Unter "Begründung der Funktionentheorie" verstehen wir die auf möglichst elementarem Weg gewonnene Darstellung einer Funktion f(z) == u(x, y) + iv(x, y) von z == x + yi durch gewöhnliche Potenzreihen, wenn über f(z) gewisse möglichst elementare Voraussetzungen gemacht werden. Diese können sehr verschiedener Art sein. Während aber wohl alle Lehrbücher der Funktionentheorie nur einen der beiden "klassi schen" Wege verfolgen, bei denen die Existenz der Ableitung f'(z) (GOURSAT) oder deren Existenz und Stetigkeit (CAUCHY) den Ausgangs punkt bildet, werden hier außer jenen beiden noch vier andere Wege bis zu dem genannten Endziel gebahnt. Einer von ihnen (MORERA. 1901, § 26) wird hauptsächlich nur aus historischem Interesse durchgeführt. Die drei anderen rühren in der vorliegenden Gestalt vom Verfasser her und gehen von geringeren Voraussetzungen aus als GOURSAT. Nur einer von ihnen war schon in der Schrift "Kurvenintegrale und Begründung der Funktionentheorie", Springer-Verlag 1948, ent· halten. Wichtige Teile der Funktionentheorie beginnen erst nach der Be gründung, wenn man also schon im Besitz der Potenz reihen für f (z) ist. Auf diese Teile gehen wir nicht mehr ein, da wir ja nicht ein "Lehrbuch der Funktionentheorie", sondern gewissermaßen nur den Anfang eines solchen auf sehr verschiedenen Wegen liefern wollen. Abschnitt A bringt Vorkenntnisse, die unmittelbar oder mittelbar wirklich benutzt werden, und zwar mit Beweisen der angeführten Sätze. Auch werde ausdrücklich betont, daß außer Kreisen keine gekrümmten ebenen Linien und über solche erstreckten Integrale bei uns auftreten.
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Verlagsort
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Illustrationen
11
11 s/w Abbildungen
11 Abb.
Dateigröße
ISBN-13
978-3-662-01272-7 (9783662012727)
DOI
10.1007/978-3-662-01272-7
Schweitzer Klassifikation
A. Vorkenntnisse.- § 1. Unendliche Folgen.- § 2. Unendliche Reihen.- § 3. Reelle Funktionen f(x) einer reellen Veränderlichen x.- § 4. Bestimmtes Integral
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$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\text{ }}dx$$.- § 5. Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze und das unbestimmte Integral.- § 6. Paare von reellen Veränderlichen x,y.- § 7. Reelle Funktionen f(x,y) der reellen Veränderlichen x,y.- § 8. Totale und partielle Differenzierbarkeit einer Funktion f(x,y).- § 9. Treppenintegral
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$$\int\limits_{a,\alpha }^{b,\beta } {\left( {f\left( {x,y} \right)dx + g\left( {x,y} \right)dy} \right)} $$.- § 10. Flächenintegral einer Funktion f(x,y).- § 11. Gausssche Sätze über Flächenintegral und Randintegral.- § 12. Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen z ? x + yi.- § 13.Komplexe Treppenintegrale
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$$\int\limits_{{z_0}}^z {f\left( z \right)} {\text{ }}dz$$.- § 14. Potenzreihen und ihr Konvergenzkreis.- § 15. Eindeutigkeit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Potenzreihe.- § 16. Gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe.- B. Sechs verschiedene Wege zur Begründung der Funktionentheorie.- I. Definition der "analytischen Funktion".- II. Die Wege von Cauchy 1814 und Goursat 1900.- III. Der Weg von Looman-Menchoff 1933.- IV. Ältere Wege bei Voraussetzung eindeutiger Integrierbarkeit von f(z).- V. Der einfachste Weg bei Voraussetzung eindeutiger Integrierbarkeit von f(z) 1936.- VI. Ein neuer Weg unter Benutzung von Polarkoordinaten 1951.- VII. Vergleich der Voraussetzungen in Kap. II-VI.- C. Originalliteratur zur Geschichte der Begründung der Funktionentheorie.- Lehrwerke der Funktionentheorie.- Verzeichnis der benutzten Begriffe.
