Kapitel 1

Das kleine Einmaleins der Wirtschaftsmathematik: Einfache Algebra

IN DIESEM KAPITEL

• Mit Vorzeichen und Klammern rechnen
• Wichtige Rechengesetze kennenlernen und anwenden
• Sich mit Brüchen und Prozenten anfreunden
• Potenzen, Wurzeln und Logarithmen berechnen
• Mehrere Terme ausmultiplizieren

Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Algebra und legt damit das Fundament für die folgenden Kapitel. Vieles, was hier behandelt wird, haben Sie sicherlich schon einmal angewendet - im Alltag, im Job, im Studium oder im Mathematikunterricht. Hier haben Sie die Möglichkeit, Ihr Wissen aufzufrischen und die Grundlagen zu wiederholen.

Mit Vorzeichen rechnen

Haben Sie sich schon mal gefragt, warum eins plus eins zwei ergibt? Und wie werden eigentlich negative Zahlen addiert? Die Addition von zwei Zahlen wird mit dem Pluszeichen »+« gekennzeichnet:

Dabei nennt man und Summanden. Addiert man sie, das heißt, rechnet sie zusammen, erhält man die Summe . Natürlich können auch mehr als zwei Zahlen addiert werden.

Die Subtraktion, auch bekannt als Minusrechnung, ist die Umkehroperation der Addition. Was bedeutet das? Betrachten Sie beispielsweise die Zahl 5. Wenn Sie 3 zu 5 addieren, ist das Ergebnis 8. Die Addition können Sie umkehren, indem Sie 3 wieder von 8 abziehen. Das Ergebnis ist 5 - die ursprüngliche Zahl. Die Subtraktion wird mit dem Minuszeichen »-« aufgeschrieben.

Man nennt Minuend und Subtrahend. ist das Ergebnis der Subtraktion und wird als Differenz zwischen und bezeichnet. Die Subtraktion kann auch als Addition der Gegenzahl verstanden werden. Statt von abzuziehen, können Sie also auch zu addieren:

Bei der Multiplikation und der Division multiplizieren oder dividieren Sie zunächst die Beträge der Zahlen. Der Betrag einer Zahl ist die Zahl ohne ihr Vorzeichen. Über das Vorzeichen des Ergebnisses entscheiden die Vorzeichen der Zahlen, die Sie miteinander malnehmen beziehungsweise durcheinander teilen.

Bei der Multiplikation oder Division von zwei Zahlen ist das Ergebnis positiv, falls beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. Haben die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ.

Bei dem nachfolgenden Beispiel werden nicht nur zwei, sondern drei negative Zahlen miteinander multipliziert. Können Sie trotzdem sagen, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss?

Wenn nur negative Zahlen miteinander multipliziert werden, ist das ganz einfach. Wenn es eine gerade Anzahl an Zahlen ist, ist das Ergebnis positiv. Wenn es eine ungerade Anzahl an Zahlen ist, so wie hier, ist das Ergebnis negativ. Falls Ihnen nicht sofort klar ist, warum das so ist, probieren Sie es doch einfach mal mit ein paar Zahlen aus. Wenn Sie die Beträge der Zahlen in diesem Beispiel miteinander multiplizieren, erhalten Sie 3?·?5?·?2?=?30. Das Vorzeichen muss ein Minus sein, also ist das Ergebnis -30.

Eine Besonderheit gibt es bei der Multiplikation mit null, wie das folgende Beispiel zeigt:

Das Ergebnis dieser Multiplikation ist 0.

Ist bei einer Multiplikation mindestens einer der Faktoren 0, so ist das Ergebnis der Multiplikation immer 0, unabhängig von den anderen Faktoren.

Wichtige Rechengesetze und deren Anwendung

Es gibt einige wichtige Rechengesetze, die Ihnen das Leben leichter machen. Das Kommutativgesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge Zahlen addiert oder miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist immer das gleiche.

• Kommutativgesetz der Addition:
• Kommutativgesetz der Multiplikation:

Das Assoziativgesetz sagt aus, dass Sie die Gruppierungen von Operationen verändern können, ohne dass sich dadurch das Ergebnis ändert. Oder einfacher ausgedrückt: Sie können Klammern setzen, wie Sie möchten.

• Assoziativgesetz der Addition:
• Assoziativgesetz der Multiplikation:

Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation, aber NICHT für die Subtraktion und die Division.

Ein weiteres wichtiges Rechengesetz, das die Multiplikation mit der Addition beziehungsweise Subtraktion verbindet, ist das Distributivgesetz.

• Distributive Multiplikation über die Addition:
• Distributive Multiplikation über die Subtraktion:

Wie Sie sehen, können Sie nach dem Distributivgesetz jeden Term innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Umgekehrt funktioniert es natürlich auch, dann spricht man vom Ausklammern.

Das folgende Beispiel zeigt, wie die Anwendung der Rechengesetze Berechnungen vereinfachen kann:

Wenn man Zahlen miteinander multipliziert, kann man - wie im ersten Schritt geschehen - die Klammern nach dem Assoziativgesetz weglassen. Das Ergebnis ändert sich durch die Änderung der Reihenfolge, in der die Multiplikationen durchgeführt werden, nicht. Im zweiten Schritt kommt das Kommutativgesetz zur Anwendung. Demnach können Sie die Reihenfolge der Zahlen, die miteinander multipliziert werden, vertauschen. Schließlich werden die Zahlen durch das Setzen von Klammern neu gruppiert. Hier können Sie also wieder das Assoziativgesetz nutzen. Zum Schluss berechnen Sie die Ausdrücke in den Klammern und kombinieren sie miteinander. Natürlich müssen Sie diese Zwischenschritte nicht alle aufschreiben. Wenn Sie die Aufgabe im Kopf lösen können und das Ergebnis sofort aufschreiben, ist es umso besser!

Häufig kommen in der Mathematik nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen zur Anwendung. Natürlich gelten die Rechengesetze auch für Variablen, wie man am nachfolgenden Beispiel sehen kann.

Variablen verhalten sich immer wie Zahlen.

Hier kommt im ersten Schritt das Distributivgesetz zur Anwendung, beim ersten Term über die Addition, beim zweiten Term über die Subtraktion. Danach können Sie nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation die Reihenfolge der Zahlen und Variablen in den einzelnen Termen verändern. So lässt sich als und schließlich als aufschreiben. Genauso kann zu vereinfacht werden. Denken Sie hier daran, dass das Ergebnis der Multiplikation von zwei negativen Ausdrücken positiv ist. Nun können Sie die einzelnen Komponenten addieren beziehungsweise subtrahieren. Da ist, bleibt übrig. Das ist auch die Lösung, da der Ausdruck nicht weiter vereinfacht werden kann.

Übrigens: Wie Sie wissen, ist es nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation egal, ob Sie oder schreiben, wenn Sie mal rechnen. Meistens werden die Buchstaben in solchen Fällen nach dem Alphabet geordnet. Sie sollten auf jeden Fall wissen, dass und das Gleiche bedeuten. kann also beispielsweise zu zusammengefasst werden.

Mit Brüchen rechnen

In diesem Abschnitt lernen Sie, wie Sie mit Brüchen rechnen können. Ein Bruch besteht aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Zähler wird durch den Nenner geteilt, also zum Beispiel:

Der Nenner eines Bruchs darf nie null sein!

Vertauscht man den Zähler und den Nenner eines Bruchs, so erhält man seinen Kehrwert. Der Kehrwert von ist also . Multipliziert man eine Zahl - außer Null - mit ihrem Kehrwert, so ist das Ergebnis immer 1.

Die Multiplikation von Brüchen ist ganz einfach:

Natürlich können Sie nicht nur zwei Brüche miteinander multiplizieren, sondern auch mehrere. Dazu multiplizieren Sie einfach die Zähler aller Brüche miteinander und teilen dies durch das Produkt aller Nenner, wie dieses Beispiel illustriert:

Wenn Sie das hier tun, ergibt sich . Diesen Bruch können Sie noch kürzen. Das bedeutet, dass Sie den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilen. In diesem Fall können Sie durch 10 teilen und erhalten dann das Ergebnis .

Alternativ können Sie direkt im Produkt der Brüche kürzen:

Hier werden die 2 im Zähler des ersten Bruchs und die 5 im Zähler des zweiten Bruchs mit der 10 im Nenner des dritten Bruchs gekürzt, da ergibt. Da die Multiplikation mit 1 das Ergebnis nicht verändert, kann sie auch weggelassen werden.

Wenn Sie einen Bruch durch einen anderen Bruch teilen möchten, tun Sie dies, indem Sie den ersten Bruch unverändert lassen und mit dem Kehrwert - also der Umkehrung - des zweiten Bruchs multiplizieren:

Die Addition und Subtraktion von Brüchen sind etwas komplizierter.

Sie können Brüche nur addieren oder subtrahieren, wenn sie den gleichen Nenner haben.

Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, werden sie addiert, indem Sie die beiden Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:

Wenn Sie hingegen zwei Brüche zusammenrechnen möchten, die unterschiedliche Nenner haben, so müssen Sie die beiden Brüche zunächst erweitern, sodass sie einen...