Algebraische Topologie

1 Homologie.- 1.1 Die Axiome einer Homologietheorie.- 1.2 Folgerungen aus den Axiomen.- 1.3 Elementare Berechnungen.- 1.4 Elementare Anwendungen.- 1.5 Aufgaben.- 2 Singulare Homologie.- 2.1 Kettenkomplexe.- 2.2 Konstruktion der singulären Homologie.- 2.3 Beweis der Homotopieinvarianz für singuläre Homologie.- 2.4 Beweis der Ausschneidung für singuläre Homologie.- 2.5 Skizze der Konstruktion von Bordismustheorie.- 2.6 Die erste singuläre Homologie und die Fundamentalgruppe.- 2.7 Aufgaben.- 3 CW-Komplexe.- 3.1 CW-Komplexe.- 3.2 Abbildungen zwischen Sphären und ihre Abbildungsgrade.- 3.3 Der zelluläre Kettenkomplex assoziiert zu einer Homologietheorie.- 3.4 Homologische Berechnungen mit Hilfe des zellulären Kettenkomplexes.- 3.5 Eindeutigkeit der Homologie für CW-Komplexe.- 3.6 Simpliziale Komplexe und simpliziale Homologie.- 3.7 Aufgaben.- 4 Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen.- 4.1 Euler-Charakteristik für endliche Kettenkomplexe.- 4.2 Euler-Charakteristik für endliche CW-Komplexe.- 4.3 Die universelle Eigenschaft der Euler-Charakteristik.- 4.4 Lefschetz-Zahlen für endliche Kettenkomplexe.- 4.5 Lefschetz-Zahlen für endliche CVF-Komplexe.- 4.6 Lefschetz-Zahlen und Euler-Charakteristiken auf Mannigfaltigkeiten.- 4.7 Aufgaben.- 5 Kohomologie.- 5.1 Die Axiome einer Kohomologietheorie.- 5.2 Singuläre und zelluläre Kohomologie.- 5.3 Die Axiome einer multiplikativen Struktur.- 5.4 Der Kohomologiering projektiver Räume.- 5.5 Das Cup-Produkt für CVF-Komplexe.- 5.6 Aufgaben.- 6 Homologische Algebra.- 6.1 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra.- 6.2 Der Tor-Funktor.- 6.3 Der Ext-Funktor.- 6.4 Das universelle Koeffiziententheorem für Homologie.- 6.5 Das universelle Koeffiziententheorem für Kohomologie.- 6.6 Die Künneth-Formel für Homologie.- 6.7Der Satz von Eilenberg und Zilber.- 6.8 Die Künneth-Formel für Kohomologie.- 6.9 Die Bockstein-Sequenz.- 6.10 Direkte Systeme und direkte Limiten.- 6.11 Inverse Systeme und inverse Limiten.- 6.12 Homologie und Ausschöpfungen.- 6.13 Kohomologie und Ausschöpfungen.- 6.14 Aufgaben.- 7 Produkte.- 7.1 Liste der verschiedenen Produkte.- 7.2 Natürlichkeit.- 7.3 Assoziativität.- 7.4 Kommutativität.- 7.5 Eins-Elemente.- 7.6 Verträglichkeit mit Randoperatoren.- 7.7 Relationen zwischen den Produkten.- 7.8 Konstruktion der Produkte.- 7.9 Die Hopf-Invariante.- 7.10 Der Satz von Borsuk-Ulam.- 7.11 Aufgaben.- 8 Dualität.- 8.1 Orientierung.- 8.2 Der Abbildungsgrad.- 8.3 Kohomologie mit kompaktem Träger.- 8.4 Poincaré-Dualität.- 8.5 Poincaré-Dualität und die Euler-Charakteristik.- 8.6 Schnittformen.- 8.7 Jordanscher Trennungsatz.- 8.8 Aufgaben.- 9 Glatte Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialbündel.- 9.1 Glatte Strukturen.- 9.2 Der Tangentialraum.- 9.3 Vektorraumbündel.- 9.4 Das Tangentialbündel.- 9.5 Aufgaben.- 10 Elementare Lineare Algebra.- 10.1 Konstruktionen von Vektorräumen.- 10.2 Das Dach-Produkt von alternierenden Multilinearformen.- 10.3 Kanonische Isomorphismen.- 10.4 Determinante und Spur.- 10.5 Skalarprodukte und Orientierungen.- 10.6 Spezielle Basen.- 10.7 Aufgaben.- 11 Parametrisierte Lineare Algebra.- 11.1 Konstruktionen von Vektorraumbündeln.- 11.2 Riemannsche Metriken und Orientierungen.- 11.3 Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten.- 11.4 Aufgaben.- 12 Differentialformen.- 12.1 Definition einer Differentialform.- 12.2 Das Dach-Produkt von Differentialformen.- 12.3 Die äußere Ableitung.- 12.4 Integration von Differentialformen.- 12.5 Die Volumenform.- 12.6 Aufgaben.- 13 Der Satz von Stokes.- 13.1 Mannigfaltigkeiten mit Rand.- 13.2 Der Satz vonStokes.- 13.3 Anwendungen des Satzes von Stokes.- 13.4 Aufgaben.- 14 De Rham-Kohomologie.- 14.1 Definition der de Rham-Kohomologie.- 14.2 Homotopieinvarianz der de Rham-Kohomologie.- 14.3 Die Mayer-Vietoris-Sequenz für die de Rham-Kohomologie.- 14.4 Die multiplikative Struktur auf der de Rham-Kohomologie.- 14.5 Aufgaben.- 15 Der Satz von de Rham.- 15.1 Glatte singulare Koketten.- 15.2 Glatte Kohomologietheorien.- 15.3 Die de Rham-Abbildung..- 15.4 Der Beweis des Satzes von de Rham.- 15.5 Verträglichkeit mit den multiplikativen Strukturen.- 15.6 Der Satz von Hodge-de Rham.- 15.7 Aufgaben.- 16 Anhang.- 16.1 Topologische Räume.- 16.2 Die Teilraumtopologie.- 16.3 Stetige Abbildungen.- 16.4 Kompaktheit.- 16.5 Zusammenhang.- 16.6 Das 2. Abzählbarkeitsaxiom.- 16.7 Die Summe von topologischen Räumen.- 16.8 Das Produkt von topologischen Räumen.- 16.9 Homotopie.- 16.10 Identifizierungen.- 16.11 Kategorien.- 16.12 Funktoren und Transformationen.- 16.13 Aufgaben.- Notation.