Brückenkurs Mathematik

Name: Brückenkurs Mathematik | Fit für Mathematik im Studium
Brand: De Gruyter Oldenbourg
Price: 32.95 EUR
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Fit für Mathematik im Studium

Jan Peter Gehrke(Autor*in)

De Gruyter Oldenbourg (Verlag)

3. Auflage

Erschienen am 4. September 2014

XVI, 454 Seiten

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Inhalt

Intro
Vorworte
I Einführung
I.1 Ein paar Beispiele
I.2 Interpretation von Schaubildern
I.3 Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten
I.4 Der Begriff der Funktion
I.5 Einteilung des Zahlenstrahls - Intervalle
II Lineare Funktionen
II.1 Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem
II.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem
II.3 Die Hauptform der Geradengleichung
II.4 Die gegenseitige Lage von Geraden
II.5 Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden
II.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen
II.5.2 Zueinander orthogonale Geraden
II.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden
III Quadratische Funktionen
III.1 Die Binomischen Formeln
III.1.1 Die 1. Binomische Formel
III.1.2 Die 2. Binomische Formel
III.1.3 Die 3. Binomische Formel
III.1.4 Der Weg zurück - Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang
III.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen
III.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF)
III.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück - There and back again
III.2.3 Scheitelermittlung durch "Absenken"
III.3 Die Herleitung der Mitternachtsformel
III.4 Der Umgang mit Parabelscharen - Grundlagen Parameterfunktionen
III.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen
IV Grundlagen Potenzfunktionen
IV.1 Potenzfunktionen - Definition und ein paar Eigenschaften
IV.1.1 Parabeln n-ter Ordnung
IV.1.2 Hyperbeln n-ter Ordnung
IV.2 Die Potenzgesetze
IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind
IV.2.2 Das "nullte" Potenzgesetz und noch eine Definition
IV.2.3 Das erste Potenzgesetz
IV.2.4 Das zweite Potenzgesetz
IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz
IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz
IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz
IV.2.8 Rationale Hochzahlen
IV.2.9 Rechnen ohne Klammern - Vorfahrtsregeln beim Rechnen
IV.3 Rechnen mit Wurzeln - Einfache Wurzelgleichungen
IV.4 Die Logarithmengesetze
V Ganzrationale Funktionen - Eine Einführung
V.1 Definition und Grenzverhalten
V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen
V.3 Noch mehr Symmetrie - Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten
V.4 Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert
V.4.2 Das Horner-Schema
V.4.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen
V.5 Das Baukastenprinzip - Zusammengesetzte Funktionen
V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen
V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen
V.6 Den Überblick behalten - Gebietseinteilungen vornehmen
V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen
V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und den zugehörigen Rechenregeln
V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und IV
V.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen - Jetzt wird's kritisch!
V.7.4 Betragsgleichungen
VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen
VI.1 Grundlagen
VI.1.1 Ein paar Spielregeln zu Beginn
VI.1.2 Darstellungsformen von Folgen
VI.1.3 Die Definition der Monotonie
VI.1.4 Der Nachweis der Monotonie
VI.1.5 Beschränktheit
VI.2 Der Grenzwert einer Folge
VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes
VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe
VI.3 Die Grenzwertsätze
VI.3.1 Die 3 Grenzwertsätze
VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen
VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen
VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen
VI.4.1 Arithmetische Folgen I - Ein paar Grundlagen
VI.4.2 Geometrische Folgen I - Ein paar Grundlagen
VI.5 Die vollständige Induktion - Ein mächtiges Beweisverfahren
VI.5.1 Arithmetische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder
VI.5.2 Geometrische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder
VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen
VI.6 Ein Test alles Gelernten - Die Fibonacci-Zahlenfolge
VI.6.1 Einführung und historischer Abriss
VI.6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge - Grundlagen
VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe
VI.6.4 Der Goldene Schnitt
VI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel
VII Einführung in die Differentialrechnung
VII.1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten
VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung
VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten
VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln
VII.3.1 Die Summenregel
VII.3.2 Die Faktorregel
VII.3.3 Die Produktregel
VII.3.4 Die Quotientenregel
VII.3.5 Die Kettenregel
VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen
VII.4.1 Extrempunkte
VII.4.2 Wendepunkte
VII.4.3 Neu und alt - Ableitung trifft Parameter
VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle
VII.5.1 Stetigkeit - Ohne Sprung ans Ziel
VII.5.2 Differenzierbarkeit - Knickfrei durch's Leben
VII.5.3 Monotonie - Wo geht's denn hin?
VII.5.4 Die Wertetabelle - Eine oft ignorierte Zeichenhilfe
VII.6 Die Kurvendiskussion - Gesamtübersicht mit Beispiel
VIII Über das Lösen linearer Gleichungssysteme
VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen
VIII.1.1 Das Gleichsetzungsverfahren
VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren
VIII.1.3 Das Additionsverfahren
VIII.1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS
VIII.2 LGS mit 3 und mehr Unbekannten
VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren
VIII.2.2 Gibt es Lösungen - und wenn ja wie viele?
VIII.3 LGS und Funktionen - Bestimmung ganzrationaler Funktionen
IX Mit Brüchen muss man umgehen können - Gebrochenrationale Funktionen
IX.1 Grundlagen - Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen
IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen
IX.3 Ein paar Besonderheiten - Definitionslücken und Asymptoten
IX.4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen
X Trigonometrische Funktionen
X.1 Grundlagen und Ableitungsregeln
X.1.1 Definition und Beispiele
X.1.2 Vom Einheitskreis zur Funktion
X.1.3 Das Bogenmaß
X.1.4 Andere Winkel
X.1.5 Der Sinussatz
X.1.6 Der Kosinussatz
X.1.7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis
X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen - Ein wenig Nostalgie bei der Herleitung
X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen
X.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus)
XI Wachsen ist schön - Exponentialfunktionen
XI.1 Grundlagen
XI.2 Ableiten von Exponentialfunktionen
XI.3 Wachstum
XI.3.1 Lineares Wachstum
XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum
XI.3.3 Beschränktes Wachstum
XI.3.4 Logistisches Wachstum
XI.4 Die Grenzen erfahren - Grenzwertuntersuchung mit L'Hospital
XII Die Ableitung der Umkehrfunktion
XII.1 Was ist eine Umkehrfunktion? - Grundlagen und Begriffe
XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen
XII.2.1 Implizites Differenzieren
XII.2.2 Ableiten von Umkehrfunktionen mit der Kettenregel
XIII Integralrechnung
XIII.1 Schritt für Schritt zum Ziel - Ober- und Untersumme
XIII.1.1 Ober- und Untersumme
XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam?
XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen
XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen Substitution
XIII.3.2 Etwas Interessantes - Die Produktintegration
XIII.3.3 Ein praktischer Satz - Über das Aufleiten von Brüchen
XIII.4 Flächenberechnung - Worauf man achten sollte
XIII.5 Einmal rundherum - Berechnung von Rotationsvolumen
XIV Beweise mit Vektoren führen
XIV.1 Der Vektor in der analytischen Geometrie
XIV.2 Linear abhängig und unabhängig
XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzugs
XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck
XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt
XIV.4.1 Von Vektoren und ihren Beträgen
XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen
XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt
XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thales
XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung
XV Rechnen im Raum - Analytische Geometrie
XV.1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt
XV.2 Eine Runde Teamwork - Das Spatprodukt
XV.3 Geraden und Vektoren
XV.4 Ebenen
XV.4.1 Die Koordinatenform
XV.4.2 Die Normalenform
XV.4.3 Umwandeln von Ebenen
XV.5 Lagebeziehungen
XV.5.1 Gegenseitige Lagen von Geraden
XV.5.2 Gegenseitige Lagen von Ebenen
XV.5.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade
XV.6 Abstände
XV.6.1 Der Abstand zweier Punkte
XV.6.2 Die Hessesche Normalenform - Abstandsbestimmungen bei Ebenen
XV.6.3 Abstände, die uns noch fehlen
XV.7 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel
XV.8 Ein kugelrunder Abschluss
XVI Wenn's nicht direkt geht - Ein wenig Numerik
XVI.1 Für Nullstellen - Das Newton-Verfahren
XVI.1.1 Wann Newton nicht funktioniert
XVI.1.2 Übersicht mit Beispiel
XVI.2 Für Flächen - Die Keplersche Fassregel
XVI.2.1 Sehnentrapeze
XVI.2.2 Tangententrapeze
XVI.3 Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an - Die Simpson-Regel
A Die Strahlensätze
A.1 Einführende Betrachtungen
A.2 Der 1. Strahlensatz
A.3 Der 2. Strahlensatz
A.4 "Kurzversion" des 1. Strahlensatzes
B Ungleich geht die Welt zu Grunde - Ein paar Infos über Ungleichungen
B.1 Ganz elementare Regeln
B.2 Beispiele statt allgemeiner Hudelei
C Das Pascalsche Dreieck
C.1 Worum es geht
C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks
C.3 Warum das Schema funktioniert
Weiterführende Literatur
Stichwortverzeichnis

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