Geometrie der Raumzeit

Einführung.- 1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 1.1 Karten und Atlanten.- 1.2 Topologisierung.- 1.3 Untermannigfaltigkeiten von ?m.- 2 Tangentenvektoren.- 2.1 Der Tangentialraum.- 2.2 Erzeugung von Tangentenvektoren.- 2.3 Vektorfelder.- 2.4 Die Lie-Klammer.- 3 Tensoren.- 3.1 Einführung.- 3.2 Multilinearformen.- 3.3 Komponenten.- 3.4 Operationen mit Tensoren.- 3.5 Tensoren auf euklidischen Räumen.- 4 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 4.1 Tensorfelder.- 4.2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 4.3 Bilinearformen.- 4.4 Orientierung.- 4.5 Raumzeit.- 5 Spezielle Relativitätstheorie.- 5.1 Kinematik.- 5.2 Dynamik.- 5.3 Elektrodynamik.- 6 Differentialformen.- 6.1 p-Formen.- 6.2 Das Keilprodukt.- 6.3 Der Hodge-Stern-Operator.- 6.4 Äußere Differentiation.- 6.5 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum.- 7 Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern.- 7.1 Die Richtungsableitung in ?n.- 7.2 Der Levi-Civita-Zusammenhang.- 7.3 Christoffel-Symbole.- 7.4 Kovariante Ableitung auf Hyperflächen.- 7.5 Die kovariante Ableitung in der Schwarzschild-Raumzeit.- 8 Krümmung.- 8.1 Der Krümmungstensor.- 8.2 Die Weingarten-Abbildung.- 8.3 Der Ricci-Tensor.- 8.4 Die Krümmung der Schwarzschild-Raumzeit.- 8.5 Zusammenhangsformen und Krümmungsformen.- 9 Materie.- 9.1 Masse.- 9.2 Energie und Impuls einer Strömung.- 9.3 Der Energie-Impuls-Tensor.- 9.4 Ladung.- 9.5 Energie und Impuls im elektromagnetischen Feld.- 9.6 Die Einsteinsche Feldgleichung.- 9.7 Kugelsymmetrische Lösungen.- 9.8 Äußere und innere Schwarzschild-Metrik.- 10 Geodäten.- 10.1 Zeit.- 10.2 Die Euler-Lagrange-Gleichungen.- 10.3 Die Geodätengleichung.- 10.4 Die geodätische Abweichung.- 10.5 Periheldrehung.- 10.6 Lichtablenkung.- 10.7 Rotverschiebung.- 11 Kovariante Differentiation von Tensorfeldern.- 11.1 Paralleltransportvon Vektoren.- 11.2 Paralleltransport von Tensoren.- 11.3 Rechenregeln und Komponentendarstellung.- 11.4 Die zweite Bianchi-Identität.- 11.5 Divergenz.- 12 Die Lie-Ableitung.- 12.1 Der Fluß und seine Tangenten.- 12.2 Pull-back und Push-forward.- 12.3 Axiomatischer Zugang.- 12.4 Die Ableitungsformel.- 12.5 Komponentendarstellung.- 12.6 Killing-Vektoren.- 12.7 Die Lie-Ableitung von Differentialformen.- 13 Integration auf Mannigfaltigkeiten.- 13.1 Einführung.- 13.2 Zerlegung der Eins.- 13.3 Integrale.- 13.4 Berandete Mannigfaltigkeiten.- 13.5 Integralsätze.- 13.6 Extremalprinzipien.- 14 Nichtrotierende Schwarze Löcher.- 14.1 Die Schwarzschild-Halbebene.- 14.2 Optik Schwarzer Löcher.- 14.3 Die Kruskal-Ebene.- 15 Kosmologie.- 15.1 Räume konstanter Krümmung.- 15.2 Die Robertson-Walker-Metrik.- 15.3 Weltmodelle.- 16 Rotierende Schwarze Löcher.- 16.1 Die Kerr-Metrik.- 16.2 Andere Darstellungen der Kerr-Metrik.- 16.3 Kausale Struktur.- 16.4 Kovariante Ableitung und Krümmung.- 16.5 Erhaltungssätze.