Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen

Der perspektivische Entwurf.

§ 3. Die Schnittmethode.

8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß. Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: a) die Bildtafel (Zeichenebene); b) das Auge O; c) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches Beispiel.

Aufgabe 1. Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso das Auge O; man zeichne ein perspektivisches Bild des Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems senkrecht steht.

Die Bildebene ? gehe durch den Punkt Z der Kante (Fig. 12) und enthalte die beiden Linien ZX und ZY, welche in der ?1 und in der ?2 je senkrecht zur Kante K gezogen werden können. Gleichzeitig ist ZX der erste und ZY der zweite Riß der Bildebene ?. Das Auge O habe die Risse O1 und O2. Der abzubildende Würfel abcdefgh liegt mit der Fläche abcd auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang wirklich durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene ? zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke e durch.2 Wir verbinden O mit e, dann ist O1e1 der erste Riß, O2e2 der zweite Riß dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von Oe mit ? sei e'; der erste Riß von e' kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von O1e1 mit ZX. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit e1'. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes e' der Schnittpunkt e2' von O2e2 mit der Linie ZY. Natürlich fallen alle ersten Risse unseres Bildes auf die Gerade ZX, alle zweiten auf ZY.

2 Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des Textes selbst herzustellen. Es erleichtert das Verständnis ungemein, wenn man die Figur allmählich entstehen sieht.

Nun wollen wir aber doch das Bild selbst in seiner wahrer Gestalt auf unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir die Ebene ? herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene ? parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (Z) der Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (Z)(X) und (Z)(Y). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der ?2 gelegene Senkrechte (Z)(Y) so lange, bis sie mit der ?2 sich deckt.

Verfolgen wir den Punkt e' bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der Verschiebung der Ebene ? in die Lage (Y)(Z)(X) wird e1' eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch e1' eine Parallele zur Kante K, so schneidet diese die Linie (Z)(X) in (e1'). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (e1') einen Viertelskreis um (Z) und gelangt nach e1*. Dann liegt aber der Punkt e' auf der Senkrechten, welche in e1* zur Kante gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher e' über der ?1 liegt, ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch Ze2' gegeben. Tragen wir also auf der in e1* errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen wir durch e2' eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der Senkrechten in e1* den Punkt e' aus.

Bequemer ist es, einfach (Z)e1* = Ze1' mit dem Zirkel auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in e1* dann weiter e1*e' = Ze2' abzuschneiden. Man kann dazu auch noch Fig. 1 vergleichen. Dort ist die erste Tafel ?1 angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch K und AY. Vom Punkte e' sind die Risse e1 und e2 eingetragen.

Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen Ecken und erhält so das Bild a'b'c'd'e'f'g'h' des Würfels. Um die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge zunächst die Kanten bc, cg, gf, fb ferner gh, he, ef. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten cd, da, ab, dh, he, ea werden dem in O befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«.

Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser Bild b'c'g'h'e'f' zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem Zentrum O aus auf die Bildebene ? die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine Parallele durch O1 zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch O2 zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in Fig. 1 eingetragen ist, heiße A. Die Risse A1 und A2 desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen mit ZX bzw. ZY. Daraus finden wir die Lage von A wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch A1 und (Z)(X) zum Schnitt bringen in (A1), dann durch einen Viertelskreis (Z)A1* = (Z)(A1) machen. Auf der in A1* errichteten Senkrechten schneidet die Parallele durch A2 wieder den Punkt A aus. Jetzt wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in A zur Zeichenebene gedacht werden kann.

Weiter gibt nun aber die Strecke O1A1 oder auch O2A2 die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten in A zur Ebene des Blattes uns das Auge O denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 cm von unserem Auge entfernt halten müssen.

Man nennt den Punkt A den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« O; die Entfernung OA des Projektionszentrums O von der Bildebene, also die Strecke O1A1 oder O2A2 heißt die »Distanz«.

9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive. Geht man vom Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die Höhe ermittelt, in der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das Auge O parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die »Horizontebene« und sie schneidet die Bildebene ? in einer Geraden hh, welche durch den Hauptpunkt A geht und der »Horizont« genannt wird (Fig. 13). Es sei nun ein Punkt a gegeben, der von O aus gerechnet vor der Bildebene ? liegt, welch letztere die Grundrißebene ?1 in der Geraden gg schneidet. Dann können wir das Bild a' wieder in folgender Weise bestimmen. Die von a auf ?1 gefällte Senkrechte trifft ?1 im Risse a1, die Horizontebene dagegen im Punkte (a1). Verbinden wir O1 mit a1, so ist dies der Riß des Sehstrahles Oa. O1a1 trifft die Gerade (gg) in a1', und auf der in a1' gelegenen Senkrechten liegt das Bild a'. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (a'), so ist die Linie O(a') parallel zu O1a1', und zur Berechnung der Höhe a'(a') kann die Proportion dienen:

a'(a')/a(a1) = O(a')/O(a1).

Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch O1a1' : O1a1 ersetzt werden. Zieht man ferner durch a1 eine Parallele zu gg, welche O1A1 in X trifft, so wird dies Verhältnis auch durch O1A1 : O1X gegeben, so daß man schließlich erhält

(1) a'(a')/a(a1) = O1A1/O1X.

Die Strecke a(a1) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.

Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II gegeben und ist die Bildebene...