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Grundlagen

In diesem Kapitel

• . werden Zahlenmengen und Zahlensysteme thematisiert,
• . wird auf Rechenregeln eingegangen,
• . werden Ihnen Gleichungen vorgestellt,
• . gehe ich ausführlich auf Folgen und Reihen ein.

Das erste Kapitel wiederholt vorrangig aus der Schulmathematik (der Mittelbeziehungsweise Oberstufe) bekannte Rechenvorschriften wie die Logarithmenregeln oder die binomischen Formeln. Es werden zudem Verfahren zur Lösung von (Un-)Gleichungen diskutiert, etwa die aus der Schule bekannte PQ-Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung oder die Regula Falsi, die zum Beispiel zur Lösung einer kubischen Gleichung herangezogen wird.

Zahlenmengen und Zahlensysteme

Eine Zahlenmenge besteht - wie der Name sagt - aus verschiedenen Elementen, die durch Verknüpfung untereinander, das heißt mittels Rechenregeln, den Zahlenraum bestimmen.

Zahlensysteme

Je nach konkreter Zugrundelegung der maßgeblichen Elemente (Ziffern beziehungsweise Zahlen) einer Zahlenmenge kann man verschiedene Zahlensysteme voneinander unterscheiden. Alle Zahlensysteme können unendlich viele Zahlen darstellen.

Dezimalsystem

Das verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (Zehnersystem), das auf den zehn Ziffern 0 bis 9 basiert. Seine Elemente sind - wie die eines jeden Zahlensystems - hierarchisch einander untergeordnet: Das Element 8 zum Beispiel ist höherwertig im Vergleich zum Element 4. Aus den zehn Ziffern werden dabei Zahlen nach der Rechenvorschrift gebildet, dass die Ziffer an der niedrigsten Stelle einer Zahl mit 100 (also mit 1; Einerstelle), die Ziffer an der zweitniedrigsten Stelle mit 101 (also mit 10; Zehnerstelle), die Ziffer an der drittniedrigsten Stelle mit 102 (also mit 100; Hunderterstelle) multipliziert wird und so weiter. Die Zahl 386 kann demnach auch dargestellt werden als , da genau 386 ergibt. Nachkommastellen werden durch Multiplikation der ersten Nachkommastelle mit 10-1, der zweiten Nachkommastelle mit 10-2 und so weiter erzeugt. Die Zahl 386,25 zum Beispiel ergibt sich als .

Binärsystem

Ein anderes Zahlensystem ist das Binärsystem (auch Dualsystem genannt). Es ist Ihnen aus der Computer-Datenverarbeitung (beziehungsweise eventuell aus der Wirtschaftsinformatik) bekannt und besteht lediglich aus den beiden Ziffern 0 und 1. Eine Zahl des Binärsystems kann in eine Dezimalzahl überführt werden, indem die Binärziffer an der niedrigsten Rangstelle mit 20, an der zweitniedrigsten Rangstelle mit 21, an der drittniedrigsten Rangstelle mit 22 multipliziert wird und so weiter. Die obige Dezimalzahl 386 lässt sich folglich binär wie folgt schreiben:

Die entsprechende Binärzahl lautet also 110000010. Auch im Binärsystem lassen sich Nachkommastellen darstellen, und zwar durch Multiplikation der ersten Nachkommastelle mit 2-1, der zweiten Nachkommastelle mit 2-2 und so weiter. Die Zahl 386,25 wäre demnach gleich 1 · 28 + 1 · 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2; die Binärzahl lautet in diesem Fall folglich 110000010,01. Allerdings kann die Ermittlung von Nachkommastellen im Binärsystem ein langwieriger Prozess sein. Beispielsweise ergibt die Dezimalzahl 386,24 in binärer Schreibweise 110000010,001111010111000010100011111; es ist dies eine Binärzahl mit sage und schreibe 27 Nachkommastellen. Für den betreffenden Nachkommabereich erhalten Sie in diesem Beispielsfall nämlich für den Dezimalausdruck 0,24: 0 · 2-1 + 0 · 2-2 + 1 · 2-3 + 1 · 2-4 + 1 · 2-5 + 1 · 2-6 + 0 · 2-7 + 1 · 2-8 + 0 · 2-9 + 1 · 2-10 + 1 · 2-11 + 1 · 2-12 + 0 · 2-13 + 0 · 2-14 + 0 · 2-15 + 0 · 2-16 + 1 · 2-17 + 0 · 2-18 + 1 · 2-19 + 0 · 2-20 + 0 · 2-21 + 0 · 2-22 + 1 2-23 + 1 · 2-24 + 1 · 2-25 + 1 · 2-26 + 1 · 2-27. Wenn Ihnen eine Näherungslösung für 386,24 im Sinne von 386,24023438 genügt, können Sie sich auch mit einer Binärzahl mit neun Nachkommastellen begnügen: 110000010,001111011.

Tipp

Bei der Umwandlung einer Dezimal- in eine Binärzahl sucht man zunächst die Zweierpotenz, die den Wert der Dezimalzahl gerade nicht übersteigt. Im obigen Beispiel ist dies 28 = 256 (29 = 512 ist zu groß). Anschließend prüft man schrittweise, ob die jeweils nächstniedrigere Zweierpotenz gerade noch in die Dezimalzahl "hineinpasst". Ist dieses der Fall, wird auch diese Zweierpotenz mit 1 multipliziert, andernfalls mit 0. Dieses Vorgehen setzt man bei einer Dezimalzahl ohne Nachkommastellen bis zur Zweierpotenz 20 fort. Bei den Nachkommastellen beginnt man eine entsprechende 0/1-Betrachtung bei 2-1 und setzt dieses Vorgehen solange fort, bis sich alle Nachkommastellen der Dezimalzahl ergeben.

Hexadezimalsystem

Ein weiteres, ebenfalls in der Datenverarbeitung verbreitetes Zahlensystem ist das Hexadezimalsystem, das aus 16 Ziffern besteht. Gewöhnlich werden zu seiner Darstellung die zehn Ziffern des Dezimalsystems 0 bis 9 zuzüglich der Buchstaben A bis F verwendet. Die einzelnen Rangstellen einer Hexadezimalzahl werden jeweils mit 16n multipliziert, wobei ein nichtnegativer Wert von n für Stellen vor dem Komma und ein negativer Wert von n für Stellen nach dem Komma stehen. Die obige Dezimalzahl 386 kann wie folgt in eine Hexadezimalzahl umgewandelt werden:

Die entsprechende Hexadezimalzahl lautet also 182.

Beispiel

Ein anderes Beispiel für Umrechnungen zwischen den einzelnen Systemen ist die Binärzahl 1111. Sie entspricht der Dezimalzahl 15 (da 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 15) beziehungsweise der Hexadezimalzahl F (da 15 · 160 = 15 und die 15 im Hexadezimalsystem durch F symbolisiert wird).

Die nachfolgenden Betrachtungen beziehen sich durchgängig auf das Ihnen vertraute Dezimalsystem und dessen Rechenregeln, weil es unserem Alltagshandeln zugrunde liegt und daher auch wirtschaftsbezogene Anwendungen typischerweise an dieses System gekoppelt sind.

Zahlenbereiche

Hat man es ausschließlich mit positiven ganzen Zahlen zu tun, handelt es sich um die Menge der natürlichen Zahlen. Man schreibt dann für eine beliebige Zahl a: a ? N+; das heißt in Worten: die Zahl a ist Element des Zahlenbereichs der positiven natürlichen Zahlen. Bezieht man auch noch die 0 in die Zahlenmenge ein, so handelt es sich um die natürlichen Zahlen insgesamt: a ? N. Bei bestimmten Häufigkeitszählungen - etwa von Personen oder Maschinen als Produktionsfaktoren - hat man es vielfach auch in der Ökonomie mit der Menge der natürlichen Zahlen zu tun. Werden zusätzlich die negativen ganzen Zahlen berücksichtigt, erhält man den Zahlenbereich der ganzen Zahlen: a ? Z.

Kleine Geschichte

In älteren Zahlensystemen - wie etwa dem Zahlensystem des Römischen Reiches - fehlte die Ziffer 0. Damit waren bestimmte Rechenoperationen nicht möglich, wie etwa die mathematische Darstellung der Differenz aus gleichen Werten. Man kann also sagen, dass die Verwendung der Ziffer 0 den Fortschritt der Mathematik beförderte. Manchmal sind Nullen also doch zu etwas gut.;-)

Das Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen kennzeichnet den Zahlenbereich der rationalen Zahlen: a ? Q. Bildet man hingegen ein Verhältnis, welches nicht aus zwei ganzen Zahlen besteht, liegt der Zahlenraum der irrationalen Zahlen vor. Beispiele für eine irrationale Zahl sind die Euler'sche Zahl e = 2,71828. oder die Kreiszahl p = 3,14159.

Die Gesamtmenge aus ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen schließlich stellt den Zahlenraum der reellen Zahlen dar: a ? R. Eine Erweiterung über den Zahlenraum der reellen Zahlen hinaus bildet der Zahlenbereich der komplexen Zahlen: a ? C. Mit einer reellen Zahl ist die spezielle Bedingung x2 + 1 = 0 nicht lösbar. Erst durch die Einführung der sogenannten imaginären Zahl i mit der Eigenschaft i2 = (-1) ist diese Bedingung lösbar. Grundsätzlich können komplexe Zahlen als dargestellt werden (mit a und ß als beliebigen Zahlen).

Abbildung 1.1 stellt die verschiedenen Zahlenräume dar.

Abbildung 1.1: Die verschiedenen Zahlenräume

Grundlegende Rechenoperationen/-regeln

Die Elemente eines Zahlenraums können durch die grundlegenden Rechenoperationen des Addierens, Subtrahierens, Multiplizierens und Dividierens miteinander verbunden werden. Dabei sind das Subtrahieren und das Dividieren im Grunde genommen Unterformen des Addierens beziehungsweise des Multiplizierens.

Beim Subtrahieren addiert man nämlich zu der Zahl, von der etwas abgezogen werden soll (Minuend), den Wert, der abgezogen werden soll (Subtrahend), als negative Zahl. Während das Ergebnis der Addition aus mehreren Zahlen (Summanden) als Summe bezeichnet wird, heißt das...