Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau

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Einleitung und Übersicht

1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren

Für Tragwerke des Bauwesens ist die Trag- und Lagesicherheit sowie die Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen, siehe z. B. DIN 18800 Teil 1. Da die Bauteile im Stahlbau in der Regel schlank und dünnwandig sind, haben Tragsicherheitsnachweise für stabilitätsgefährdete Konstruktionen bezüglich Biegeknicken, Biegedrillknicken und Plattenbeulen große Bedeutung und bilden daher einen wichtigen Schwerpunkt in statischen Berechnungen. In diesem Zusammenhang ist die Ermittlung von Schnittgrößen, Verformungen und Verzweigungslasten eine zentrale Aufgabe, deren Lösung in dem vorliegenden Buch mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode (FEM) behandelt wird.

Die Berechnungen und Nachweise müssen die gesetzlichen Anforderungen erfüllen und dem Stand der Technik entsprechen. Für Stahlkonstruktionen sind die Grundnorm DIN 18800 und die entsprechenden Fachnormen bzw. der Eurocode 3 zu beachten. Tabelle 1.1 enthält eine Zusammenstellung der Nachweisverfahren nach DIN 18800 und der Nachweise, wie sie üblicherweise geführt werden. Der Eurocode 3 enthält vergleichbare Regelungen.

Tabelle 1.1 Nachweisverfahren nach DIN 18800 und übliche Nachweise

Die Verwendung eines Nachweisverfahrens setzt voraus, dass die einzelnen Querschnittsteile (Stege und Gurte) die Druckspannungen aufnehmen können, so dass kein Beulen auftritt und eine ausreichende Rotationskapazität vorhanden ist. Hilfen für die Überprüfung der b/t-Verhältnisse finden sich in Profiltabellen, s. z. B. [30]. Sofern nur Längsnormal- und Schubspannungen auftreten, ist . Der Nachweis der Vergleichspannung (Nachweisverfahren Elastisch-Elastisch) ist nur erfordaher andere derlich, wenn σ/σR,d und τ/ τ R,d > 0,5 sind. Vollplastische Schnittgrößen für Walzprofile finden sich in den Profiltabellen [30], Interaktionsbedingungen und Nachweise mit dem Teilschnittgrößenverfahren in [30] und [27].

Der Index „d“ bei Sd und Rd in Tabelle 1.1 kennzeichnet, dass die Beanspruchungen mit den Bemessungswerten der Einwirkungen zu berechnen sind und es sich um die Bemessungswerte der Beanspruchbarkeiten handelt. Auf die Berechnung der Beanspruchungen und Beanspruchbarkeiten wird im Abschnitt 1.5 „Lineare und nichtlineare Berechnungen“ näher eingegangen.

1.2 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung

Bekanntlich können die Schnittgrößen in statisch bestimmten Systemen mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen und Schnittprinzipien ermittelt werden. Dies ist bei statisch unbestimmten Systemen nicht möglich und man benötigt daher andere Lösungsverfahren, wie z. B. das Kraftgrößenverfahren, das das klassische Verfahren der Baustatik ist. Es ist für die Handrechnung gut geeignet und sehr anschaulich, da es dem ingenieurmäßigen Verständnis unmittelbar zugänglich ist. Der Nachteil ist jedoch, dass man für die unterschiedlichen baustatischen Systeme stets einen neuen Lösungsansatz entwickeln muss und es darüber hinaus für viele Aufgabenstellungen gänzlich ungeeignet ist.

Bild 1.1 Unbekannte Größen beim Kraftgrößen-, Weggrößen- und Übertragungsmatrizenverfahren für ein ausgewähltes Beispiel

Bild 1.1 zeigt als Beispiel einen einfach unbestimmten Biegeträger. Beim Kraftgrößenverfahren muss daher eine unbekannte Kraftgröße bestimmt werden. Danach kann der Momentenverlauf unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen bestimmtwerden. Ausgangspunkt des Verfahrens ist stets die Wahl eines statisch bestimmten Hauptsystems. Da man dabei mehrere Möglichkeiten hat, sind die beiden Systeme in Bild 1.1 ausgewählte Beispiele.

Bei allgemeiner Betrachtung unterscheidet man drei Verfahren für die Schnittgrößenermittlung:

• Kraftgrößenverfahren
• Weggrößenverfahren → FEM
• Übertragungsmatrizenverfahren → FEM

Darüber hinaus gibt es zu den drei Verfahren noch zahlreiche Varianten, auf die hier nicht näher eingegangen werden soll. Während beim Kraftgrößenverfahren die Kraftgrößen die Unbekannten des entstehenden Gleichungssystems sind, sind es beim Weggrößenverfahren die Weggrößen, d. h. die Verschiebungen und Verdrehungen, weshalb es auch Verformungsgrößenverfahren genannt wird. Wenn man die baustatischen Systeme in Finite Elemente (z. B. Stabelemente bzw. -abschnitte) einteilt, ist das Weggrößenverfahren in hervorragender Weise für eine verallgemeinerte Formulierung geeignet und daher universell in einem weiten Anwendungsbereich einsetzbar. Ingenieurmäßig anschaulich ist es nicht und es ist stark mathematisch-mechanisch ausgerichtet, weil große Datenmengen zu verarbeiten und große Gleichungssysteme zu lösen sind. Dies hängt natürlich vom statischen System und der FE-Modellierung ab und ist hier daher im Vergleich zum Kraftgrößenverfahren gemeint.

Bild 1.1 zeigt beispielhaft die Anwendung des Weggrößenverfahrens. Unbekannte Größen sind bei diesem Verfahren die Verformungsgrößen in den Knoten, d. h. beim untersuchten Biegeträger die Verschiebung w und die Verdrehung φ. Pro Knoten treten also zwei Unbekannte auf. Für das Beispiel ergeben sich dann unter Berücksichtigung der geometrischen Randbedingungen eine bzw. 19 Unbekannte. Bei der FE-Modellierung mit zehn Elementen treten relativ viele Unbekannte auf (19). Vorteilhaft ist dabei aber, dass keine weiteren Handrechnungen erforderlich sind, weil verfahrensbedingt alle Zustandsgrößen (Biegemomente, Querkräfte, Durchbiegungen, Verdrehungen) in den Knoten, d. h. praktisch im gesamten Träger, berechnet werden.

Aufgrund des numerischen Aufwandes ist die weite Verbreitung der FEM unter Verwendung des Weggrößenverfahrens eng mit der stürmischen Entwicklung leistungsfähiger Computer verbunden. Noch bis etwa 1985 war es eine wichtige Aufgabe, Tragwerke so durch finite Elemente zu modellieren, dass der begrenzte Speicherplatz ausreichte und Rechenzeiten nicht ausuferten. Heutzutage sind derartige Überlegungen nur noch bei außergewöhnlichen Tragwerken und Berechungen von Bedeutung. Andererseits stellt man häufig bei statischen Berechnungen fest, dass mit übertrieben feinen FE-Modellierungen oder ungeeigneten Finiten Elementen „überflüssig viel Papier erzeugt wird“. Wie Bild 1.1 zeigt kann es durchaus sinnvoll sein Einfeldträger mit einem FEM-Programm zu berechnen, weil vom Programm direkt alle Größen für die erforderlichen Nachweise ermittelt werden und man mit geringem Aufwand die entsprechenden Seiten für die statische Berechnung ausdrucken kann.

Als drittes Verfahren ist in der obigen Aufzählung das Übertragungsmatrizenverfahren aufgeführt. Es wird auch Reduktionsverfahren genannt und eignet sich für durchgehende Stabzüge, wie z. B. Durchlaufträger, die auch Knicke enthalten können. Unbekannte des entstehenden Gleichungssystems sind die unbekannten Schnittund Weggrößen am Beginn des Stababzuges (siehe auch Bild 1.1), so dass sich bei Stäben maximal sieben Unbekannte ergeben. Entsprechend gering ist der Bedarf an Speicherplatz und Rechenzeit, was wie bereits oben erwähnt bis etwa 1985 von großer Bedeutung war. Man hat mit dem Übertragungsmatrizenverfahren früher häufig z. B. Vollwandträgerbrücken bemessen, da sich selbst bei Durchlaufträgern über mehrere Felder nur zwei Unbekannte ergeben (Hauptträger, Abtragung der Vertikallasten). EDV-Programme, die das Übertragungsmatrizenverfahren verwenden, sind heutzutage selten. Das Verfahren findet sich aber durchaus in aktuellen FEM-Programmen für Stäbe und Stabwerke, wobei jedoch zuerst mit einer relativ groben Einteilung in Finite Elemente nach dem Weggrößenverfahren gerechnet wird. Anschließend werden die einzelnen Stäbe meist in fünf bis zehn Elemente aufgeteilt und detaillierter mit dem Übertragungsmatrizenverfahren untersucht. Weitere Einzelheiten zum Übertragungsmatrizenverfahren finden sich in Abschnitt 3.13.

1.3 Elementtypen und Anwendungsbereiche

Bei Berechnungen mit der FEM werden Tragwerke durch möglichst zutreffende baustatische Systeme (Stabwerke, Platten, Scheiben usw.) idealisiert und dann in geeigneter Weise in finite Elemente eingeteilt, s. Bild 1.3. Man unterscheidet:

Bild 1.2 Elementtypen und mögliche Knotenfreiwerte

• Linienelemente (gerade oder gekrümmt)
• Flächenelemente (eben oder gekrümmt)
• Volumenelemente...