2. Funktionen
Im einfachsten Fall einer Funktion werden zwei Größen einander zugeordnet.
Abhängigkeiten ergeben sich zum Beispiel
Preis P einer Ware zu deren Menge M:
M P
Fahrzeit t eines Fahrzeugs zur Strecke s:
s t
Note N einer Prüfungsarbeit zu den erzielten Punkten P:
P N usw.
So ist im letzten Beispiel die Note eine abhängige und die Punktezahl eine unabhängige Variable.
Definition:
Eine Funktion ordnet jedem Wert einer unabhängigen Variable x genau einen Funktionswert f(x) zu:
f: x f(x)
In der Abbildung wird jeder Person genau eine Zahl zugeordnet, nämlich die Anzahl der Geschwister dieser Person.
Damit wird jeder Person genau ein Wert zugeordnet,
was obiger Definition entspricht.
Beispiele für Funktionsterme mit ihren Graphen:
2.1 Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge aller unabhängigen Variablen, für die eine Funktion definiert ist.
Elemente der Definitionsmenge sind die x-Werte.
Im Beispiel B1 gilt:
Diese Hyperbel-Funktion ist für alle reellen x-Werte definiert, außer für die Zahl Null.
2.2 Wertebereich
Der Wertebereich ist die Menge aller Funktionswerte, die aus den Elementen des Definitionsbereichs entstehen. Elemente der Wertemenge sind die y-Werte.
Im Beispiel B4 gilt:
Diese Funktion kann nur y-Werte zwischen -1 und +1 annehmen.
Aufgaben:
A1. Gib den Definitions- und den Wertebereich der Funktion f(x) = x2 + 2x - 3 an.
A2. Gib den Definitions- und den Wertebereich der Funktion an.
2.3 Achsenschnittpunkte
2.3.1 Schnitt mit der x-Achse
Zur Berechnung des Schnitts einer Funktion mit der x- Achse wird f(x) = y = 0 gesetzt, womit sich die sogenannten Nullstellen ergeben.
Beispiel:
B5. Wo schneidet der Graph der Funktion f: x - 0,5x + 2,5 die x-Achse?
y = - 0,5x + 2,5 = 0 x = 5
Nullstelle N(5;0)
2.3.2 Schnitt mit der y-Achse
Für die Bestimmung dieser Schnittpunkte wird x = 0 gesetzt:
Beispiele:
B6. Wo schneidet der Graph der Funktion f: x - 0,5x + 2,5 die y-Achse?
Mit x = 0 gilt y = 2,5
Schnittpunkt Y(0;2,5)
B7. Die Achsenschnittpunkte des Funktionsterms y = x4 - 5x2 + 6 = 0.sind zu berechnen.
Für den Schnitt mit der x-Achse wird zuerst gesetzt:
Aufgaben:
A3. Bestimme die Achsenschnittpunkte des Graphen der Funktion f: x 4 - x2.
A4. Berechne die Achsenschnittpunkte des Funktionsterms
2.4 Symmetrie
2.4.1 Achsensymmetrie zur Ordinate
Aus folgt Achsensymmetrie zur y-Achse.
2.4.2 Punktsymmetrie zum Ursprung
Mit gilt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Beispiele:
B8. Welche Symmetrie weist die Funktion f: x 0,5x2 +1 auf?
f(-x) = 0,5(-x)2 +1 = 0,5x2 +1 = f(x)
? Achsensymmetrie zur Ordinate
B9. Bestimme das Symmetrieverhalten des Funktionsterms f(x) = x3 - x.
B10. Weist der Funktionsterm f(x) = 2x - 2 eine Symmetrie auf?
f(-x) = 2(-x) - 2 = - 2x - 2 ? f(x) ? - f(x)
? kein Symmetrieverhalten zur Ordinate oder zum Ursprung
2.4.3 Symmetrie zu beliebiger Achse
Gilt die Beziehung mit einem beliebigen h > 0, dann ist die Gerade xo die Gleichung der senkrechten Symmetrieachse.
Durch die Verschiebung des Graphen um den gleichen Wert nach links und nach rechts, lässt sich die Symmetrieachse ermitteln.
Beispiel:
B11. Verläuft die Funktion f: x x2 - 4x + 4 symmetrisch zur Achse xo = 2?
Die beiden Ergebnisse sind identisch, womit gezeigt ist, dass x0 = 2 die Symmetrieachse ist.
2.4.4 Punktsymmetrie zu beliebigem Zentrum
Eine Punktsymmetrie liegt vor, wenn für einen Punkt P(x0;y0) gilt:
Beachte die unterschiedlichen Vorzeichen!
Beispiel:
B12. Ist die Funktion symmetrisch zum Punkt P(1;1)?
Wegen der Identität der beiden Ergebnisse liegt Punktsymmetrie zum Zentrum P(1;1) vor.
Aufgaben:
A5. Bestimme das Symmetrieverhalten der Funktion mit dem Term f(x) = -x5 + 2x3 - x
A6. Welche Symmetrie weist die Funktion
A7. Zeige, dass der Graph der Funktion f(x) = x2 · (x + 2)2 symmetrisch zur Achse x = -1 ist.
A8. Ist die Funktion mit dem Term f(x)= x3 + 3x2 symmetrisch zum Punkt P(-1;2)?
2.5 Periodizität
Definition:
Eine reelle Zahl p heißt Periode, wenn gilt:
Beachte:
Das Bogenmaß p entspricht dem Winkelmaß 180°.
Beispiele:
Hinweis:
Während Sinus und Cosinus die Periode 2p aufweisen, gilt für den Tangens die Periode p.
2.6 Grenzwerte
Der Limes bzw. Grenzwert an einer bestimmten Stelle einer Funktion bezeichnet den Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung einer nicht definierten Stelle annähert.
Beispiele:
Hinweis:
Um den Grenzwert leichter zu bestimmen, können Bruchterme durch die Variable mit der höchsten Potenz dividiert werden. Im Beispiel 16 durch x, im Beispiel 17 durch x2.
B17. Bestimme den Grenzwert der Funktion
Der Bruchterm wird durch x2 dividiert:
da sehr große x-Werte im Nenner eines Bruches, diesen Bruch vernachlässigbar klein werden lassen.
Wichtig!
Ein Bruchterm mit dem Nenner Null ist nicht definiert!
Aufgaben:
A9. Bestimme den Grenzwert der Funktion
A10. Welchem Wert nähert sich die Funktion
im Unendlichen an?
Beispiel:
B18. Der Funktionsterm ist im an der Stelle x0 = 2 nicht definiert.
1. Annäherung an den Wert 2 von links (-):
2. Annäherung von rechts (+) an den Wert 2:
Hinweis:
Die Annäherung von links an einen Wert a kann mit a- oder mit a-0 und die Annäherung von rechts mit a+ oder a+0 formalisiert werden.
2.6.1 Grenzwertberechnungen
2.6.1.1 Termumformung
Diese Variante kann angewandt werden, wenn sich ein Bruchterm kürzen lässt. Nach dem Kürzen kann die Variable x mit der Definitionslücke gleichgesetzt werden.
2.6.1.2 Die "h-Methode"
Diese Methode ist in der Differentialrechnung von großer Bedeutung.
Ein winziger Wert h nähert sich dabei immer mehr der Zahl Null an.
Beispiele:
B19. Berechne den Grenzwert des Funktionsterms
B20. Berechne den Grenzwert des Funktionsterms
Aufgaben:
A11. Berechne den Grenzwert des Funktionsterms an der Definitionslücke 4.
A12. Bestimme den Grenzwert des Funktionsterms an der Definitionslücke -1.
A13. Errechne den Grenzwert des Funktionsterms an der Definitionslücke 2.
A14. Bestimme die Grenzwerte des Funktionsterms an der Definitionslücke 0.
2.6.2 Grenzwertsätze
Beispiele:
B21. Bestimme den Grenzwert der Funktion
B22. Berechne den Grenzwert der Funktion
Hinweis:
Die im Beispiel 22 genutzte Möglichkeit der Division durch x wurde bereits in den Beispielen 16 und 17 angewandt und erläutert.
Aufgaben:
A15. Bestimme den Grenzwert des Funktionsterms
A16. Ermittle den Grenzwert des Funktionsterms
2.7 Stetigkeit
Definition:
Eine Funktion f heißt stetig an x0, wenn
Beispiel:
Hinweis:
Der Stelle x = c werden zwei verschiedene
Funktionswerte...
