Kapitel 2

Durch Raum und Zeit

IN DIESEM KAPITEL

• Länge, Fläche, Volumen und Winkel
• Zeit und Frequenz
• Skalare und vektorielle Größen

In vielen Aufgaben ist es notwendig, einfache physikalische Größen wie Flächeninhalt, Volumen, Winkel oder Frequenz berechnen zu können. Im Folgenden daher zunächst eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Formeln, die Sie zum Lösen der Übungsaufgaben benötigen.

Fläche und Volumen

Die einfachste aus der Länge abgeleitete Größe ist die Fläche: . In Abbildung 2.1 sind Formeln für einige häufig vorkommende Flächen aufgelistet.

Abbildung 2.1: Einige geometrische Flächen

Abbildung 2.2: Einige geometrische Volumina

Eine weitere aus der Länge abgeleitete Größe ist das Volumen: . Bei den Vorsilben gilt: ! Eine Besonderheit beim Volumen ist, dass man statt auch Liter sagen kann. Gerade in der Medizin ist es sehr üblich, Volumina in dL, mL (=) oder L (=) anzugeben. Abbildung 2.2 zeigt Formeln für häufig vorkommende Volumina.

Winkel

Winkel werden häufig im Gradmaß angegeben (Vollkreis ). Daneben gibt es auch noch die Angabe im Bogenmaß (Vollkreis ). Bei Winkeln im Bogenmaß schreibt man zur Unterscheidung manchmal die Einheit rad hinter die Zahl.

Bogenmaß und Gradmaß kann man mit Dreisatz leicht ineinander umrechnen:

• Winkel im Bogenmaß = Winkel im Gradmaß
• Winkel im Gradmaß = Winkel im Bogenmaß

Winkel lassen sich auch mit den trigonometrischen Funktionen bestimmen (siehe Abb. 2.3).

Abbildung 2.3: Trigonometrische Funktionen

Periodendauer und Frequenz

Bei periodisch wiederkehrenden Ereignissen nennt man die Anzahl an Perioden pro Zeit Frequenz . Je größer die Periodendauer ist, umso weniger Perioden werden pro Zeit durchlaufen. Periodendauer und Frequenz sind also antiproportional.

Die Einheit der Frequenz ist demnach . Das kürzt man meistens mit Hertz (Hz) ab:

Vektoren

Physikalische Größen werden durch Maßzahl und Einheit beschrieben und für viele Größen ist das auch vollkommen ausreichend (z. B. Zeit, Energie, Temperatur, Druck, Ladung). Solche Größen nennt man skalare Größen. Bei einigen Größen benötigt man, um die Größe vollständig zu beschreiben, zusätzlich noch eine Richtungsangabe (z. B. Strecke, Geschwindigkeit, Kraft). Größen, die zusätzlich noch eine Richtung benötigen, nennt man vektorielle Größen. Vektorielle Größen kann man auch addieren, subtrahieren und multiplizieren (siehe Abb. 2.4). Allerdings muss man hier immer die Richtung der Vektoren mitberücksichtigen. Vektorielle Größen werden mit einem Pfeil über dem Buchstaben dargestellt (). Lässt man den Pfeil weg, meint man nur den Betrag (skalaren Anteil) der Größe ().

Abbildung 2.4: Rechnen mit Vektoren

Übungsaufgaben

Fläche und Volumen

2.1   Als Modell für einen Röhrenknochen dient ein Hohlzylinder mit dem Innenradius und dem Außenradius . Wie groß ist in diesem Modell die Querschnittsfläche für das Knochengewebe?

2.2   Verdoppelt sich der Durchmesser eines kugelförmigen Bronchialkarzinoms, so wird sich das Volumen

1. verdoppeln.
2. vervierfachen.
3. verachtfachen.
4. versechsfachen.
5. halbieren.

2.3   Die Erythrozytenzahl (Erythrozytenkonzentration) in einer Vollblutprobe beträgt . Wie groß ist der Anteil des gesamten Erythrozytenvolumens am Blutvolumen, wenn das mittlere Erythrozytenvolumen (MCV) beträgt.

1. 40%
2. 45%
3. 50%
4. 55%
5. 60%

2.4   Wie hängt der Quotient aus Kugelvolumen und Kugeloberfläche vom Kugelradius ab?

Winkel und Frequenz

2.5   Beim normalsichtigen Erwachsenen beträgt der minimale Winkel, unter dem zwei Punkte gerade noch getrennt wahrgenommen werden können, . Welchen Mindestabstand müssen demnach zwei Punkte auf einem entfernten Blatt (quer zur Blickrichtung) ungefähr haben, damit sie ohne Hilfsmittel getrennt wahrgenommen werden können?

2.6   Welchen Wert hat der Winkel im Bogenmaß ungefähr?

2.7   Wie groß ist die Frequenz , der in der nachstehenden Grafik dargestellten Wechselspannung? (Horizontale Ablenkung: pro Kästchen)

2.8   Die Frequenzen zweier Schwingungen mit der Schwingungsdauer und unterscheiden sich um

2.9   Bei einem Großwindrad mit drei Flügeln überstreicht ein Flügel in einer Sekunde einen Winkel von . Ungefähr wie groß ist die Frequenz des Stroboskopeffekts, der dadurch entsteht, dass die Flügel das Sonnenlicht kurzzeitig abschirmen?

Vektoren

2.10 Welche der nachfolgenden Größen ist eine vektorielle Größe?

1. Druck
2. Impuls
3. Temperatur
4. Leistung
5. Zeit

2.11 Zwei senkrecht aufeinanderstehende Kräfte mit den Beträgen und sollen zu einer Gesamtkraft addiert werden. Wie groß ist deren Betrag?

2.12 Auf einen Körper wirken die drei Kräfte und (siehe Zeichnung). Für die resultierende Kraft gilt dann:

1. zeigt in Richtung -x.
2. zeigt in Richtung +x.
3. zeigt in Richtung -y.
4. zeigt in Richtung +y.
5. .

2.13 Als einfaches Modell eines Unterarms wird ein einarmiger Hebel mit dem Drehpunkt D betrachtet. Die Kraft zieht unter dem Winkel und hält so den Hebel waagrecht. Wie groß ist dann der Betrag der Kraft, die auf den Drehpunkt in x-Richtung wirkt? ; ;

2.14 Bei einem gefiederten Muskel verlaufen die Muskelfasern nicht parallel zur Ansatzsehne, sondern in einem Winkel (Fiederungswinkel). Dadurch können mehr Muskelfasern an der Sehne ansetzen. Wie groß ist in der Zeichnung die auf die Sehne S übertragene Kraft? (; )

2.15 Die Formel zur Berechnung des Drehmoments lautet: . Der Drehmomentsvektor ist daher immer

1. parallel zu und senkrecht zu .
2. parallel zu und parallel zu .
3. senkrecht zu und parallel zu .
4. senkrecht zu und senkrecht zu .
5. parallel zu und antiparallel zu .

2.16 Die Formel zur Berechnung der Arbeit lautet .

Sind die Vektoren und parallel () so gilt:

Lösungen

2.1   (A)

Ein Zylinder hat eine kreisförmige Querschnittsfläche. Für die Kreisfläche gilt . Da es sich um einen Hohlzylinder handelt, muss für die Knochenquerschnittsfläche die innere (leere) Kreisfläche von der äußeren abgezogen werden. Danach kann man noch ausklammern:

(C) ist falsch, weil . (3. Binomische Formel: )

2.2   (C) verachtfachen.

Formel für das Kugelvolumen: . Das Volumen ist also proportional zu : . Verdoppelt sich der Durchmesser (und damit auch der Radius ), gilt:

(D) versechsfachen ist natürlich falsch, aber im Eifer des Gefechts ist bei einigen Studierenden leider manchmal gleich . Aufpassen!

2.3   (B) 45%

In einem Liter Vollblut sind Erythrozyten mit einem Volumen von jeweils enthalten. Für das gesamte Erythrozytenvolumen gilt daher:

.

Der Anteil dieses Erythrozytenvolumens an dem einen Liter (1000?mL) Vollblut errechnet sich dann zu:

2.4   (D)

Formel für das Kugelvolumen: . Formel für die Kugeloberfläche: . Daraus folgt:

Der Quotient aus Kugelvolumen und -oberfläche ist daher proportional zum Kugelradius.

2.5   (E)

Für die Definition des Winkels im Bogenmaß gilt mit Bogenstück und Kreisradius . Der Winkel, unter dem die zwei Punkte vom Auge aus gesehen werden,...