Mathematik für Ingenieure

1 Zahlenbereiche.- 1.1 Mengen.- 1.2 Natürliche, ganze und rationale Zahlen.- 1.3 Reelle Zahlen.- 1.4 Komplexe Zahlen.- 2 Funktionen.- 2.1 Funktionen als Modelle der Wirklichkeit.- 2.2 Der Funktionsbegriff.- 2.3 Eigenschaften von Funktionen.- 3 Elementare Funktionen.- 3.1 Signum- und Betragsfunktion.- 3.2 Ganze rationale Funktionen.- 3.3 Gebrochene rationale Funktionen.- 3.4 Allgemeine Potenz- und algebraische Funktionen.- 3.5 Trigonometrische Funktionen.- 3.6 Exponentialfunktion und Logarithmus.- 4 Lineare Gleichungssysteme.- 4.1 Problemstellung.- 4.2 Das Gauß'sche Eliminationsverfahren.- 5 Vektorrechnung.- 5.1 Vektorielle Größen in Alltag und Technik.- 5.2 Vektoren im Anschauungsraum.- 5.3 Allgemeine Vektorräume.- 5.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- 5.5 Basis und Dimension.- 6 Produkte von Vektoren.- 6.1 Das Skalarprodukt.- 6.2 Das Vektorprodukt.- 6.3 Das Spatprodukt.- 7 Analytische Geometrie.- 7.1 Probleme im Raum.- 7.2 Parameterdarstellung von Geraden.- 7.3 Parameterdarstellung von Ebenen.- 7.4 Hyperebenen in Gleichungsform.- 7.5 Schnittprobleme.- 7.6 Abstandsberechnungen.- 7.7 Winkelberechnungen.- 7.8 Kreis und Kugel.- 8 Matrizen.- 8.1 Transformationen in der Ebene und im Raum.- 8.2 Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation.- 8.3 Invertieren von Matrizen.- 8.4 Koordinatentransformation.- 8.5 Abbildungen.- 8.6 Determinanten.- 9 Eigenwerte.- 9.1 Problemstellungen in der Anwendung.- 9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 10 Grenzwerte.- 10.1 Folgen.- 10.2 Der Grenzwertbegriff bei Folgen.- 10.3 Die Euler'sche Zahl e.- 10.4 Der Grenzwertbegriff bei Funktionen.- 10.5 Stetigkeit.- 11 Differenzialrechnung.- 11.1 Der Ableitungsbegriff.- 11.2 Ableitungsregeln.- 11.3 Mittelwertsatz und stetige Differenzierbarkeit.- 12 Anwendungen der Differenzialrechnung.-12.1 Monotonieuntersuchungen.- 12.2 Extremwertprobleme.- 12.3 Der Regenbogen.- 12.4 Wendepunkte und Kurvendiskussion.- 12.5 Regel von Bernoulli-de l'Hospital.- 12.6 Das Newton-Verfahren.- 13 Unbestimmtes Integral.- 13.1 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral.- 13.2 Integrationsmethoden.- 14 Bestimmtes Integral.- 14.1 Flächeninhaltsproblem und Definition des bestimmten Integrals.- 14.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.- 14.3 Uneigentliche Integrale.- 15 Numerische Integration.- 15.1 Problemstellung.- 15.2 Trapezregel.- 15.3 Kepler-Fassregel und Simpson-Regel.- 16 Anwendungen der Integralrechnung.- 16.1 Flächenberechnungen.- 16.2 Volumina von Rotationskörpern.- 16.3 Physikalische Anwendungen.- 16.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 17 Reihen.- 17.1 Der Reihenbegriff.- 17.2 Konvergenzkriterien.- 18 Potenzreihen.- 18.1 Der Begriff der Potenzreihe.- 18.2 Potenzreihen und Funktionen - Der Satz von Taylor.- 18.3 Wichtige Potenzreihenentwicklungen.- 18.4 Anwendungen.- 19 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation.- 19.1 Trigonometrische Reihen.- 19.2 Fourier-Reihen.- 19.3 Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihen.- 19.4 Fourier-Transformation.- 20 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 20.1 Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 20.2 Der Stetigkeitsbegriff.- 20.3 Partielle Ableitungen.- 20.4 Totales Differenzial.- 20.5 Richtungsableitung.- 20.6 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 20.7 Divergenz und Rotation.- 21 Extrema bei Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 21.1 Extrema ohne Nebenbedingungen.- 21.2 Anwendung: Lineare Regression.- 21.3 Extrema mit Nebenbedingungen.- 22 Mehrfache Integrale.- 22.1 Bereichsintegrale.- 22.2 Berechnung von Bereichsintegralen über Normalbereichen.- 22.3 Mehrfache Integrale in Polar-, Zylinder- undKugelkoordinaten.- 23 Allgemeine Kurven.- 23.1 Der Kurvenbegriff.- 23.2 Tangentenvektor und Tangente.- 23.3 Bogenlänge und Bogenlängenparametrisierung.- 23.4 Die Krümmung.- 23.5 Das allgemeine Kurvenintegral.- 24 Gewöhnliche Differenzialgleichungen.- 24.1 Der Begriff der Differenzialgleichung.- 24.2 Explizite Differenzialgleichung erster Ordnung.- 24.3 Schwingungsdifferenzialgleichung.- Lösungen der Aufgaben.