Nonlinear Second Order Elliptic Equations Involving Measures

1 Linear second order elliptic equations with measure data 5
1.1 Linear boundary value problems with L1 data. . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Measure data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 M-boundary trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 The Herglotz - Doob theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Sub-solutions, super-solutions and Kato's inequality. . . . . . . . . . 26
1.6 Boundary Harnack principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Nonlinear second order elliptic equations with measure data 43
2.1 Semilinear problems with L1 data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Semilinear problems with bounded measure data . . . . . . . . . . . 47
2.3 Subcritical non-linearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Weak Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Continuity of G and P relative to Lp
w norm . . . . . . . . . . 59
2.3.3 Continuity of a superposition operator. . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Weak continuity of Sg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.5 Weak continuity of Sg
@
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 The structure of Mg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 Remarks on unbounded domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 The boundary trace and associated boundary value problems. 83
3.1 The boundary trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 Moderate solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2 Positive solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.3 Unbounded domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2 Maximal solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 The boundary value problem with rough trace. . . . . . . . . . . . . 101
3.4 A problem with fading absorption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4.1 The similarity transformation and an extension of the Keller
- Osserman estimate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4.2 Barriers and maximal solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.3 The critical exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.4 The very singular solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Isolated singularities 133
4.1 Universal upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.1 The Keller-Osserman estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.2 Applications to model cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2 Isolated singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.1 Removable singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.2 Isolated positive singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.3 Isolated signed singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Boundary singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3.1 Upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3.2 The half space case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3.3 The case of a general domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4 Boundary singularities with fading absorption . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.1 Power-type degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.2 A strongly fading absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.5 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.5.1 General results of isotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.5.2 Isolated singularities of super-solutions . . . . . . . . . . . . 188
4.6 Notes and comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5 Classical theory of maximal and large solutions 195
5.1 Maximal solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.1 Global conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.2 Local conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.2 Large solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2.1 General nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.2.2 The power and exponential cases . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.3 Uniqueness of large solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.3.1 General uniqueness results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3.2 Applications to power and exponential types nonlinearities . 219
5.4 Equations with forcing term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.4.1 Maximal and minimal large solutions . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5 Notes and comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6 Further results on singularities and large solutions 233
6.1 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.1.1 Internal singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.1.2 Boundary singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.2 Symmetries of large solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.3 Sharp blow-up rate of large solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.3.1 Estimates in an annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.3.2 Curvature secondary effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.4 Notes and comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279