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Es geht ums Geld

In diesem Kapitel geht es um .

• den Zusammenhang zwischen Geld und Zeit,
• die Begriffe Inflation und Deflation und
• die Bedeutung des Barwertes und des Endwertes von Geldbeträgen.

Das Kapitel hat einen eher überblickartigen Charakter. Falls Sie es eilig haben und schnell ans "Eingemachte" wollen, können Sie die Abschnitte Zeit und Geld sowie Inflation und Deflation überspringen. Dagegen sollten Sie den Abschnitt Barwert und Endwert auf jeden Fall lesen, denn hier finden sich wichtige Grundüberlegungen für alles Weitere.

Die Bezeichnung Finanzmathematik kann den Eindruck erwecken, es handle sich dabei um eine besondere Art von Mathematik. Wir bedienen uns jedoch auch in der Finanzmathematik ganz gewöhnlicher mathematischer Methoden und Rechenverfahren. Neben den elementaren Techniken wie dem Potenzieren und dem Logarithmieren werden uns zum Beispiel die Themen Folgen und Reihen beschäftigen, seltener jedoch der Begriff der Funktion. Die Auswahl gerade dieser Techniken und Methoden hat mit dem Betrachtungsgegenstand zu tun, der uns in der Finanzmathematik beschäftigt - dem Geld.

Daher beginnt dieses Buch auch mit einer kurzen Betrachtung der Besonderheiten dieses "obskuren Objektes der Begierde". Welches sind die besonderen Eigenschaften des Geldes, neben den emotionalen Aspekten wie der Gier nach oder der Abscheu vor diesem Stoff, der als Schmiermittel unseres Wirtschaftsgeschehens nicht wegzudenken ist? Betrachten wir dazu den Zusammenhang zwischen Geld und Zeit. "Zeit ist Geld" lautet ein geflügeltes Wort. Was könnte damit gemeint sein? Zum einen der Aspekt, dass jemand, der Zeit auf eine Sache, vielleicht auf ein Hobby, verwendet, darauf verzichtet, in dieser Zeit Geld zu verdienen. Ökonomen sprechen hier von Opportunitätskosten, die dem Hobby angelastet werden müssen. Der Hobbyausüber sollte sich nach dieser Auffassung überlegen, ob ihm seine Freizeitbeschäftigung den Betrag wert ist, den er in der dafür aufgewendeten Zeit anderweitig verdienen könnte. Diesen Aspekt wollen wir hier zwar nicht vertiefen, die Grundidee des entgangenen Nutzens an sich werden wir jedoch des Öfteren aufgreifen. Jeden Euro kann man nur einmal ausgeben, sodass die Entscheidung für das Eine gleichzeitig eine Entscheidung gegen das Andere ist. Im Kapitel 9 Einzelne Investitionsprojekte wird dieser Aspekt eine wichtige Rolle spielen.

1.1 Zeit und Geld

Zunächst jedoch rücken wir einen Gedanken in den Blickpunkt, der sich mit der Wertveränderung des Geldes im Zeitablauf befasst. Für diese Wertveränderung mit fortschreitender Zeit gibt es zwei Gründe:

• Zum einen kennen wir alle die "Gesetzmäßigkeit", mit der die Preise für die Dinge, die wir zum Leben brauchen oder gerne besitzen möchten, immer weiter ansteigen. Die Folge ist, dass wir uns für einen Betrag von beispielsweise 100 ? heute mehr kaufen können als in einem Jahr. Zumindest gilt dies normalerweise, mehr dazu finden Sie in dem Abschnitt Inflation und Deflation.
• Der zweite Grund, aus dem ein Betrag, nehmen wir wieder die 100 Euro von oben, mit der Zeit an Wert verliert, ist indirekter Natur. Es ist so ähnlich wie mit dem Hobby, das Zeit und damit Verdienstmöglichkeit kostet. Die Nichtverfügbarkeit der 100 ? heute ist geleichbedeutend mit dem Verzicht auf die Einnahmen, die man zum Beispiel durch Verleihen der 100 ? erhalten könnte. Dieser Aspekt wird im Abschnitt Barwert und Endwert genauer betrachtet. Dies ist der für alles Weitere wichtigere Gesichtspunkt.

Zusammenfassend können wir sagen, dass Geld "unter Normalbedingungen" mit der Zeit an Wert verliert, es also günstiger ist, früher denn später über einen bestimmten Betrag zu verfügen.

Hinzu kommt, dass Unsicherheitsaspekte und Zufälligkeiten bis jetzt nicht betrachtet wurden. Sie könnten den Effekt noch verstärken nach dem Motto: "Wer weiß, ob ich in einem Jahr noch etwas von meinem Geld habe. Vielleicht lebe ich schon gar nicht mehr". Dies sind jedoch Überlegungen auf individueller Ebene, die für unsere Betrachtungen nicht hilfreich sind, weil wir sie nicht verallgemeinern können und die wir daher außen vor lassen.

Bevor wir gleich die beiden Effekte, die den Wert des Geldes mit der Zeit verändern, genauer unter die Lupe nehmen, sei eine weitere Besonderheit der Finanzmathematik genannt, die sich in der Art zeigt, in der Zahlungsvorgänge ablaufen. Man spricht zwar häufig vom Geldfluss, doch anders als der Begriff Fluss es nahelegt, finden Zahlungsvorgänge nicht stetig, sondern schrittweise statt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt erfolgt eine Zahlung und erst nach Ablauf einer bestimmten Zeitspanne, zum Beispiel nach einem Jahr, erfolgt die nächste Zahlung. Dazwischen geschieht nichts. Statt "nicht stetig" bezeichnen wir ein derartiges Geschehen auch als einen diskreten Ablauf (von lat. discretus = abgesondert). Dieses unstete Wesen der Zahlungsvorgänge ist der Grund, warum in der Finanzmathematik die mathematischen Gebilde der Folgen und der Reihen eine wichtige Rolle spielen.

1.2 Inflation und Deflation

Mit Inflation ist der Kaufkraftverlust des Geldes durch steigende Güterpreise gemeint. Der Begriff stammt aus dem Lateinischen, da heißt inflatio aufschwellen. Wir wollen versuchen, die Auswirkung dieses Effektes in Zahlen zu erfassen. Dazu betrachten wir folgendes Beispiel (falls Sie mit der Prozentrechnung nicht vertraut sind, können Sie sich im Kapitel 12 Prozente und Prozentpunkte einen Überblick verschaffen):

Ein Kilogramm Seltene Erde habe am 1.1.2014 einen Marktwert von 10.000 ?. Die jährliche Inflationsrate nehmen wir mit 10 % an, was zwar ein sehr hoher Wert ist, aber damit lässt sich leicht rechnen. Demnach wird das Kilogramm Seltene Erde am 1.1.2015 zu einem Preis von 11.000 ? zu erwerben sein, denn

Um die Wirkung der Geldentwertung zu erkennen, fragen wir nun danach, welche Menge der begehrten Metalle man am 1.1.2015 für 10.000 ?, also zum Vorjahrespreis eines Kilogramms, noch bekommen würde. Man kommt leicht in Versuchung, ein Zehntel von einem Kilogramm abzuziehen und "900 Gramm" zu antworten. Damit läge man jedoch nicht ganz richtig. Weshalb diese Subtraktion nicht richtig ist, zeigt folgende Überlegung: Würden 900 Gramm 10.000 ? kosten, so bekäme man für jeweils 1.000 ? genau 90 Gramm.

Tabellarisch dargestellt ergäbe sich dem nach dieser Verlauf:

Tabelle 1.1: Mengen und Preise

Das sieht zunächst stimmig aus. Überlegt man jedoch, wie die Tabelle nach oben fortzusetzen wäre, sieht man das Problem:

Es entsteht ein Widerspruch, denn entsprechend unserer Annahme bekommt man für 11.000 ? ja ein ganzes Kilogramm und nicht nur 990 Gramm.

Dieser Widerspruch löst sich auf, wenn man Preis und Menge ins Verhältnis zueinander setzt, also eine Division anstelle der Subtraktion anwendet.

Die 10.000 ? haben also nur noch einen Gegenwert von 909,09 Gramm.

Der Effekt lässt sich allgemein formulieren: Bei einer Inflationsrate von 10 % besitzt ein Geldbetrag nach einem Jahr nur noch das -fache seines ursprünglichen Wertes. In Anlehnung an die gefühlten Temperaturen, die die Meteorologen gerne im Wetterbericht nennen, könnten wir sagen: Ein 100-?-Schein fühlt sich bei einer Inflationsrate von 10 % in einem Jahr so an, als stünde nur noch 90,90 ? darauf.

Den Faktor mit dem wir den ursprünglichen Betrag multipliziert haben, werden wir als Abwertungsfaktor bezeichnen. Die Verallgemeinerung auf andere Inflationsraten fällt nun leicht. Wir müssen lediglich die Zahl im Nenner des Abwertungsfaktors verändern und zum Beispiel 1,02 einsetzen, um die Wirkung einer Inflationsrate von 2 % zu bestimmen. Die Wirkung der Inflation wird besonders eindrücklich, wenn wir die Geldwertentwicklung über längere Zeitspannen betrachten. Wir kommen darauf im Kapitel 5 Rentenrechnung zurück, wollen aber hier schon die Grundidee darstellen. Möchten Sie zum Beispiel die Geldentwertung über drei Jahre bei einer jährlichen Inflationsrate von 2 % bestimmen, so stellt sich die Frage, ob Sie die Inflationsrate von 2 % einfach drei Mal addieren und somit im Nenner des obigen Abwertungsfaktors 1,06 einsetzen können. Dass dies nicht richtig ist, erkennt man leicht durch eine Umkehrung der Betrachtung. Was ist gemeint, wenn man sagt, der Preis für ein Gut steigt jährlich um 2 %? Geht man von einem Ausgangswert, sagen wir 100 ? aus und schlägt jährlich gleichbleibend 2 ? drauf? Oder bezieht sich die Angabe 2 % auf den jeweils aktuellen Preis? Letzteres ist üblicherweise gemeint und wird mathematisch dadurch berücksichtigt, dass man den jeweils erreichten Preis erneut mit 1,02 multipliziert. Die nachfolgende Tabelle verdeutlicht den Sachverhalt.