
7 - 6 Banach function spaces [Seite 219]
7.1 - 6.1 Banach function spaces [Seite 219]
7.2 - 6.2 Associate space [Seite 225]
7.3 - 6.3 Absolute continuity of the norm [Seite 232]
7.4 - 6.4 Reflexivity of Banach function spaces [Seite 239]
7.5 - 6.5 Separability in Banach function spaces [Seite 244]
8 - 7 Rearrangement-invariant spaces [Seite 253]
8.1 - 7.1 Nonincreasing rearrangements [Seite 253]
8.2 - 7.2 Hardy-Littlewood inequality [Seite 257]
8.3 - 7.3 Resonant measure spaces [Seite 259]
8.4 - 7.4 Maximal nonincreasing rearrangement [Seite 265]
8.5 - 7.5 Hardy lemma [Seite 267]
8.6 - 7.6 Rearrangement-invariant spaces [Seite 269]
8.7 - 7.7 Hardy-Littlewood-Pólya principle [Seite 271]
8.8 - 7.8 Luxemburg representation theorem [Seite 272]
8.9 - 7.9 Fundamental function [Seite 275]
8.10 - 7.10 Endpoint spaces [Seite 280]
8.11 - 7.11 Almost-compact embeddings [Seite 291]
8.12 - 7.12 Gould space [Seite 308]
9 - 8 Lorentz spaces [Seite 317]
9.1 - 8.1 Definition and basic properties [Seite 317]
9.2 - 8.2 Embeddings between Lorentz spaces [Seite 321]
9.3 - 8.3 The associate space [Seite 323]
9.4 - 8.4 The fundamental function [Seite 325]
9.5 - 8.5 Absolute continuity of norm [Seite 325]
9.6 - 8.6 Remarks on || · ||1 [Seite 327]
10 - 9 Generalized Lorentz-Zygmund spaces [Seite 329]
10.1 - 9.1 Measure-preserving transformations [Seite 329]
10.2 - 9.2 Basic properties [Seite 330]
10.3 - 9.3 Nontriviality [Seite 333]
10.4 - 9.4 Fundamental function [Seite 334]
10.5 - 9.5 Embeddings between Generalized Lorentz-Zygmund spaces [Seite 336]
10.6 - 9.6 The associate space [Seite 348]
10.7 - 9.7 When Generalized Lorentz-Zygmund space is Banach function space [Seite 369]
10.8 - 9.8 Generalized Lorentz-Zygmund spaces and Orlicz spaces [Seite 372]
10.9 - 9.9 Absolute continuity of norm [Seite 383]
10.10 - 9.10 Lorentz-Zygmund spaces [Seite 388]
10.11 - 9.11 Lorentz-Karamata spaces [Seite 389]
11 - 10 Classical Lorentz spaces [Seite 391]
11.1 - 10.1 Definition and basic properties [Seite 391]
11.2 - 10.2 Functional properties [Seite 396]
11.3 - 10.3 Embeddings [Seite 404]
11.3.1 - 10.3.1 Embeddings of type . . . [Seite 408]
11.3.2 - 10.3.2 Embeddings of type . . G [Seite 409]
11.3.3 - 10.3.3 Embeddings of type G . . [Seite 412]
11.3.4 - 10.3.4 Embeddings of type G . G [Seite 415]
11.3.5 - 10.3.5 The Halperin level function [Seite 417]
11.3.6 - 10.3.6 Embeddings of type Gp,8 (v) . .^ (w) [Seite 420]
11.3.7 - 10.3.7 The single-weight case G 1,8(v) . .1(.) [Seite 422]
11.4 - 10.4 Associate spaces [Seite 425]
11.5 - 10.5 Lorentz and Orlicz spaces [Seite 427]
11.6 - 10.6 Spaces measuring oscillation [Seite 428]
11.7 - 10.7 The missing case [Seite 441]
11.8 - 10.8 Embeddings [Seite 443]
11.8.1 - 10.8.1 Embeddings of type S . S [Seite 445]
11.8.2 - 10.8.2 Embeddings of type G . S and S . G [Seite 447]
11.8.3 - 10.8.3 Embeddings of type . . S and S . . [Seite 450]
12 - 11 Variable-exponent Lebesgue spaces [Seite 453]
12.1 - 11.1 Introduction [Seite 453]
12.2 - 11.2 Basic properties [Seite 454]
12.3 - 11.3 Embedding relations [Seite 461]
12.4 - 11.4 Density of smooth functions [Seite 463]
12.5 - 11.5 Reflexivity and uniform convexity [Seite 466]
12.6 - 11.6 Radon-Nikodým property [Seite 469]
12.7 - 11.7 Daugavet property [Seite 471]
13 - Bibliography [Seite 475]
14 - Index [Seite 488]