Kapitel Zwei

Zur Struktur raumzeitlicher Singularitäten

Roger Penrose

In seinem ersten Vortrag hat Stephen Hawking die Singularitätentheoreme diskutiert. Im Wesentlichen besagen sie, dass unter vernünftigen (globalen) Bedingungen die Existenz von Singularitäten erwartet werden muss. Über deren Natur und tatsächliches Vorkommen schweigen sich die Theoreme aus. Da sie andererseits von sehr allgemeiner Beschaffenheit sind, drängt sich die Frage nach der geometrischen Natur einer raumzeitlichen Singularität auf. Üblicherweise nimmt man an, dass sich eine Singularität durch eine divergierende Krümmung auszeichnet. Allerdings entspricht dem nicht genau, was aus den Singularitätentheoremen folgt.

Singularitäten treten beim Urknall auf, bei Schwarzen Löchern und beim Endknall (der selbst als eine Vereinigung von Schwarzen Löchern angesehen werden kann). Sie mögen auch als nackte Singularitäten in Erscheinung treten. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage nach der sogenannten Kosmischen Zensur, worunter man die Hypothese von der Nichtexistenz nackter Singularitäten versteht.

Um die Vorstellung von der Kosmischen Zensur zu erklären, will ich ein wenig auf die Geschichte dieses Themas eingehen. Das erste explizite Beispiel einer Lösung der Einstein-Gleichungen, das ein Schwarzes Loch beschreibt, war die kollabierende Staubwolke von Oppenheimer und Snyder (1939). Bei ihr befindet sich im Innern eine Singularität, doch da sie vom Ereignishorizont umgeben ist, kann man sie von außen nicht sehen. Dieser Horizont ist die Fläche, innerhalb deren von Ereignissen keine Signale ins Unendliche gelangen können. Die Annahme lag nahe, dass dieses Bild generisch ist, also den allgemeinen Gravitationskollaps beschreibt. Das Oppenheimer-Snyder-Modell besitzt allerdings eine spezielle Symmetrie (nämlich sphärische Symmetrie), und es bleibt unklar, ob es tatsächlich repräsentativ ist.

Da die Einstein-Gleichungen im Allgemeinen schwer zu lösen sind, sucht man stattdessen nach globalen Eigenschaften, aus denen die Existenz von Singularitäten folgt. Beispielsweise besitzt das Oppenheimer-Snyder-Modell eine gefangene Fläche, die dadurch gekennzeichnet ist, dass ihre Oberfläche entlang von Lichtstrahlen, die anfänglich orthogonal zu ihr verlaufen, abnimmt (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Das Oppenheimer-Snyder-Modell einer kollabierenden Staubwolke, das eine gefangene Fläche veranschaulicht.

Man könnte zu zeigen versuchen, dass die Existenz einer gefangenen Fläche die Existenz einer Singularität nach sich zieht. (Das war das erste Singularitätentheorem, das ich beweisen konnte, wobei ich vernünftige kausale Eigenschaften, aber keine sphärische Symmetrie annahm; siehe Penrose 1965.) Ähnliche Ergebnisse lassen sich ableiten, wenn man die Existenz eines konvergierenden Lichtkegels annimmt (Hawking und Penrose 1970; ein solcher Fall liegt vor, wenn alle Lichtstrahlen, die von einem Punkt aus in verschiedene Richtungen ausgesandt werden, zu einem späteren Zeitpunkt beginnen, sich anzunähern).

Stephen Hawking (1965) bemerkte schon sehr früh, dass man mein ursprüngliches Argument im Rahmen der Kosmologie umdrehen, also auf die zeitumgekehrte Situation anwenden kann. Eine umgedrehte gefangene Fläche führt dann dazu, dass es in der Vergangenheit eine Singularität gegeben haben muss (sofern man geeignete Kausalitätsannahmen trifft). Die (zeitumgekehrte) gefangene Fläche ist in diesem Fall sehr groß, nämlich von kosmologischen Ausmaßen.

Wir wollen uns hier hauptsächlich mit dem Fall eines Schwarzen Loches befassen. Wir wissen, dass es irgendwo eine Singularität geben muss, doch um ein Schwarzes Loch zu erhalten, müssen wir zeigen, dass sie von einem Ereignishorizont umgeben ist. Das ist genau das, was die Hypothese von der Kosmischen Zensur annimmt, die im Wesentlichen besagt, dass man die Singularität von außen nicht sehen kann. Insbesondere folgt aus ihr, dass es ein Gebiet gibt, aus dem keine Signale nach außen ins Unendliche abgestrahlt werden können. Der Rand dieses Gebietes ist der Ereignishorizont. Wir können auf diesen Rand auch ein Theorem aus Stephens letzter Vorlesung anwenden, da es sich beim Ereignishorizont um den Rand der Vergangenheit des lichtartig Zukunftsunendlichen handelt. Wir wissen also, dass dieser Rand

• dort, wo er glatt ist, eine Nullfläche sein muss, die von Nullgeodätischen erzeugt wird;

• Nullgeodätische ohne Ende in der Zukunft enthalten muss, die von jedem Punkt ausgehen, an dem er nicht glatt ist,

  und dass

• die Oberfläche von räumlichen Querschnitten nie mit der Zeit abnehmen kann.

Tatsächlich gelang auch der Nachweis (Israel 1967, Carter 1971, Robinson 1975, Hawking 1972), dass sich eine solche Raumzeit in der Zukunft der Kerr-Raumzeit asymptotisch annähert. Das ist ein bemerkenswertes Ergebnis, da es sich bei der Kerr-Metrik um eine sehr schöne exakte Lösung der Vakuum-Einstein-Gleichungen handelt. Dieser Punkt spielt auch eine wichtige Rolle für die Entropie Schwarzer Löcher, und ich werde in meiner nächsten Vorlesung (Kapitel 4) darauf zurückkommen.

Wir haben also in der Tat etwas, das der Oppenheimer-Snyder-Lösung qualitativ ähnelt. Es gibt jedoch einen vergleichsweise unbedeutenden Unterschied - statt mit der Schwarzschild-Lösung enden wir mit der Kerr-Lösung. Die wesentlichen Züge bleiben erhalten.

Die genaue Diskussion basiert jedoch auf der Hypothese von der Kosmischen Zensur. Diese ist in der Tat von großer Wichtigkeit, da die gesamte Theorie auf ihr beruht; ohne sie sähen wir womöglich statt eines Schwarzen Loches schreckliche Dinge. Wir müssen uns also tatsächlich fragen, ob diese Hypothese wahr ist. Vor langer Zeit dachte ich, dass sie falsch sein könnte, und stellte verschiedene Versuche an, um Gegenbeispiele zu finden. (Stephen Hawking behauptete einmal, der überzeugendste Hinweis auf die Gültigkeit der Hypothese von der Kosmischen Zensur sei die Tatsache, dass ich bei dem Versuch, sie zu widerlegen, gescheitert bin - was meiner Meinung nach aber ein sehr schwaches Argument ist!)

Ich möchte die Kosmische Zensur im Zusammenhang mit bestimmten Ideen diskutieren, die ideale Punkte für Raumzeiten betreffen. (Diese Begriffe gehen auf Seifert 1971 sowie Geroch, Kronheimer und Penrose 1972 zurück.) Die grundlegende Idee dabei ist, dass man vorhandene »singuläre Punkte« und »Punkte im Unendlichen« als sogenannte ideale Punkte zur Raumzeit hinzufügt. Ich will zunächst den Begriff des IP (vom englischen »indecomposable past-set«) einführen, das ist eine unzerlegbare Vergangenheitsmenge. Eine »Vergangenheitsmenge« ist eine Menge, die ihre eigene Vergangenheit enthält, und »unzerlegbar« bedeutet, dass sie nicht in zwei Vergangenheitsmengen zerlegt werden kann, die beide die andere jeweils nicht enthalten. Es gibt ein Theorem, wonach sich jedes IP auch als die Vergangenheit einer zeitartigen Kurve beschreiben lässt (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Vergangenheitsmengen, PIPs und TIPs.

Es gibt zwei Kategorien von IPs, sogenannte PIPs und TIPs. Bei einem PIP handelt es sich um ein eigentliches (englisch »proper«) IP, welches die...