Grundlagen der Analysis für Dummies

Name: Grundlagen der Analysis für Dummies
Brand: Wiley-VCH
Price: 16.99 EUR
Availability: OnlineOnly

Krystle Rose Forseth Christopher Burger Michelle Rose Gilman Deborah J. Rumsey Mark Ryan(Autor*in)

Wiley-VCH (Verlag)

1. Auflage

Erschienen am 30. Juli 2012

457 Seiten

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978-3-527-65855-8 (ISBN)

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Inhalt

Intro
Grundlagen der Analysis für Dummies - Schummelseite
Titel
Impressum
Inhaltsverzeichnis
Einführung
Über dieses Buch
Konventionen in diesem Buch
Törichte Annahmen über den Leser
Aufbau dieses Buches
Teil I: Aufstellen, Lösen, Zeichnen
Teil II: Die wichtigsten Grundlagen der Trigonometrie
Teil III: Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen
Teil IV: Der Teil der Zehn
Symbole in diesem Buch
Wie es weitergeht
Teil I - Aufstellen, Lösen, Zeichnen
1 - Themen aus der Mathematik vor den Grundlagen der Analysis
Grundlagen der Analysis: Ein Überblick
Zahlengrundlagen (und nein, hier wird nicht gezählt!)
Die Vielfalt der Zahlentypen: Begriffe, die Sie kennen sollten
Die grundlegenden Operationen für Zahlen
Die Eigenschaften von Zahlen: Was Sie sich unbedingt merken sollten!
Mathematische Aussagen in sichtbare Form bringen: Spaß mit Graphen
Grundlegende Begriffe und Konzepte kennen lernen
Graphen für Gleichungen im Vergleich zu Ungleichungen
Informationen aus Graphen ablesen
Der Umgang mit dem graphischen Taschenrechner
2 - Reelle Zahlen
Ungleichungen lösen
Eine kurze Wiederholung zu Ungleichungen
Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwerten lösen
Lösungen für Ungleichungen unter Verwendung der Intervallnotation ausdrücken
Variationen zur Division und Multiplikation: Wurzeln und Exponenten
Wurzeln und Exponenten definieren und einander zuordnen
Wurzeln als Exponenten umschreiben (oder rationale Exponenten erzeugen)
Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen: Rationalisieren
3 - Die Voraussetzung für die Grundlagen der Analysis: Funktionen
Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen und ihre Graphen
Grundfunktionen (die gebräuchlichsten) und ihre Graphen
Quadratische Funktionen
Quadratwurzelfunktionen
Absolutwertfunktionen
Kubikfunktionen
Kubikwurzelfunktionen
Transformation der Grundgraphen
Vertikale Transformationen
Horizontale Transformationen
Translationen
Spiegelungen
Kombinationen verschiedener Transformationen (selbst wieder eine Transformation!)
Punktweise Transformation von Funktionen
Graphen für Funktionen erstellen, die mehrere Regeln verwenden: Stückweise Funktionen
Ausgabewerte für rationale Funktionen berechnen
Schritt 1: Suche nach vertikalen Asymptoten
Schritt 2: Suche nach horizontalen Asymptoten
Schritt 3: Schräge Asymptoten suchen
Schritt 4: Die x- und y-Schnittpunkte finden
Die Ergebnisse umsetzen: Graphen rationaler Funktionen
Der Nenner hat den höheren Grad
Zähler und Nenner haben denselben Grad
Der Zähler hat den höheren Grad
Operationen auf Funktionen: Ganz ohne Skalpell
Addieren und Subtrahieren
Multiplizieren und Dividieren
Die Verknüpfung von Funktionen verstehen
Anpassung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs verknüpfter Funktionen (falls nötig)
Wechselspiele mit inversen Funktionen
Den Graphen einer Inversen darstellen
Invertierung einer Funktion, um ihre Inverse zu finden
Eine Inverse überprüfen
4 - Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen
Die Bedeutung von Graden und Nullstellen
Einen Polynomausdruck faktorisieren
Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggT
Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome
Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren
Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren
Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) - falls nicht faktorisiert werden kann
Die Quadratformel anwenden
Die quadratische Ergänzung
Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen
Alle Nullstellen eines Polynoms zählen
Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes
Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra
Reelle Nullstellen raten und prüfen
Und jetzt rückwärts: Mit Hilfe von Lösungen Faktoren finden
Graphen von Polynomen zeichnen
Wenn alle Nullstellen reelle Zahlen sind
Wenn einige (oder alle) der Nullstellen imaginäre Zahlen sind: Alle Techniken kombinieren
5 - Exponentielle und logarithmische Funktionen
Exponentialfunktionen
Die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion
Graphendarstellung und Transformation einer Exponentialfunktion
Logarithmen: Die Umkehr der Exponential funktionen
Logarithmen in den Griff kriegen
Eigenschaften und Beziehungen von Logarithmen
Die Basis eines Logarithmus ändern (wenn es sich um keinen natürlichen oder allgemeinen Logarithmus handelt)
Eine Zahl berechnen, deren Logarithmus Sie kennen: Inverse Logarithmen
Graphen von Logarithmen
Gleichungen mit Exponenten und Logarithmen lösen
Die Lösung von Exponentialgleichungen schrittweise erklärt
Schritte zur Lösung logarithmischer Gleichungen
Textaufgaben mit Exponentialgleichungen lösen
Teil II - Die wichtigsten Grundlagen der Trigonometrie
6 - Winkel und der Einheitskreis
Bogenmaß: Das Basis-Maß in den Grundlagen der Analysis
Trigonometrische Verhältnisse: Rechtwinklige Dreiecke einen Schritt weiter führen
Einen Sinus schaffen
Die Suche nach dem Kosinus
Weiter zum Tangens
Die Kehrseite: Reziproke trigonometrische Funktionen
Die Umkehr: Inverse trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Verhältnisse und ihr Verhalten in der Koordinatenebene
Den Einheitskreis in den Griff bekommen
Machen Sie sich mit den gebräuchlichsten Winkeln vertraut
Ungebräuchliche Winkel zeichnen
Spezielle Winkelverhältnisse
Der 45er: 45°-45°-90°-Dreiecke
Das alte 30-60: 30°-60°-90°-Dreiecke
Zusammenführung von Dreiecken und dem Einheitskreis: Einigkeit macht stark!
Die wichtigsten Winkel ohne Winkelmesser korrekt platzieren
Werte trigonometrischer Funktionen auf dem Einheitskreis finden
Den Referenzwinkel finden, um nach Winkeln auf dem Einheitskreis aufzulösen
Nicht nur was für Robin Hood: Bögen erstellen und messen
7 - Graphen und Transformationen von trigonometrischen Funktionen
Grundgraphen für Sinus und Kosinus skizzieren
Der Sinus-Graph
Der Kosinus-Graph
Die Graphen von Tangens und Kotangens
Tangens
Kotangens
Sekans und Kosekans in Bildern
Sekans
Kosekans
Trigonometrische Graphen transformieren
An den Graphen von Sinus und Kosinus herumbasteln
Änderung der Amplitude
Graphen von Tangens und Kotangens anpassen
Die Graphen von Sekans und Kosekans transformieren
8 - Trigonometrische Identitäten: Die Grundlagen
Bedenke das Ende: Eine schnelle Einführung in das Thema Identitäten
Der Zweck heiligt die Mittel: Grundlegende trigonometrische Identitäten
Kehrwert-Identitäten
Pythagoräische Identitäten
Gerade/Ungerade-Identitäten
Kofunktions-Identitäten
Periodizitäts-Identitäten
Schwierige trigonometrische Beweise: Ein paar Techniken, die Sie kennen sollten
Nervtötende Nenner
Auf jeder Seite unabhängig arbeiten
9 - Es geht weiter: Identitäten für Fortgeschrittene!
Trigonometrische Funktionen von Summen und Differenzen finden
Den Sinus von (a ± b) bestimmen
Den Kosinus von (a ± b) berechnen
Den Tangens von (a ± b) berechnen
Die Summen- und Differenzformeln auf Beweise anwenden
Den trigonometrischen Wert eines Winkels verdoppeln, ohne den Winkel zu kennen
Den Sinus eines verdoppelten Winkels bestimmen
Den Kosinus für zwei berechnen
Quadrieren Sie Ihre Sorgen weg!
Doppelter Spaß mit dem Tangens
Trigonometrische Funktionen allgemeiner Winkel, dividiert durch zwei
Ausblick auf die Analysis: Von Produkten zu Summen und zurück
Produkte als Summen (oder Differenzen) ausdrücken
Von Summen (oder Differenzen) zu Produkten
Exponenten trigonometrischer Funktionen mit Hilfe der Formeln zur Potenzreduzierung eliminieren
10 - Schiefe Dreiecke mit dem Sinusund dem Kosinussatz bestimmen
Ein Dreieck mit dem Sinussatz lösen
Zwei Winkel sind bekannt
Zwei bekannte aufeinander folgende Seitenlängen (SSW)
Einem Dreieck mit dem Kosinussatz zu Leibe rücken
SSS: Winkel bestimmen, wenn nur die Seiten bekannt sind
SWS: Der Winkel in der Mitte (und die beiden Seiten)
Das Dreieck durch Berechnung der Fläche bestimmen
Fläche anhand von zwei Seiten und einem dazwischen liegenden Winkel bestimmen (für SWS-Szenarien)
Die Formel von Heron (für SSS-Szenarien)
Teil III - Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen
11 - Eine neue Denkweise: Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
Ein Vergleich zwischen reellen und imaginären Zahlen (und wie die Mathematiker sie sehen)
Reell und imaginär kombinieren: Das komplexe Zahlensystem
Die Bedeutung komplexer Zahlen verstehen
Operationen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen graphisch darstellen
Polarkoordinaten
Die Polarkoordinatenebene
Polarkoordinaten mit negativen Werten graphisch darstellen
In und von Polarkoordinaten umrechnen
Polargleichungen graphisch darstellen
12 - Kegelschnitte
Kegel an Kegel: Die vier Kegelschnitte
Im Bilde (Graphenform)
Schriftlich (Gleichungsform)
Es geht rund: Kreise
Einen Kreis zeichnen
Auf und ab mit Parabeln
Beschriftung der Teile
Die Eigenschaften einer Standardparabel
Variationen zeichnen: Parabeln in der Ebene (und nicht im Ursprung)
Bestimmung von Scheitel, Symmetrieachse, Brennpunkt und Leitlinie
Minimum- und Maximumwerte vertikaler Parabeln bestimmen
Ellipsen (ein lustiges Wort für Ovale)
Ellipsen beschriften und algebraisch ausdrücken
Teile des Ovals identifizieren: Scheitel, Nebenscheitel, Achsen und Brennpunkte
Hyperbeln - ein Parabelnpaar
Die beiden Hyperbeltypen und ihre Bestandteile visualisieren
Den Graphen einer Hyperbel aus der Gleichung ableiten
Die Gleichung von Asymptoten finden
Kegelschnitte außerhalb der Welt der kartesischen Koordinaten ausdrücken
Kegelschnitte in parametrischer Form zeichnen
Gleichungen von Kegelschnitten in der Polarkoordinatenebene
13 - Gleichungssysteme und Matrizen
Eine Einführung zu den Lösungsverfahren von Gleichungssystemen
Lösungen von Systemen mit zwei Gleichungen algebraisch bestimmen
Lineare Systeme lösen
Nicht lineare Systeme
Systeme mit mehr als zwei Gleichungen lösen
Partialbruchzerlegung
Ungleichungssysteme
Matrizen: Grundlagen
Grundlegende Operationen für Matrizen
Matrizen miteinander multiplizieren
Matrizen vereinfachen, um den Lösungsprozess leichter zu machen
Ein System in Matrizenform darstellen
Reduzierte Zeilenstufenform
Erweiterte Form
Matrizen beherrschen
Mit der Gaußschen Eliminierung Systeme lösen
Eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizieren
Mit Determinanten arbeiten: Die Cramersche Regel
14 - Folgen, Reihen und die Entwicklung von Binomen
Folgerichtig: Die allgemeine Vorgehensweise
Die Terme einer Folge mit Hilfe des Folgenausdrucks berechnen
In die umgekehrte Richtung arbeiten: Anhand von Termen einen Ausdruck bilden
Rekursive Folgen: Eine Art allgemeine Folge
Den Abstand zwischen Termen berechnen: Arithmetische Folgen
Mit Hilfe aufeinander folgender Terme einen weiteren Term in einer arithmetischen Folge finden
. mit Hilfe von zwei beliebigen Termen
Gleiche Verhältnisse aufeinander folgender Terme: Geometrische Folgen
Einen Term identifizieren, wenn man aufeinander folgende Terme kennt
Außer der Reihe: Einen Term finden, wenn die Terme nicht aufeinander folgend sind
Eine Reihe erstellen: Die Terme einer Folge aufsummieren
Die allgemeine Summennotation
Die Summe einer arithmetischen Folge bilden
Aufaddieren geometrischer Folgen
Weiter mit dem binomischen Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz und seine Bestandteile
Wir beginnen ganz vorne: Binomische Koeffizienten
Mit dem binomischen Satz entwickeln
15 - Ausblick auf die Analysis
Der Unterschied zwischen den Grundlagen der Analysis und der Analysis
Grenzwerte verstehen und darüber sprechen
Den Grenzwert einer Funktion finden
Graphisch
Analytisch
Algebraisch
Mit Grenzwerten arbeiten: Die Grenzwertsätze
Stetigkeit von Funktionen überprüfen
Feststellen, ob eine Funktion stetig ist
Der Umgang mit der Unstetigkeit
16 - Grenzwerte auswerten
Einfache Grenzwerte
Grenzwerte, die Sie sich merken sollten
Einsetzen und Einkochen
Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert
Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen
Machen Sie eine Pause - mit einem Grenzwert-Sandwich
Grenzwerte bei unendlich auswerten
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten
Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen
Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden
17 - Differentiation - Orientierung
Differentiation: Sucht die Steigung!
Die Steigung einer Geraden
Die Ableitung einer Geraden
Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate
Analysis auf dem Spielplatz
Geschwindigkeit - die uns vertrauteste Änderungsrate
Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung
Die Ableitung einer Kurve
Der Differenzquotient
Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert
18 - Integration und Flächenannäherung - Ein Einstieg
Integration: Einfach eine seltsame Addition
Die Fläche unter einer Kurve bestimmen
Der Umgang mit negativen Flächen
Flächen annähern
Flächen mit Hilfe linker Summen annähern
Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern
Flächen mit Mittelpunktsummen annähern
Die Summennotation
Die Grundlagen summieren
Riemann-Summen in Sigma-Notation
Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln
Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel
Die Trapezregel
Die Simpson-Regel - Thomas (1710 - 1761), nicht Homer (1987 - )
Teil IV - Der Teil der Zehn
19 - Zehn Gewohnheiten, die Ihnen bei der Analysis helfen
Lesen Sie genau, wie die Aufgabe lautet!
Zeichnen Sie Bilder (viele Bilder!)!
Planen Sie Ihren Angriff!
Schreiben Sie sich alle Formeln auf!
Zeigen Sie jeden Schritt Ihrer Arbeit!
Erkennen Sie, wann Sie aufhören sollten!
Überprüfen Sie Ihre Lösungen!
Üben Sie!
Stellen Sie sicher, dass Sie die Konzepte verstanden haben!
Löchern Sie Ihren Lehrer mit Fragen!
20 - Zehn Dinge, die Sie sich abgewöhnen sollten, bevor Sie mit der Analysis beginnen
Falsche Operatorreihenfolge
Quadrieren ohne EAIL
Nenner aufsplitten
Falsche Terme zusammenfassen
Den Kehrwert vergessen
Minuszeichen vergessen
Übervereinfachung von Wurzeln
Exponentielle Irrtümer
Zu schnell kürzen
Falsch Einmultiplizieren
Stichwortverzeichnis

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